第1课时　一元二次方程的根的判别式

基础题

知识点1　利用根的判别式判别根的情况

1．一元二次方程x²－4x＋4＝0的根的情况是(　　)

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．有一个实数根

D．无实数根

2．(自贡中考)一元二次方程x²－4x＋5＝0的根的情况是(　　)

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．没有实数根

3．(云南中考)下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　)

A．4x²－5x＋2＝0 B．x²－6x＋9＝0

C．5x²－4x－1＝0 D．3x²－4x＋1＝0

4．(苏州中考)下列关于x的方程有实数根的是(　　)

A．x²－x＋1＝0 B．x²＋x＋1＝0

C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)²＋1＝0

5．不解方程，判定下列一元二次方程根的情况：

(1)9x²＋6x＋1＝0；

(2)16x²＋8x＝－3；

(3)3(x²－1)－5x＝0.

6．(泰州中考)已知：关于x的方程x²＋2mx＋m²－1＝0.

(1)不解方程，判别方程的根的情况；

(2)若方程有一个根为3，求m的值．

知识点2　利用根的判别式确定字母的取值

7．(温州中考)若关于x的一元二次方程4x²－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值是(　　)

A．－1 B．1 C．－4 D．4

8．(益阳中考)一元二次方程x²－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是(　　)

A．m＞1 B．m＝1 C．m＜1 D．m≤1

9．(东莞中考)若关于x的方程x²＋x－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥2 B．a≤2

C．a＞2 D．a＜2

10．(龙口期中)当k为何值时，关于x的一元二次方程x²－(2k－1)x＝－k²＋2k＋3.

(1)有两个不相等的实数根；

(2)有两个相等的实数根；

(3)无实根．

中档题

11．(内江中考)若关于x的一元二次方程(k－1)x²＋2x－2＝0有不相等实数根，则k的取值范围是(　　)

A．k＞ B．k≥

C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1

12．(贵港中考)若关于x的一元二次方程(a－1)x²－2x＋2＝0有实数根，则整数a的最大值为(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

13．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x²－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)

14．(烟台中考)等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x²－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为(　　)　

A．9

B．10

C．9或10

D．8或10

15．关于x的方程(a－5)x²－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是________．

16．(贺州中考)已知关于x的方程x²＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是________．

17．(福州中考)已知关于x的方程x²＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．

18．(汕尾中考)已知关于x的方程x²＋ax＋a－2＝0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

综合题

19．(自贡中考)用配方法解关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0.

参考答案

基础题

1. B　2.D　3.A　4.C　

5. （1）∵a＝9，b＝6，c＝1，∴Δ＝b²－4ac＝36－36＝0.∴此方程有两个相等的实数根．

（2）化为16x²＋8x＋3＝0.∵a＝16，b＝8，c＝3，∴Δ＝b²－4ac＝64－4×16×3＝－128<0.∴此方程没有实数根．

（3）化为一般形式为：3x²－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)²－4×3×(－3)＝25＋36＝61＞0.∴此方程有两个不相等的实数根．　

6.(1)∵b²－4ac＝(2m)²－4×1×(m²－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x＝3代入原方程，得9＋6m＋m²－1＝0，解得m₁＝－2，m₂＝－4.∴m的值为－2或－4.　

7.B　8.D　9.C　

10.原方程整理为x²－(2k－1)x＋k²－2k－3＝0，Δ＝(2k－1)²－4(k²－2k－3)＝4k＋13.

(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即4k＋13>0，解得k>－.

(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即4k＋13＝0，解得k＝－.

(3)当Δ<0时，方程没有实数根，即4k＋13<0，解得k<－.

中档题

11. C　12.B　13.B　14.B　15.a≥1　16.0　

17.∵关于x的方程x²＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m－1)²－4×1×4＝0.∴2m－1＝±4.∴m＝或m＝－.　18.(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a＋a－2＝0.∴a＝.代入方程得：x²＋x－＝0.解得x₁＝1，x₂＝－.∴a的值为，方程的另一个根为－.(2)证明：在x²＋ax＋a－2＝0中，Δ＝a²－4a＋8＝(a－2)²＋4>0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

综合题

19．∵关于x的方程ax²＋bx＋c＝0是一元二次方程，∴a≠0，∴由原方程，得x²＋x＝－，等式的两边都加上()²，得x²＋x＋()²＝－＋()²，配方，得(x＋)²＝－，当b²－4ac>0时，开方，得：x＋＝±，解得x₁＝，x₂＝，当b²－4ac＝0时，解得x₁＝x₂＝－；当b²－4ac<0时，原方程无实数根．