一元二次方程

基础题　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　一元二次方程的定义及一般形式

1．(山西模拟)下列方程一定是一元二次方程的是(　　)

A．3x²＋－1＝0 B．5x²－6y－3＝0

C．ax²－x＋2＝0 D．3x²－2x－1＝0

2．关于x的方程ax²－3x＋3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(　　)

A．a＞0 B．a≠0

C．a＝1 D．a≥0

3．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是________________．

4．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：

(1)2y²＝8；

(2)2x²＋5＝4x；

(3)4x(x＋3)＝0；

知识点2　一元二次方程的根

5．下列是方程3x²＋x－2＝0的解的是(　　)

A．x＝－1 B．x＝1

C．x＝－2 D．x＝2

6．(甘孜中考)一元二次方程x²＋px－2＝0的一个根为2，则p的值为(　　)

A．1 B．2

C．－1 D．－2

7．下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方程x²－x＝2的根是(　　)

x	－2	－1	0	1	2	3	…
x2－x	6	2	0	0	2	6	…

A.x＝－1 B．x＝0

C．x＝2 D．x＝－1和x＝2

8．(兰州中考)若一元二次方程ax²－bx－2 015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________．

9．下列数值是方程x²－x－2＝0的根的是________．

①－1； ②0； ③1； ④2.

知识点3　用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系

10．(黔西南中考)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　　)

A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180

C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180

11．有一根20 m长的绳子，怎样用它围成一个面积为24 m²的矩形？设矩形的长为x m，依题意可得方程________________．

12．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．

(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；

(2)x支球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了30场比赛，求参赛的篮球队支数x.

中档题

13．下列方程中是关于x的一元二次方程的是(　　)

A．x²＋＝0

B．ax²＋bx＋c＝0

C．(x－1)(x＋2)＝1

D．x(x－1)＝x²＋2x

14．(菏泽中考)已知关于x的一元二次方程x²＋ax＋b＝0有一个非零根－b，则a－b的值为(　　)

A．1 B．－1

C．0 D．－2

15．关于x的一元二次方程(a－1)x²＋x＋|a|－1＝0的一个根是0，则实数a的值为(　　)

A．－1 B．0 C．1 D．－1或1

16．若关于x的一元二次方程(a－2)x²－(a²－4)x＋8＝0不含一次项，则a＝________．

17．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长为x厘米，则另一直角边长为________厘米．列方程得__________________．

18．(绵阳中考)关于m的一元二次方程nm²－n²m－2＝0的一个根为2，则n²＋n^－2＝________．

19.根据下面的问题列出关于x的方程，并将方程化成一般形式：

在圣诞节到来之际，九(四)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(四)班有多少名同学？

20．已知关于x的方程(m＋3)(m－3)x²＋(m＋3)x＋2＝0.

(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？

(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？

综合题

21．下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个同学的答案，判断一下谁的答案正确，若不正确，请给出正确的解答过程．

题目：若x^2a＋b－2x^a－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，则a，b的值各是多少？

学生甲：根据题意，可得解得

学生乙：根据题意，可得或或或

解得或或或

参考答案

基础题

1．D　2.B　3.2x²＋3x－5＝0　

4.(1)移项，可得一元二次方程的一般形式：2y²－8＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－8.

(2)移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式：2x²－4x＋5＝0.其中二次项系数为2，一次项系数为－4，常数项为5.

(3)去括号，化为一般形式得4x²＋12x＝0.其中二次项系数为4，一次项系数为12，常数项为0.

5.A　6.C　7.D　8.2 015　9.①④　10.C　11.x(10－x)＝24　

12.(1)6x²＝36.一般形式为：6x²－36＝0.(2)x(x－1)＝30.一般形式为：x²－x－30＝0或x²－x－60＝0.

中档题

13．C　14.A　15.A 16.－2　17.(17－x)　x²＋(17－x)²＝13²　18.26　

19.设九(四)班有x名同学，根据题意得：x(x－1)＝1 980.将方程化成一般形式为：x²－x－1 980＝0.　

20.(1)由题意得(m＋3)(m－3)＝0且m＋3≠0，所以m－3＝0，即m＝3.(2)由题意得(m＋3)(m－3)≠0，即m≠±3.

综合题

21．学生甲、乙的解答过程均不完整，完整的解答过程如下：根据题意，可得或或或或解得或或或或