相似三角形的判定

重难点易错点解析

题一：

题 面：如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．

金题精讲

题一：

题面：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=2，BD=4，则CD 为 ．

题二：

题面：如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD=B C；③PB=PF；④AD²=4AB•DC．其中正确的是（　　）

满分冲刺

题一：

题面：如图，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边BC上，E、F两点分别在AB 、AC上，AD交EF于点H．设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值．

题二：

题面：如图，在△ABC中，AD，BE是两条中线，则 （ ）

A．1∶2 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶4

题三：

题面：如图，已知E是边长为4cm的正方形ABCD内一点，且DE=3cm，∠AED=90°，DF⊥DE于D，在射线DF上是否存在这样的M，使得以C、D、M为 顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出满足条件的DM长；若不存在，请说明理由．

课后练习详解

重难点易错点解析

题一：

答案：C．

详解：选项A或B由∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC，加上∠A是公共角，根据两组对应角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ ABC；选项 D由 ，加上∠A是公共角，根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定，可得△ADB∽△ABC；但 ，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB与△ABC相似．故选C．

金题精讲

题一：

答案： 2 ．

详解：Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB；
∴∠ACD=∠B=90°∠A；
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ACD∽△CBD；
∴CD²=AD•BD=8，即CD=2 ．

题二：

答案：①②④．

详解：连接 AE，∵BA，BE是圆的切线．
∴AB=BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD=CE，AB=BE
∴AB+CD=BC
故②正确；
∵OD=OF
∴∠ODF=∠OFD=∠BFP
若PB=PF，则有∠PBF=∠BFP=∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB=PF不一定成了．
故③不正 确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO

∴
即OA•OD=AB•CD
∴AD²=4AB•DC
故④正确．
故正确的是：①②④．

满分冲刺

题一：

答案：当x=5时，S_矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

详解：∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP
∴△AEF∽△ABC
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF；
∴AH：AD=EF：BC；
∵BC=10，高AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH= x
∴EQ=HD=ADAH=8 x，
∴S_矩形EFPQ =EF•EQ=x(8 x)= x²+8x=  (x5)²+20，
∵ ＜0，
∴当x=5时，S_矩形EFPQ有最大值，最大值为20．

题二：

答案：D．

详解：∵△ABC中，AD、BE是两条中线，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE= AB．

∴△EDC∽△ABC．∴ ．故选D．

题三：

答案：当DM=3cm 或 cm时，△CDM与△ADE相似．

详解：∵∠1+∠2=90° ，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠AED=90°，
所以使得△ CDM中有一个直角即可，
①∠DMC=90°，DM=DE=3cm，
②∠DCM′=90°，

，

cm，
故存在M点，当DM=3cm或 cm时，△ CDM与△ADE相似．