【323489】2023九年级数学上册 第四章 图形的相似检测题2（含解析）（新版）北师大版

图形的相似检测题

（本检测题满分:120分，时间：120分钟）

一、选择题（每小题2分，共24分）

1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）

2如图，为估算某河的宽度，在河对岸岸边选定一个目标点 ，在近岸取点B,C,D，使得

AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一条直线上，若测得BE=20 m,EC=

10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于（ ）

A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m

3. (2016·兰州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ,则 =( )

A. B. C. D.

4.若 ，且 ，则 的值是（ ）

A.14 B.42 C.7 D.

5. (2016·重庆A卷中考)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为( )

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶16

6.如图， // ， // ， 分别交 于点 ，则图中共有相似三角形（ ）

A.4对 B.5对 C. 6对 D.7对

7.已知△ 如图所示，则下列4个三角形中，与△ 相似的是（ ）

8. (2015·湖南株洲中考)如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )

A. B. C. D.

9.如图，笑脸盖住的点的坐标可能为（ ）

A． B． C. D.

10．如图，正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，若 ，

则下列结论正确的是( )

A. B.

C. D.

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3,4及 ，那么 的值（ ）

A.只有1个

B.可以有2个

C.可以有3个

D.有无数个

12. (2016·河北中考)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )

A. B. C. D.

二、填空题（每小题3分，共18分）

13.已知 ，且 ，则 _______.

14.（2014·成都中考）如图，为估计池塘两岸边A,B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA、OB的中点M，N，测的MN=32 m，则A，B两点间的距离是___________m.

15. (2016·上海中考)在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是 .

16.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框 在地面上的影长 ，窗户下沿到地面的距离 ， ，那么窗户的高 为________.

17.(2015·山西中考)太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位.公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B,C在EF上，EF∥HG,EH⊥HG，AB＝80 cm，AD＝24 cm,BC＝25 cm,EH＝4 cm，则点A到地面的距离是 cm.

18. (2016·河南中考)如图，已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.点E为射线BC上一个动点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 .

三、解答题（共78分）

19.（10分）已知线段 成比例（ ），且a=6 cm， ， ，求线段 的长度.

20. （8分）(2016·杭州中考)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F，G，且 = .

(1)求证：△ADF∽△ACG；

(2)若 = ,求 的值.

2 1.（10分）试判断如图所示的两个矩形是否相似.

22．（12分）(2015·上海中考)已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE．

23.（12分）(2016·福州中考)如图，在△ABC中，AB=AC=1,BC= ，在AC边上截取AD=BC,连接BD.

(1)通过计算，判断 与AC·CD的大小关系；

(2)求∠ABD的度数.

24.（12分）(2016·浙江宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

(1)如图1,在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°,∠B=60°,求证：CD为△ABC的完美分割线.

(2)在△ABC中，∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数.

(3)如图2,在△ABC中，AC=2,BC= ,CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形.求完美分割线CD的长.

图1 图2

25.(14分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸).

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=

1.2米.

第25题图

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

图形的相似检测题参考答案

1.D 解析：根据相似图形的定义知，A、B、C项中的两个图形都为相似图形，D项中的两个图形一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形.

2.B 解析：∵ AB⊥BC,CD⊥BC,∴ AB∥CD,∴ ∠A=∠D.又∠AEB=∠DEC，

∴ △BAE∽△CDE,∴ = .

∵ BE 20 m，EC 10 m，CD 20 m，∴ = ,∴ AB=40 m.

3. C 解析：∵ DE∥BC，∴ .

∵ ，∴ ，故选C.

点拨：平行线分线段成比例的内容是：两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例.注意对应线段不能找错.

4.D 解析：设 ，则 所以15x-14x+8x=3,即x= ,所以 .

5. C 解析：△ABC与△DEF的周长比=△ABC与△DEF的相似比=1∶4.

点拨：掌握“相似三角形周长的比=相似比”是解答此题的关键．

6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .

7.C 解析：由 对照四个选项知，C项中的三角形与△ 相似.

8. C 解析：∵ AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴ AB∥CD∥EF，

∴ △ABE∽△DCE，∴ .

∵ AB∥CD∥EF，∴ △BEF∽△BCD，

∴ ，

∴ EF= CD= .

9.D 解析：A项的点在第一象限；B项的点在第二象限；C项的点在第三象限；D项的点在第四象限.笑脸在第四象限，所以选D.

10.B 解析：由正五边形 是由正五边形 经过位似变换得到的，知 ， 所以选项B正确.

11.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的直角三角形的两直角边长为3,4时， 的值为5；当一个直角三角形的一直角边长为6，斜边长为8，另一直角边长为 ，且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3,斜边长为4时， 的值为 .故 的值可以为5或 .（其他情况均不成立）

12. C 解析：因为选项A,B中,阴影三角形与原三角形有一个公共角且有一个角与原三角形的一个角相等,所以阴影三角形与原三角形相似；

选项D中,阴影三角形与原三角形的两边对应成比例且对应边的夹角相等,所以阴影三角形与原三角形相似；

选项C中,虽然阴影三角形与原三角形的两边对应成比例,但对应边的夹角不相等,所以选项C中的阴影三角形与原三角形不相似.故答案为C.

13.4 解析：因为 ，

所以设 ，

所以 所以

14.64 解析：根据三角形中位线定理，得AB=2MN=2×32=64（m）.

15. 解析：如图，∵ D、E分别是边AB、AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.

∴ DE∥BC，DE= BC.∴ △ADE∽△ABC.

∴ = = = .

规律：相似三角形对应中线、对应角平分线、对应高的比等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.

16. 解析：∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，∴ ，即 .又 ， ， ，∴

17．80.8 解析：如图所示，作AM⊥EF，垂足为点M，则AM的长即为点A到EF的距离.作CN⊥AB，垂足为点N，则四边形ADCN是矩形，AD＝CN.∵ ∠CNB＝∠AMB，∠CBN＝∠ABM，

∴ △CNB∽△AMB，∴ ，∴ ，∴ AM ，

∴ 点A到地面的距离＝AM＋4 4 80.8(cm).

18． 或 解析：分两种情况：(1)如图1，当B′M=1时，B′N=2，由折叠知AB′=AB=3，BE=B′E,∠ABE=∠AB′E=90°,易证△AB′M∽△B′EN,∴ = .在Rt△AB′M中，由勾股定理求得AM=2 ,即 = ,∴ B′E=BE= .(2)如图2，当B′M=2时，B′N=1，由折叠知AB′=AB=3，BE=B′E,∠ABE=∠AB′E=90°,易证△AB′M∽△B′EN,∴ = .在Rt△AB′M中，由勾股定理求得AM= ,即 = ,∴ B′E=BE= .综上所述，BE的长为 或 .

图1 图2

点拨：涉及折叠的问题，通常根据其性质找到全等的图形，进而得到相等的角和相等的线段.求线段的长度一般通过寻找相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例，建立关于某个未知数的等式来求解.

19.分析:列比例式时，单位一定要统一，做题时要看仔细.

解：∵ 6 cm， ， ，

∴ ，即 ，解得 .

20. (1) 证明：因为∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，所以∠ADF=∠C.

又因为 = ，所以△ADF∽△ACG.

(2) 解：因为△ADF∽△ACG，所以 = .

又因为 = ，所以 = ，所以 =1.

解析：(1)由已知△ADF与△ACG有两组边对应成比例，要证两三角形相似，只需再证明∠ADF=∠C，这可以由∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB证得；(2)根据(1)中△ADF∽△ACG列出比例式 = ，进而求得 的值.

21.分析：要判定两个多边形相似，必须对应角相等，对应边成比例，因矩形的四个角都直角，符合对应角相等，只要证明对应边成比例即可.

解：因为两个图形都是矩形，显然它们的四个角都分别相等.

从图中数据观察可知小矩形的长为20，宽为10，

于是两个矩形的长之比为 = ,宽之比为 ,

符合对应边成比例，对应角相等，故这两个矩形是相似的.

22. 证明：（1）∵ OB=OE，∴ ∠OEB=∠OBE.

∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB=OD.∴ OD=OE，∴ ∠OED=∠ODE.

在△BED中，∠OEB+∠OBE+∠ODE+∠OED=180°，

∴ 2（∠OEB+∠OED）=180°，∴ ∠OEB+∠OED=90°，即∠BED=90°，∴ DE⊥BE.

（2）如图，设OE交CD于点H.

∵ OE⊥CD于点H，∴ ∠CHE=90°，∴ ∠CEH+∠HCE=90°.

∵ ∠CED=90°，∴∠CDE+∠DCE=90°.∴ ∠CDE=∠CEH.

∵ ∠OEB=∠OBE，∴ ∠OBE=∠CDE.

在△CED与△DEB中，

∴ △CED∽△DEB，

∴ ，∴ BD·CE＝CD·DE

23. 解：(1)∵ AD=BC= ,

∴= = .

∵AC=1,

∴CD=1- = ,

∴ =AC·CD.

(2)∵ =AC·CD,

∴ =AC·CD，即 = .

又∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.∴ = .

又AB=AC,∴ BD=BC=AD.

∴∠A＝∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.

设∠A＝∠ABD＝x,则∠BDC=∠A+∠ABD＝2x，

∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,

∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.

∴∠ABD=36°.

解析：(1)分别求出 与AC·CD的值，然后进行比较，得出它们之间的关系；

(2)由(1)中 =AC·AD，AD=BC，先证明△ABC∽△BDC，可得 = .又AB=AC，从而有BD=BC=AD，设∠A=∠ABD=x，则∠ABC=∠C=∠BDC=2x，根据△ABC的内角和等于180°列方程求出∠ABD的度数.

24.（1）证明：∵ ∠A＝40°,∠B=60°,

∴ ∠ACB=80°,

∴ △ABC不是等腰三角形.

∵ CD平分∠ACB,∴ ∠ACD=∠BCD= ∠ACB=40°,

∴ ∠ACD=∠A=40°,

∴ △ACD为等腰三角形.

∵ ∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,

∴ △BCD∽△BAC.

∴ CD是△ABC的完美分割线.

(2)解：当AD=CD时(如图①)，∠ACD=∠A=48°.

∵ △BDC∽△BCA,∴ ∠BCD=∠A=48°,

∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

当AD=AC时(如图②)，∠ACD=∠ADC= ＝66°.

∵ △BDC∽△BCA,∴ ∠BCD=∠A=48°,

∴ ∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.

当AC=CD时(如图③)，∠ADC=∠A=48°.

∵ △BDC∽△BCA,∴ ∠BCD=∠A=48°.

∵ ∠ADC＞∠BCD,矛盾，舍去.

∴ ∠ACB=96°或114°.

① ② ③

(3)解：由已知AC=AD=2.

∵ △BCD∽△BAC,∴ = .

设BD=x,∴ ,

解得x=－1± .

∵ x＞0,∴ x= －1.

∵ △BCD∽△BAC,

∴ = = ,

∴ CD= ×2= ( －1)= .

解析：(1)利用三角形内角和求得∠ACB=80°，得△ACB不是等腰三角形.利用角平分线的定义，得∠ACD=∠BCD=40°，从而证明△ACD为等腰三角形，△BCD∽△BAC,故CD是△ABC的完美分割线.

(2)若△ACD是等腰三角形,则应分三种情况讨论：①AD=CD;②AD=AC;③AC=CD.

①AD=CD与AD=AC时，求得∠ACD的度数，利用相似求得∠BCD的度数，进而求得∠ACB的度数;

②AC=CD时，求得∠ADC的度数，利用相似求得∠BCD的度数，进而得矛盾结论，假设不成立.

(3)根据条件得AC=AD=2，利用△BCD∽△BAC，得 = = ，从而得 =BD·BA，设BD=x，表示出BA，建立方程求得BD，再根据 = 求出CD的长.

25.解：由题意，知∠BAD=∠BCE.∵ ∠ABD=∠CBE=90°，

∴ △BAD∽△BCE.∴ ，

∴ .∴ BD=13.6.

∴ 河宽BD是13.6米.