《第1章 特殊平行四边形》

　

一、选择题

1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC

2．下列说法中，错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．菱形的对角线互相垂直

D．对角线互相垂直的四边形是菱形

3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

4．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（　　）

A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6

5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）

A．6 米 B．6米 C．3 米 D．3米

6．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　）

A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm

7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

（　　）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．7 B．9 C．10 D．11

9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（　　）

A．2 B．3 C． D．1+

10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．3 C． D．

　

二、填空题

11．（5分）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是　　cm²．

12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　　．

13．（5分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于　　．

14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　　．

　

三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）

15．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

16．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．

（1）求证：△DCE≌△BFE；

（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．

17．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）求CF的长；

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

　

《第1章 特殊平行四边形》

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC

【考点】平行四边形的判定．

【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．

【解答】解：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，

平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；

平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；

平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；

平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；

故选A．

【点评】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．

　

2．下列说法中，错误的是（　　）

A．平行四边形的对角线互相平分

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形

C．菱形的对角线互相垂直

D．对角线互相垂直的四边形是菱形

【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．

【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．

【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，

故选：D．

【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．

　

3．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（　　）

A．50° B．55° C．60° D．65°

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【专题】数形结合．

【分析】首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．

【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠EFB=∠FED=65°，

由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65°，

∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．

故∠AED′等于50°．

故选：A．

【点评】本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．

　

4．如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（　　）

A．8.3 B．9.6 C．12.6 D．13.6

【考点】平行四边形的性质．

【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知EF把平行四边形分成两个相等的部分，先求平行四边形的周长，再求EF的长，即可求出四边形BCEF的周长．

【解答】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=1.3，

∵▱ABCD的周长=（4+3）×2=14

∴四边形BCEF的周长= ×▱ABCD的周长+2.6=9.6．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：

①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．平行四边形是中心对称图形．

　

5．如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长等于（　　）

A．6 米 B．6米 C．3 米 D．3米

【考点】菱形的性质．

【专题】应用题．

【分析】由四边形ABCD为菱形，得到四条边相等，对角线垂直且互相平分，根据∠BAD=60°得到三角形ABD为等边三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出AC的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），

∵∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA= =3 （米），

则AC=2OA=6 米，

故选A．

【点评】此题考查了勾股定理，菱形的性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键．

　

6．已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为两部分，这两部分的长为（　　）

A．6 cm和9 cm B．5 cm和10 cm C．4 cm和11 cm D．7 cm和8 cm

【考点】矩形的性质．

【分析】根据已知条件以及矩形性质证△ABE为等腰三角形得到AB=AE，注意“长和宽分别为15cm和10cm”说明有2种情况，需要分类讨论．

【解答】解：如图，∵矩形ABCD中，BE是角平分线．

∴∠ABE=∠EBC．

∵AD∥BC．

∴∠AEB=∠EBC．

∴∠AEB=∠ABE

∴AB=AE．

当AB=15cm时：则AE=15cm，不满足题意．

当AB=10cm时：AE=10cm，则DE=5cm．

故选B．

【点评】此题考查了矩形的性质与等腰三角形的判定与性质．注意出现角平分线，出现平行线时，一般出现等腰三角形，需注意等腰三角形相等边的不同．

　

7．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

（　　）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

【考点】矩形的判定．

【分析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．

【解答】解：可添加AC=BD，

∵四边形ABCD的对角线互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AC=BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，

∴四边形ABCD是矩形，

故选：D．

【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形．

　

8．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）

A．7 B．9 C．10 D．11

【考点】三角形中位线定理；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG= BC=EF，EH=FG= AD，求出EF、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．

【解答】解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC= =5，

∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，

∴HG= BC=EF，EH=FG= AD，

∵AD=6，

∴EF=HG=2.5，EH=GF=3，

∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（2.5+3）=11．

故选D．

【点评】本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解此题的关键．

　

9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（　　）

A．2 B．3 C． D．1+

【考点】旋转的性质．

【专题】压轴题．

【分析】当AB绕点A逆时针旋转45度后，刚回落在正方形对角线AC上，可求三角形与边长的差B′C，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求B′O，OD，从而可求四边形AB′OD的周长．

【解答】解：连接B′C，

∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，

∴B′在对角线AC上，

∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC= ，

∴B′C= ﹣1，

在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C= ﹣1，

在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC= （ ﹣1）=2﹣ ，

∴OD=1﹣OC= ﹣1

∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+ ﹣1+ ﹣1=2 ．

故选A．

【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，特殊三角形边长的求法．连接B′C构造等腰Rt△OB′C是解题的关键．

　

10．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．3 C． D．

【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．

【解答】解：连接BD，与AC交于点F．

∵点B与D关于AC对称，

∴PD=PB，

∴PD+PE=PB+PE=BE最小．

∵正方形ABCD的面积为4，

∴AB=2．

又∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=2．

∴所求最小值为2．

故选：A．

【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．

　

二、填空题

11．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是　3　cm²．

【考点】菱形的性质．

【分析】由知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．

【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，

∴它的面积是： ×2×3=3（cm²）．

故答案为：3．

【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．

　

12．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4　．

【考点】矩形的性质．

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD= AC，然后判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可．

【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD= AC= ×8=4，

∵∠AOD=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴AD=OA=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．

　

13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于　3.5　．

【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．

【分析】由菱形的四边相等求出边长，再根据对角线互相垂直得出∠AOD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，

∴∠AOD=90°，

∵AB+BC+CD+DA=28，

∴AD=7，

∵H为AD边中点，

∴OH= AD=3.5；

故答案为：3.5．

【点评】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．

　

14．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　（ ）^n﹣1　．

【考点】正方形的性质．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=BC=1，∠B=90°，

∴AC²=1²+1²，AC= ；

同理可求：AE=（ ）²，HE=（ ）³…，

∴第n个正方形的边长a_n=（ ）^n﹣1．

故答案为（ ）^n﹣1．

【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．

　

三、解答题（15题12分，16题12分，17题16分）

15．（2010•株洲）如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

【考点】平行四边形的性质．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；

（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．

【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，

∵AD∥BC

∴∠1=∠3

又∵∠1=∠2，

∴∠2=∠3，

∴CD=CE；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD∥BC，

又∵CD=CE，BE=CE，

∴AB=BE，

∴∠BAE=∠BEA．

∵∠B=80°，

∴∠BAE=50°，

∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．

【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；

（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．

　

16．（2015•乐山）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．

（1）求证：△DCE≌△BFE；

（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．

【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE；

（2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2 ，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE= ，所以BE=BC﹣EC= ．

【解答】解：（1）∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，

∴∠DBC=∠BDF，

∴BE=DE，

在△DCE和△BFE中，

，

∴△DCE≌△BFE；

（2）在Rt△BCD中，

∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，

∴BC=2 ，

在Rt△ECD中，

∵CD=2，∠EDC=30°，

∴DE=2EC，

∴（2EC）²﹣EC²=CD²，

∴CE= ，

∴BE=BC﹣EC= ．

【点评】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．

　

17．（2016春•历下区期末）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）求CF的长；

（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；

（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF= ；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；

（3）分三种情况分别讨论即可求得．

【解答】（1）证明：如图1，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）证明：如图1，

∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，

∴∠EBC= ∠DBC=22.5°，

由（1）知△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；

∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），

∴∠BGF=90°；

在△DBG和△FBG中，

，

∴△DBG≌△FBG（ASA），

∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），

∵BD= = ，

∴BF= ，

∴CF=BF﹣BC= ﹣1；

（3）解：如图2，∵CF= ﹣1，BH=CF

∴BH= ﹣1，

①当BH=BP时，则BP= ﹣1，

∵∠PBC=45°，

设P（x，x），

∴2x²=（ ﹣1）²，

解得x=1﹣ 或﹣1+ ，

∴P（1﹣ ，1﹣ ）或（﹣1+ ，﹣1+ ）；

②当BH=HP时，则HP=PB= ﹣1，

∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（ ﹣1， ﹣1）；

③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，

∴△PBH是等腰直角三角形，

∴P（ ， ），

综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣ ，1﹣ ）、（﹣1+ ，﹣1+ ）、（ ﹣1， ﹣1）、（ ， ）．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．