《第1章 特殊的平行四边形》

　

一、选择题（请把答案填写到下面指定位置，每小题3分，共36分）

1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　）

A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（　　）

A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC= cm，则AB边上的中线长为（　　）

A．1cm B．1.5cm C．2cm D． cm

4．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7

5．下列说法正确的是（　　）

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

6．已知：如图，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE=30°，那么△ECD的面积是（　　）

A． B． C． D．

7．用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是（　　）

A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤

8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（　　）

A．8 B．9 C．11 D．12

9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A₁、D₁处，则阴影部分图形的周长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

10．如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果 =（　　）

A． B． C． D．

11．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（　　）

A．③ B．①② C．②③ D．③④

12．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：

①点G是BC的中点；②FG=FC；③∠GAE=45°．

其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

　

二、填空题：

13．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　．

14．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：　　，使得平行四边形ABCD为菱形．

15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=　　cm．

16．如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为　　．

　

三、解答题：（共52分）

17．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．

18．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．

（1）证明：四边形AECF是矩形；

（2）若AB=8，求菱形的面积．

19．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．

（1）求证：OE=OF；

（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．

20．点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．

21．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

22．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：BM=CM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB=　　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

23．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=8，求AE+AF的值．

　

《第1章 特殊的平行四边形》

参考答案与试题解析

　

一、选择题（请把答案填写到下面指定位置，每小题3分，共36分）

1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（　　）

A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

【考点】矩形的性质；菱形的性质；正方形的性质．

【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．

【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选C．

【点评】本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．

　

2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（　　）

A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的性质，先求出AB的长，再根据所给比值，求出AD的长，进一步求解BC即可．

【解答】解：∵平行四边形ABCD

∴OA+OB= （BD+AC）=9cm

又∵△AOB的周长为13cm，

∴AB=CD=4cm，

又∵CD：DA=2：3，

∴BC=AD=6cm

故选A．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

　

3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC= cm，则AB边上的中线长为（　　）

A．1cm B．1.5cm C．2cm D． cm

【考点】直角三角形斜边上的中线．

【分析】设斜边AB=2x，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=x，再利用勾股定理列式求出x的值，从而得到AB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

【解答】解：设斜边AB=2x，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC= AB=x，

由勾股定理得，AB²=AC²+BC²，

即（2x）²=（ ）²+x²，

解得x=1，

∴AB=2×1=2cm，

AB边上的中线长= AB= ×2=1cm．

故选A．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记性质并列出方程是解题的关键．

　

4．如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形的周长为16，则AE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．7

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】计算题．

【分析】根据矩形的性质和EF⊥EC，EF=EC求证△AEF≌△DCE，可得AE=CD，再利用矩形的周长为16，即可求出AD，然后用AD减DE即可得出答案．

【解答】解：∵矩形ABCD中，EF⊥EC，

∴∠DEC+∠DCE=90°，∠DEC+∠AEF=90°

∴∠AEF=∠DCE，

又∵EF=EC，

∴△AEF≌△DCE，

∴AE=CD，

∵矩形的周长为16，即2CD+2AD=16，

∴CD+AD=8，

∴AD﹣2+AD=8，

AD=5，

∴AE=AD﹣DE=5﹣2=3．

故选A．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形性质的理解和掌握，解答此题的关键是求证△AEF≌△DCE．

　

5．下列说法正确的是（　　）

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形

C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形

【考点】正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．

【分析】分别根据菱形、正方形、平行四边形和矩形的判定逐项判断即可．

【解答】解：

对角线相等且互相垂直的四边形不一定是平行四边形，更不一定是菱形，故A不正确；

对角线互相垂直平分的四边形为菱形，但不一定是正方形，故B不正确；

对角线互相垂直的四边形，其对角线不一定会平分，故不一定是平行四边形，故C不正确；

对角线互相平分说明四边形为平行四边形，又对角线相等，可知其为矩形，故D正确；

故选D．

【点评】本题主要考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，掌握平行四边形及特殊平行四边形的对角线所满足的条件是解题的关键．

　

6．已知：如图，在矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE=30°，那么△ECD的面积是（　　）

A． B． C． D．

【考点】矩形的性质；含30度角的直角三角形．

【分析】根据已知条件，先求Rt△AED的面积，再证明△ECD的面积与它相等．

【解答】解：如图：

过点C作CF⊥BD于F．

∵矩形ABCD中，BC=2，AE⊥BD，

∴∠ABE=∠CDF=60°，AB=CD，AD=BC=2，∠AEB=∠CFD=90°．

∴△ABE≌△CDF．

∴AE=CF．

∴S_△AED= ED•AE，S_△ECD= ED•CF

∴S_△AED=S_△CDE∵AE=1，DE= ，

∴△ECD的面积是 ．故选C．

【点评】此题考查了学生的识图能力，解题的关键是要注意问题的转化．此题还考查了直角三角形的性质，直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．

　

7．用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是（　　）

A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤

【考点】图形的剪拼．

【分析】此题需要动手操作或画图，用完全相同的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形．

【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形，共3种图形．

画出图形如下所示：

故选D

【点评】本题考查了图形的剪拼，同时考查了学生的动手操作能力和想象观察能力，难度一般．

　

8．如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（　　）

A．8 B．9 C．11 D．12

【考点】菱形的性质；勾股定理．

【专题】压轴题．

【分析】首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．

【解答】解：连接AC，设AC交BD于O点，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，且BO=DO= =8，

在△AOD中，

∵∠AOD=90°，

∴AO= = =15，

在△AOE中，

∵∠AOE=90°，

∴OE= = =20，

又OD=8，

∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．

故选D．

【点评】此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．

　

9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A₁、D₁处，则阴影部分图形的周长为（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据折叠的性质，得A₁E=AE，A₁D₁=AD，D₁F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．

【解答】解：根据折叠的性质，得

A₁E=AE，A₁D₁=AD，D₁F=DF．

则阴影部分的周长=矩形的周长=2（10+5）=30．

故选：D．

【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．

　

10．如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果 =（　　）

A． B． C． D．

【考点】三角形的面积．

【专题】计算题．

【分析】连接DB，由S_矩形ABCD=S₁+S₂+S₃+S₄， ，利用则 ，同理EB= ，求得S₃，然后即可求得S₄．

【解答】解：S_矩形ABCD=S₁+S₂+S₃+S₄

∴

∴

连接DB，如图，则

∴CF：BC=

∴FB=

同理，EB=

∴

∴ ，

故选A

【点评】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，此题关键是连接DB，有一定难度，属于难题．

　

11．给出以下三个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的4倍．其中真命题的是（　　）

A．③ B．①② C．②③ D．③④

【考点】命题与定理．

【分析】分别根据矩形、菱形及正方形的性质进行逐一判断即可．

【解答】解：①错误，例如等腰梯形；

②错误，例如对角线互相垂直的等腰梯形；

③正确，符合正方形的判定定理；

④正确，符合菱形的性质．

故选D．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

　

12．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：

①点G是BC的中点；②FG=FC；③∠GAE=45°．

其中正确的是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．

【分析】①如图1，根据正方形边长求DE的长，由折叠得：AD=AF=3，DE=EF=1，根据HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG，BG=FG，设BG=x，在直角△EGC中利用勾股定理列方程求出x的值，比较BG和CG的大小；

②如图2，作辅助线，根据平行线分线段成比例定理列式求FH和GH的长，根据勾股定理求FC，发现FG≠FC；

③如图1，根据正方形的内角为90°，及∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，得∠GAE=45°．

【解答】解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=AB=3，

∵CD=3DE，

∴DE=1，

∴CE=2，

由折叠得：DE=EF=1，AD=AF=3，

∴AB=AF，

∵∠B=∠AFG=90°，AG=AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴BG=FG，

设BG=x，则CG=3﹣x，FG=x，

由勾股定理得：EG²=CG²+EC²，

（x+1）²=2²+（3﹣x）²，

解得：x= ，

∴BG= ，

∴CG=3﹣ = ，

∴点G是BC的中点；

所以①正确；

②如图2，过F作FH⊥BC于H，

∵FH∥DC，

∴ ，

∴ = ，

∴FH= ，GH= ，

∴CH= ﹣ = ，

∴FC= = ，

由①得FG=BG= ，

∴FG≠FC，

所以②不正确；

③如图1，∵∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，

∴∠BAG+∠DAE=∠FAG+∠FAE，

∵∠DAB=90°，

∴∠EAG= ∠DAB=45°，

所以③正确；

故结论正确的是：①③，

故选B．

【点评】本题考查了正方形和折叠的性质，明确折叠前后的对应角相等，正方形的四边相等且四个角都是直角；利用勾股定理列方程求边的长度，恰当地作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理列比例式求边长；从而比较边的大小关系．

　

二、填空题：

13．等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　矩形、正方形　．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．

【解答】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；

平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；

矩形是轴对称图形又是中心对称图形；

正方形是轴对称图形又是中心对称图形；

故答案为：矩形、正方形．

【点评】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

　

14．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：　AD=DC　，使得平行四边形ABCD为菱形．

【考点】平行四边形的判定；平行四边形的性质．

【专题】开放型．

【分析】根据菱形的定义得出答案即可．

【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，

∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD=DC；

故答案为：AD=DC．

【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．

　

15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=　9　cm．

【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．

【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．

【解答】解：在Rt△ABC中，AC= =10cm，

∵点E、F分别是AO、AD的中点，

∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= cm，

∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．

故答案为：9．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．

　

16．如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为　20°　．

【考点】菱形的性质．

【专题】数形结合．

【分析】首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，得∠AEF=60°，最后求出∠CEF的度数．

【解答】解：连接AC，

在菱形ABCD中，AB=CB，

∵∠B=60°，

∴∠BAC=60°，△ABC是等边三角形，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC，

即：∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，

∴∠AFE=60°，

又∠AEC=∠B+∠BAE=80°，

则∠CEF=80°﹣60°=20°．

故答案为：20°．

【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题的关键是正确作出辅助线，然后熟练掌握菱形的性质．

　

三、解答题：（共52分）

17．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可．

【解答】解：四边形EBGD是菱形．

理由：∵EG垂直平分BD，

∴EB=ED，GB=GD，

∴∠EBD=∠EDB，

∵∠EBD=∠DBC，

∴∠EDF=∠GBF，

在△EFD和△GFB中，

，

∴△EFD≌△GFB，

∴ED=BG，

∴BE=ED=DG=GB，

∴四边形EBGD是菱形．

【点评】本题考查菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是求出△EFD≌△GFB．

　

18．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．

（1）证明：四边形AECF是矩形；

（2）若AB=8，求菱形的面积．

【考点】矩形的判定；勾股定理；菱形的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；

（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∵E是BC的中点，

∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），

∴∠1=90°，

∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴AF= AD，EC= BC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC且AD=BC，

∴AF∥EC且AF=EC，

∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

又∵∠1=90°，

∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE= =4 ，

所以，S_菱形ABCD=8×4 =32 ．

【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．

　

19．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．

（1）求证：OE=OF；

（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．

【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）由于CE平分∠BCD，那么∠DCE=∠BCE，而EF∥BC，于是∠OEC=∠BCE，等量代换∠OEC=∠DCE，那么OE=OC，同理OC=OF，等量代换有OE=OF；

（2）由于O是CD中点，故OD=OC，而OE=OF，那么易证四边形DECF是平行四边形，又CE、CF是∠BCD、∠DCG的角平分线，∠BCD+∠DCG=180°那么易得∠ECF=90°，从而可证四边形DECF是矩形．

【解答】证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，

∴∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF，（1分）

∵EF∥BC，

∴∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF，（1分）

∴∠DCE=∠FEC，∠EFC=∠DCF，（1分）

∴OE=OC，OF=OC，

∴OE=OF；（2分）

（2）∵点O为CD的中点，

∴OD=OC，

又OE=OF，

∴四边形DECF是平行四边形，（2分）

∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，

∴ ，（2分）

∴ ，（2分）

即∠ECF=90°，

∴四边形DECF是矩形．（1分）

【点评】本题利用了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边、等量代换、平行四边形的判定、矩形的判定．

　

20．点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，已知△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求∠MAN的度数．

【考点】正方形的性质．

【专题】计算题．

【分析】先利用△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半可得到MN=DM+BN，△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，如图，利用旋转的性质得AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90°，接着证明△AMN≌△AEN得到∠MAN=∠EAN，从而得到∠MAN= ∠MAE=45°．

【解答】解：∵△MCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，

∴MN+CM+CN=CD+CB，

∴MN=DM+BN，

∵AD=AB，∠DAB=90°，

∴△ADM绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，如图，

∴AE=AM，BE=DM，∠ABE=∠ADM，∠MAE=90°，

∵∠ABC=90°，

∴点E在CB的延长线上，

∴EN=BE+NB=DM+BN=MN，

在△AMN和△AEN中

，

∴△AMN≌△AEN，

∴∠MAN=∠EAN，

∴∠MAN= ∠MAE=45°．

【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．解决本题的关键是构建△AEN与△AMN全等．

　

21．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．

（1）求证：BE=CD；

（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠BEA，即可得出AB=BE；

（2）先证明△ABE是等边三角形，得出AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，由AAS证明△ADF≌△ECF，得出△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AE•BF，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，∴BE=CD；

（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴AF=EF=2，

∴BF= = =2 ，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面积=△ECF的面积，

∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积= AE•BF= ×4×2 =4 ．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．

　

22．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．

（1）求证：BM=CM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB=　2：1　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定．

【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠D=90°，AB=DC，由SAS证明△ABM≌△DCM，得出对应边相等即可；

（2）证明EN是△BCM的中位线，得出EN= CM=FM，EN∥FM，证出四边形MENF是平行四边形，同理：NF是△BCM的中位线，得出NF= BM，证出EN=NF，即可得出结论；

（3）证明△ABM是等腰直角三角形，得出∠AMB=45°，同理∠DMC=45°，得出∠EMF=90°，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC，

∵M是AD的中点，

∴AM=DM，

在△ABM和△DCM中， ，

∴△ABM≌△DCM（SAS），

∴BM=CM；

（2）解：四边形MENF是菱形；理由如下：

∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点，

∴EN是△BCM的中位线，

∴EN= CM=FM，EN∥FM，

∴四边形MENF是平行四边形，

同理：NF是△BCM的中位线，

∴NF= BM，

∵BM=CM，

∴EN=NF，

∴四边形MENF是菱形；

（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形；理由如下：

∵AD：AB=2：1，M是AD的中点，

∴AB=AM，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴∠AMB=45°，

同理：∠DMC=45°，

∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，

由（2）得：四边形MENF是菱形，

∴四边形MENF是正方形；

故答案为：2：1．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．

　

23．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6 ，∠BAD=60°，且AB＞6 ．

（1）求∠EPF的大小；

（2）若AP=8，求AE+AF的值．

【考点】菱形的性质．

【分析】（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，由菱形的性质得出AC平分∠BAD，由角平分线的性质得出PG=PH，由HL证明Rt△PGE≌Rt△PHF，得出∠HPF=∠GPE，GE=HF，求出∠GPH=120°，即可得出∠EPF=120°；

（2）由菱形的性质得出∠PAG=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出PG= AP=4，由勾股定理求出AG= PG=4 ，求出AE+AF=2AG=8 即可．

【解答】解：（1）作PG⊥AB于G，PH⊥AD于H，如图所示：

则∠PGE=∠PHF=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠BAD，

∴PG=PH，

在Rt△PGE和Rt△PHF中， ，

∴Rt△PGE≌Rt△PHF（HL），

∴∠HPF=∠GPE，GE=HF，

∵∠BAD=60°，

∴∠GPH=120°，

∴∠EPF=120°；

（2）∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠PAG=30°，

∴PG= AP=4，

∴AG= PG=4 ，

∴AE+AF=AG+GE+AH﹣HF=2AG=8 ．

【点评】本题考查了菱形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．