2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
1．若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A．﹣4 B．3 C．
D．
2．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
3．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（
）=（ ）
A．
B．
C．4 D．﹣4
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则
+
的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
6．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+
m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
8．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
9．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（ ）
A．
B．﹣
C．4 D．﹣1
10．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
11．若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
12．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
二、填空题
13．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= ．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则
+
= ．
15．设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2= ，m= ．
16．方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．
17．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 ．
18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= ．
19．关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 ．
20．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则
+
的值为 ．
21．设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= ．
22．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= ．
三、解答题
23．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
25．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=
+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
27．已知在关于x的分式方程
①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
《2.5 一元二次方程的根与系数的关系》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=（ ）
A．﹣4 B．3 C．
D．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“x1+x2=
”，由此即可得出结论．
【解答】解：∵方程3x2﹣4x﹣4=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=﹣
=
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“x1+x2=﹣
=
”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
2．一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（ ）
A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系找出“x1+x2=﹣
=3，x1•x2=
=﹣2”，再结合四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣
=3，x1•x2=
=﹣2，
∴C选项正确．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=3，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
3．关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（
）=（ ）
A．
B．
C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴
，
∴则m2（
）=
=
=﹣4．
故答案选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则x12﹣x1+x2的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．2 D．3
【考点】根与系数的关系．
【分析】由根与系数的关系得出“x1+x2=2，x1•x2=﹣1”，将代数式x12﹣x1+x2变形为x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2，套入数据即可得出结论．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2=﹣
=2，x1•x2=
=﹣1．
x12﹣x1+x2=x12﹣2x1﹣1+x1+1+x2=1+x1+x2=1+2=3．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系找出两根之积与两根之和．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系，找出两根之和与两根之积是关键．
5．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则
+
的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据方程的解析式结合根与系数的关系找出a+b=3、ab=p，利用完全平方公式将a2﹣ab+b2=18变形成（a+b）2﹣3ab=18，代入数据即可得出关于p的一元一次方程，解方程即可得出p的值，经验证p=﹣3符合题意，再将
+
变形成
﹣2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+
=
=
=
﹣2=
﹣2=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系、解一元一次方程以及完全平方公式的应用，解题的关键是求出p=﹣3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
6．已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=﹣
，x1•x2=﹣2，将其代入x1﹣x1x2+x2中即可算出结果．
【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，
∴x1+x2=﹣
=﹣
，x1•x2=
=﹣2，
∴x1﹣x1x2+x2=﹣
﹣（﹣2）=
．
故选D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=﹣
，x1•x2=﹣2．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．
7．定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+
m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【考点】根与系数的关系．
【专题】新定义．
【分析】由根与系数的关系可找出a+b=1，ab=
m，根据新运算，找出b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x+
m=0（m＜0）的两根，
∴a+b=1，ab=
m．
∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．
故选A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1，ab=
m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
8．设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，由根与系数的关系可以求得αβ的值，本题得以解决．
【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，
∴αβ=
=
，
故选D．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之积等于常数项与二次项系数的比值．
9．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（ ）
A．
B．﹣
C．4 D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，
∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，
解得a=2，b=﹣
，
∴ba=（﹣
）2=
．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
10．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A．4，﹣2 B．﹣4，﹣2 C．4，2 D．﹣4，2
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】根据题意，利用根与系数的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可．
【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2=﹣8，2+x2=﹣m=﹣2，
解得：x2=﹣4，m=2，
则另一实数根及m的值分别为﹣4，2，
故选D
【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
11．若关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【考点】根与系数的关系．
【分析】设方程的另一根为m，由一个根为﹣1，利用根与系数的关系求出两根之和，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：关于x的方程x2﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m，
可得﹣1+m=2，
解得：m=3，
则方程的另一根为3．
故选D．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设为x1，x2，则有x1+x2=﹣
，x1x2=
．
12．已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，设另一个根为m，
∴﹣2+m=
，
解得，m=﹣1，
故选B．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数．
二、填空题
13．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n= 5 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．
【解答】解：∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根，
∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，
∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是把m2+3m+n转化为m2+2m+m+n的形式，结合根与系数的关系以及一元二次方程的解即可解答．
14．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根，则
+
= ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用韦达定理求得x1+x2=2，x1•x2=﹣1，然后将其代入通分后的所求代数式并求值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根为x1、x2，
x1+x2=2，
x1•x2=﹣1，
∴
+
=
=﹣2．
故答案是：﹣2．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
15．设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2= 4 ，m= 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣
=4，x1x2=
=m，将其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣
=4，x1x2=
=m．
∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，
∴m=3．
故答案为：4；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=4，x1x2=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
16．方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= 
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得出“x1+x2=﹣
=
，x1•x2=
=﹣
”，再利用完全平方公式将x12+x22转化成
﹣2x1•x2，代入数据即可得出结论．
【解答】解：∵方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣
=
，x1•x2=
=﹣
，
∴x12+x22=
﹣2x1•x2=
﹣2×（﹣
）=．
故答案为：
．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是求出x1+x2=
，x1•x2=﹣
．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再利用完全平方公式将原代数式转化成只含两根之和与两根之积的代数式是关键．
17．关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是 m＞
．
【考点】根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：
，即
解得：m＞
．
故答案为：m＞
．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
18．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22= 13 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，
所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣
，x1x2=
．
19．关于x的方程2x2﹣ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为 
．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到1•t=
，然后解关于t的方程即可．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1•t=
，解得t=
．
故答案为
．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣
，x1x2=
．
20．设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则
+
的值为 ﹣
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2、x1•x2的值，然后将所求的代数式进行变形并代入计算即可．
【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=
，x1x2=﹣
，
∴
+
=
=
=﹣
．
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣
，x1•x2=
．
21．设一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2（x22﹣3x2）= 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由题意可知x22﹣3x2=1，代入原式得到x1+x2，根据根与系数关系即可解决问题．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1﹣1=0，x22﹣3x2﹣1=0，x1+x2=3，
∴x22﹣3x2=1，
∴x1+x2（x22﹣3x2）=x1+x2=3，
故答案为3．
【点评】本题考查根与系数关系、一元二次方程根的定义，解题的关键是灵活运用根与系数的关系定理，属于中考常考题型．
22．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n= 2016 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣
，x1x2=
．也考查了一元二次方程根的定义．
三、解答题
23．关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，再结合完全平方公式可得出x12+x22=
﹣2x1•x2，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，
解得：m＜
．
∴m的取值范围为m＜
．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，
∴x12+x22=
﹣2x1•x2=4﹣4m=8，
解得：m=﹣1．
当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．
∴m的值为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，
而2x1x2+x1+x2≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣
，x1x2=
．也考查了根与系数的关系．
25．关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=
+x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
（2）由韦达定理得x1+x2=﹣
，x1x2=
，代入到
+x1+x2=2中，可求得k的值．
【解答】解：（1）当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；
当k≠1时，方程是一元二次方程，
∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2
=4k2﹣8k+8
=4（k﹣1）2+4＞0，
∴无论k为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．
（2）由根与系数关系可知，x1+x2=﹣
，x1x2=
，
若S=2，则
+x1+x2=2，即
+x1+x2=2，
将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，
解得：k=1（舍）或k=2，
∴S的值能为2，此时k=2．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=6x1•x2，
即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m=
＜2，
∴符合条件的m的值为
．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
27．已知在关于x的分式方程
①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△＞0，得出m＞0或m＜﹣
，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．
【解答】解：（1）∵关于x的分式方程
的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=
≥0，且
≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△＞0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）＞0，
则m＞0或m＜﹣
；
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1•x2=
=1﹣
，
∴1﹣
为整数，
∴m=1或﹣1，
由（1）知k≠1，则m+2≠1，m≠﹣1
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣
=
=﹣m，x1x2=
=
n，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×
n=（﹣1）2，
m2﹣4n=1，n=
①，
△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0②，
把①代入②得：9m2﹣48×
≥0，
m2≤4，
则|m|≤2，
∴|m|≤2成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．
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