《第1章 菱形的性质与判定》

一、选择题

1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对边相等 B．对角相等

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）

A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm

3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm²，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm

4．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）

A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC

5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（　　）

A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．3cm

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．2

7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）

A．18 B．16 C．15 D．14

8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（　　）

A．20m B．25m C．30m D．35m

9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）

A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°

10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4

　

二、填空题

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为　　．

12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为　　．

13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　　使其成为菱形（只填一个即可）．

14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是　　．

15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　　．

16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF= ，BD=2，则菱形ABCD的面积为　　．

17．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　　．

18．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=

60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　　．

　

三、解答题

19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．

20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．

21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：

（1）∠CEB=∠CBE；

（2）四边形BCED是菱形．

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．

23．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD

（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

24．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

　

《第1章 菱形的性质与判定》

参考答案与试题解析

　

一、选择题

1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对边相等 B．对角相等

C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直

【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．

【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．

【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．

故选D．

【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．

　

2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）

A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，再根据菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OE是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE= AB．

【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，

∴AB=24÷4=6cm，

∵对角线AC、BD相交于O点，

∴OB=OD，

∵E是AD的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴OE= AB= ×6=3cm．

故选A．

【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．

　

3．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm²，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）

A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm

【考点】菱形的判定与性质．

【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．

【解答】解：

如图，连接AC、BD相交于点O，

∵四边形ABCD的四边相等，

∴四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，S_四边形ABCD= AC•BD，

∴ ×24BD=120，解得BD=10cm，

∴OA=12cm，OB=5cm，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB= =13（cm），

∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），

故选A．

【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应用．

　

4．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）

A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．

【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．

【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB=AD时▱ABCD是菱形；

B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；

D、∠BAC=∠DAC时，

∵▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∴∠BAC=∠ACB，

∴AB=AC，

∴▱ABCD是菱形．

∴∠BAC=∠DAC．故命题正确．

故选C．

【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键．

　

5．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（　　）

A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．3cm

【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理．

【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，

∵E、F分别是BC、CD的中点，

∴BE=DF，

在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．

连接AC，

∵∠B=∠D=60°，

∴△ABC与△ACD是等边三角形，

∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），

∴∠BAE=∠DAF=30°，

∴∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形．

∴AE= cm，

∴周长是3 cm．

故选B．

【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．

　

6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．2

【考点】菱形的性质．

【分析】首先根据菱形的性质知AC垂直平分BD，再证出△ABC是正三角形，由三角函数求出BO，即可求出BD的长．

【解答】解：∵四边形ABCD菱形，

∴AC⊥BD，BD=2BO，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是正三角形，

∴∠BAO=60°，

∴BO=sin60°•AB=2× = ，

∴BD=2 ．

故选：D．

【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线垂直平分，本题难度一般．

　

7．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　　）

A．18 B．16 C．15 D．14

【考点】菱形的性质；勾股定理．

【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，进而△ABD的周长．

【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，

∴BO=OD=3，AO=OC=4，

∴AB=5，

∴△ABD的周长等于5+5+6=16，

故选B．

【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．

　

8．某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（　　）

A．20m B．25m C．30m D．35m

【考点】菱形的性质．

【专题】应用题．

【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=2.5m，同理可证出AF=EF=2.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．

【解答】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，

∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，

∴∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG是等边三角形，

∴BG=GM=2.5（m），

同理可证：AF=EF=2.5（m）

∴AB=BG+GF+AF=2.5×3=7.5（m），

∴扩建后菱形区域的周长为7.5×4=30（m），

故选：C．

【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．

　

9．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）

A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°

【考点】菱形的判定；平移的性质．

【分析】首先根据平移的性质得出AB CD，得出四边形ABCD为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案．

【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，

∴AB CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

当AC=BC时，

平行四边形ACED是菱形．

故选：B．

【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出AB CD是解题关键．

　

10．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）

A． B． C．5 D．4

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，

∵AC=8，DB=6，

∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，

由勾股定理得：AB= =5，

∵S_菱形ABCD= ，

∴ ，

∴DH= ，

故选A．

【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S_菱形ABCD= 是解此题的关键．

　

二、填空题

11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为　30　．

【考点】菱形的性质．

【分析】由在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．

【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，

∴菱形ABCD的面积为： AC•BD=30．

故答案为：30．

【点评】此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线积的一半．

　

12．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为　6　．

【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．

【分析】由菱形性质AC=CD=4，根据中垂线性质可得DN=AN，继而由△CND的周长是10可得CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC．

【解答】解：如图，

∵四边形ABCD是菱形，AB=4，

∴AB=CD=4，

∵MN垂直平分AD，

∴DN=AN，

∵△CND的周长是10，

∴CD+CN+DN=CD+CN+AN=CD+AC=10，

∴AC=6，

故答案为：6．

【点评】本题主要考查菱形的性质和中垂线的性质，熟练掌握菱形的四边相等及中垂线上的点到线段两端的距离相等是关键．

　

13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC　使其成为菱形（只填一个即可）．

【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．

【专题】计算题；矩形 菱形 正方形．

【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可．

【解答】解：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加一个适当的条件为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC使其成为菱形．

故答案为：AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC

【点评】此题考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键．

　

14．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是　15　．

【考点】菱形的性质．

【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式计算即可．

【解答】解：如图，

此时菱形ABCD的面积最大．

设AB=x，EB=9﹣x，AE=3，

则由勾股定理得到：3²+（9﹣x）²=x²，

解得 x=5，

S_最大=5×3=15；

故答案为：15．

【点评】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和最小，然后根据图形列方程．

　

15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=　 　．

【考点】菱形的性质．

【专题】计算题．

【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，

在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，

∴BC= =5，

∵OE⊥BC，

∴ OE•BC= OB•OC，

∴OE= = ．

故答案为 ．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．

　

16．菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF．若EF= ，BD=2，则菱形ABCD的面积为　2 　．

【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．

【分析】根据EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求的AC的长，然后根据菱形的面积公式求解．

【解答】解：∵E、F分别是AD，CD边上的中点，即EF是△ACD的中位线，

∴AC=2EF=2 ，

则S_菱形ABCD= AC•BD= ×2 ×2=2 ．

故答案是：2 ．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的AC的长是关键．

　

17．在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为　45°或105°　．

【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质．

【分析】如图当点E在BD右侧时，求出∠EBD，∠DBC即可解决问题，当点E在BD左侧时，求出∠DBE′即可解决问题．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C=30°，

∠ABC=∠ADC=150°，

∴∠DBA=∠DBC=75°，

∵ED=EB，∠DEB=120°，

∴∠EBD=∠EDB=30°，

∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=105°，

当点E′在BD右侧时，∵∠DBE′=30°，

∴∠E′BC=∠DBC﹣∠DBE′=45°，

∴∠EBC=105°或45°，

故答案为105°或45°．

【点评】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．

　

18．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=

60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　3 　．

【考点】菱形的性质．

【分析】首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形，当AE⊥BC时得出△AEF的面积最小值即可．

【解答】解：当AE⊥BC时，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

∴∠B=∠ACF=60°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，

∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，

∴∠AEB=∠AFC，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF，

∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∵当AE⊥BC时，AB=4，

∴AE= ，

∴△AEF的面积最小值= ，

故答案为： ．

【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答．

　

三、解答题

19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，

∵点E、F分别为边CD、AD的中点，

∴AD=2DF，CD=2DE，

∴DE=DF，

在△ADE和△CDF中， ，

∴△ADE≌△CDF（SAS）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

　

20．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．

【解答】证明：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠DAE，CD=BC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．

在Rt△CDF与Rt△CBE中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），

∴DF=BE．

【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．

　

21．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：

（1）∠CEB=∠CBE；

（2）四边形BCED是菱形．

【考点】菱形的判定；全等三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．

（2）先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．

【解答】证明；（1）∵△ABC≌△ABD，

∴∠ABC=∠ABD，

∵CE∥BD，

∴∠CEB=∠DBE，

∴∠CEB=∠CBE．

（2））∵△ABC≌△ABD，

∴BC=BD，

∵∠CEB=∠CBE，

∴CE=CB，

∴CE=BD

∵CE∥BD，

∴四边形CEDB是平行四边形，

∵BC=BD，

∴四边形CEDB是菱形．

【点评】本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．

　

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．

（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；

（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．

【考点】菱形的判定；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质．

【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；

（2）利用菱形的判定证明即可．

【解答】证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，

∴DE∥BC，即EF∥BC．

又∵BF∥CE，

∴四边形ECBF是平行四边形．

（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，

∴CB= AB，CE= AB．

∴CB=CE．

又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，

∴四边形ECBF是菱形．

【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．

　

23．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD

（1）求∠AOD的度数；

（2）求证：四边形ABCD是菱形．

【考点】菱形的判定．

【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD= （∠DAB+∠ABC）= ×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；

（2）根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．

【解答】解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，

∵AE∥BF，

∴∠DAB+∠CBA，=180°，

∴∠BAC+∠ABD= （∠DAB+∠ABC）= ×180°=90°，

∴∠AOD=90°；

（2）证明：∵AE∥BF，

∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，

∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，

∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，

∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，

∴AB=BC，AB=AD

∴AD=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AD=AB，

∴四边形ABCD是菱形．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．

　

24．如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的性质．

【专题】计算题；证明题；压轴题．

【分析】第（1）问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．

第（2）要求菱形的面积，在第（1）问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．

【解答】（1）证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四边形AECF为菱形，

∴AE=EC．

又∵点E是边BC的中点，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB= BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，

▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°= ，

∴菱形AECF的面积为2 ．

【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．

（1）用SAS证全等；

（2）若四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．