反比例函数的图象与性质

一、选择题

1．下列图象中是反比例函数 图象的是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：C

解析：解答：反比例函数 图象的是C．

故选：C．

分析：此题考查了反比例函数的图象，掌握反比例函数图象的形状是解题关键．利用反比例函数图象是双曲线进行判断即可．

2．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数 （k≠0）的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：A

解析：解答：①当k＞0时，一次函数的图象y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数图象经过一、三象限，如图所示：

②当k＜0时，一次函数图象y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数图象经过二、四象限．如图所示：

故选：A．

分析：因为此题k的符号不确定，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．此题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．

3．在同一直角坐标系中，函数 与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：B

解析：解答：∵a≠0，

∴a＞0或a＜0．

当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，

当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．

故选：B．

分析：因为a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论进行判断．直线y=kx+b、双曲线 ，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．

4．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案：D

解析：解答：∵ab＜0，∴分两种情况：

①当a＞0，b＜0时，正比例函数y=ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；

②当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合．

故选：D．

分析：根据ab＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两方面分类讨论得出答案．掌握反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质是解答此类题的关键．

5．若函数 是反比例函数，且图象在第一，三象限，那么m的值是（　　）

A．±1

B．1

C．-1

D．2

答案：C

解析：解答： 是反比例函数，

∴ ， ，

解之得m=±1，

又∵图象在第一，三象限，

∴ >0，

即m＜ ，

故m的值是-1．

故选：C．

分析：先根据反比例函数的定义得 ，得出m的可能取值，再由反比例函数的性质得出最后结果．将反比例函数解析式的一般式 （k≠0），转化为 （k≠0）的形式，根据反比例函数的定义条件可以求出m的值，注意不要忽略k≠0这个条件．

6．已知反比例函数 ，下列结论中，不正确的是（　　）

A．图象必经过点（1，2）

B．y随x的增大而增大

C．图象在第一、三象限内

D．若x＞1，则0＜y＜2

答案：B

解析：解答：A．把点（1，2）代入反比例函数 ，成立．

B．∵k=2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．

C．∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．

D．若x＞1，则y＜2，正确．

故选：B．

分析：根据反比例函数的性质用排除法解答．此题考查了反比例函数 （k≠0）性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

7．在反比例函数 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）

A．-1

B．0

C．1

D．2

答案：D

解析：解答：反比例函数 的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，

∴1-k＜0，

∴k＞1．

故选：D．

分析：对于函数 来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．易错点：对解析式 中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．

8．反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（　　）

A．-1

B．1

C．2

D．

答案：D

解析：解答：∵反比例函数在第一象限，

∴k＞0，

∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，

∴k＜1，

故选：D．

分析：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断选择．

9．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线 （x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（　　）

A．逐渐增大

B．不变

C．逐渐减小

D．先增大后减小

答案：C

解析：解答：设点P的坐标为（x， ），

∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，

∴四边形OAPB是个直角梯形，

∴四边形OAPB的面积= （PB+AO）•BO= （x+AO）• = + ，

∵AO是定值，

∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．

故选：C．

分析：由双曲线 （x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式进行判定．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式是解题的关键．

10．某反比例函数象经过点（-1，6），则下列各点中此函数图象也经过的是（　　）

A．（-3，2）

B．（3，2）

C．（2，3）

D．（6，1）

答案：A

解析：解答：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，

∴此函数的比例系数是：（-1）×6=-6，

∴下列四个选择的横纵坐标的积是-6的，就是符合题意的选项；

A．（-3）×2=-6，故本选项正确；

B．3×2=6，故本选项错误；

C．2×3=6，故本选项错误；

D．6×1=6，故本选项错误；

故选：A．

分析：只要把所给点的横纵坐标相乘，结果是（-1）×6=-6的，就在此函数图象上．此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征：所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

11．如果点A（-1， ）、B（1， ）、C（2， ）是反比例函数 图象上的三个点，则下列结论正确的是（　　）

A． ＞ ＞

B． ＞ ＞

C． ＞ ＞

D． ＞ ＞

答案：A

解析：解答：：∵反比例函数的比例系数为-1，

∴图象的两个分支在二、四象限；

∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，

∴ 最大，

∵1＜2，y随x的增大而增大，

∴ ＜ ，

∴ ＞ ＞ ．

故选：A．

分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小．用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y随x的增大而增大．

12．若反比例函数 的图象经过点（m，3m），其中m≠0，则此反比例函数图象经过（　　）

A．第一、三象限

B．第一、二象限

C．第二、四象限

D．第三、四象限

答案：A

解析：解答：：∵反比例函数 的图象经过点（m，3m），m≠0，

∴将x=m，y=3m代入反比例解析式得： ，

∴ ＞0，

则反比例 图象过第一、三象限．

故选：A

分析：由反比例函数 的图象经过点（m，3m），其中m≠0，将x=m，y=3m代入反比例解析式中表示出k，根据m不为0，得到k总大于0，利用反比例函数图象的性质得到此反比例函数图象在第一、三象限．此题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的性质，掌握待定系数法是解此题的关键．

13．如图，有反比例函数 ， 的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π

B．2π

C．4π

D．条件不足，无法求

答案：B

解析：解答：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，

∵圆的半径是2，

∴图中阴影部分的面积是 ．

故选：B．

分析：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，求出圆的面积，再除以2即可．能根据图象得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半是解答此题的关键．

14．反比例函数 图象经过点（2，3），则n的值是（　　）

A．-2

B．-1

C．0

D．1

答案：D

解析：解答：设 ，将点（2，3）代入解析式，

可得n+5=6，即n=1．

故选：D．

分析：先设 ，再把已知点的坐标代入可求出k值，进一步求出n的值．主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．

15．当x＞0时，反比例函数 （　　）

A．图象在第四象限，y随x的增大而增大

B．图象在第三象限，y随x的增大而增大

C．图象在第二象限，y随x的增大而减小

D．图象在第一象限，y随x的增大而减小

答案：A

解析：解答：∵反比例函数 中的-2＜0，

∴该反比例函数经过第二、四象限；

又∵x＞0，

∴图象在第四象限；y随x的增大而增大．

故选：A．

分析：反比例函数 （k≠0），当k＞0时，其图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，其图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．此题考查了反比例函数的性质．

二、填空题

16．已知反比例函数 的图象如图，则m的取值范围是

答案：m＜1

解析：解答：由图象可得：k＞0，即1-m＞0，

解得：m＜1．

故答案为：m＜1．

分析：根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小解答．反比例函数 ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

17．已知点P（1，2）在反比例函数 的图象上，根据图象判断，当x＞1时，y的取值范围是

答案：0＜y＜2

解析：解答：由P点坐标及图象可知，当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜2．

故答案为0＜y＜2．

分析：由反比例函数的图象的性质，进行解答．此题考查了反比例函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．

18．对于函数 ，当x＞2时，y的取值范围是

答案：0＜y＜1

解析：解答：根据反比例函数性质可知 ；且过一、三象限；因为x＞2；

所以 ＞2；

解得y＜1且y＞0；即0＜y＜1．

所以y的取值范围是0＜y＜1．

分析：此题可结合函数图象列不等式求解．主要考查了反比例函数的性质．

19．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A（2，1）、B（-1，-2），则使 ＞ 的x的取值范围是

答案：x＞2或-1＜x＜0

解析：解答：由图象易得在交点的右边，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的函数值，

∵两图象交于点A（2，1）、B（-1，-2），

∴使 ＞ 的x的取值范围是：x＞2或-1＜x＜0．

分析：找到在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的值．用到的知识点为：求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．

20．如图，是反比例函数 和 （ ＜ ）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若 ，则 的值为

答案：4

解析：解答：设A（a，b），B（c，d），

代入得： =ab， =cd，

∵ ，

∴ cd- ab=2，

∴cd-ab=4，

∴ - =4，

故答案为：4．

分析：设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到 =ab， =cd，根据三角形的面积公式求出cd-ab=4，即可得出答案．此题能求出cd-ab=4是解此题的关键．

三、解答题

21．已知反比例函数 的图象经过点（-1，-2）．

（1）求y与x的函数关系式；

答案：

（2）若点（2，n）在这个图象上，求n的值．

答案：（2）n=1

解析：解答：（1）∵点（-1，-2）在反比例函数 上，

∴k=-1×（-2）=2，

∴y与x的函数关系式为 ．

（2）∵点（2，n）在这个图象上

∴2n=2

∴n=1．

分析：（1）根据点（-1，-2）的坐标用待定系数法求反比例函数 的函数关系式；（2）把点（2，n）代入函数关系式求出n的值．反比例函数上的点的横纵坐标的积相等．

22．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 过点A，求k的值．

答案：-4

解析：解答：根据题意，知

|k|= =4，k=±4，

又∵k＜0，

∴k=-4．

分析：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|，由此求解．主要考查了反比例函数 中k的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．

23．已知反比例函数 的图象经过点M（2，1）

（1）求该函数的表达式；

答案：

（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．

答案： ＜y＜1

解析：解答：（1）∵反比例函数 的图象经过点M（2，1），

∴k=2×1=2，

∴该函数的表达式为 ；

（2）∵ ，

∴ ，

∵2＜x＜4，

∴2＜ ＜4，

即 ＜y＜1．

分析：（1）用待定系数法把（2，1）代入反比例函数 中得k的值，从而得到解析式；（2）由 得 ，再根据条件2＜x＜4得2＜ ＜4，最后解不等式即可．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，正确确定函数解析式是解题的关键．

24．已知反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．

（1）求这个函数的解析式；

答案：

（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；

答案：点B不在该函数图象上｜点C在该函数图象上

（3）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围．

答案：-6＜y＜-2

解析：解答：（1）∵反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），

∴把点A的坐标代入解析式，得 ，

解得，k=6，

∴这个函数的解析式为： ；

（2）∵反比例函数解析式 ，

∴6=xy．

分别把点B、C的坐标代入，得

（-1）×6=-6≠6，则点B不在该函数图象上．

3×2=6，则点C在该函数图象上；

（3）∵当x=-3时，y=-2，当x=-1时，y=-6，

又∵k＞0，

∴当x＜0时，y随x的增大而减小，

∴当-3＜x＜-1时，-6＜y＜-2．

分析：（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．（2）把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．

25．反比例函数 在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数 的图象于点M，△AOM的面积为3．

（1）求反比例函数的解析式；

答案：

（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数 的图象上，求t的值．

答案：7或3

解析：解答：（1）∵△AOM的面积为3，

∴ |k|=3，

而k＞0，

∴k=6，

∴反比例函数解析式为 ；

（2）当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数 的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，

把x=1代 得y=6，

∴M点坐标为（1，6），

∴AB=AM=6，

∴t=1+6=7；

当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数 的图象上，

则AB=BC=t-1，

∴C点坐标为（t，t-1），

∴t（t-1）=6，

整理为 -t-6=0，解得 =3， =-2（舍去），

∴t=3，

∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数 的图象上时，t的值为7或3．

分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到 |k|=3，得到满足条件的k=6，从而得到反比例函数解析式为 ；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数 的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数 的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-1，则C点坐标为（t，t-1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．