【323415】2023九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.4 一元二次方程根与系数的关系练习（新

2．4　一元二次方程根与系数的关系

1．若x₁，x₂是一元二次方程x²＋10x＋16＝0的两个根，则x₁＋x₂的值是(　 　)

A．－10 B．10

C．－16 D．16

2．已知x₁，x₂是一元二次方程x²－4x＋1＝0的两个实数根，则x₁·x₂等于(　 　)

A．－4 B．－1 C．1 D．4

3．x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＋＝0成立？则正确的结论是(　 　)

A．m＝0时成立 B．m＝2时成立

C．m＝0或2时成立 D．不存在

4．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x₁，x₂的和与积．

(1)2x²－4x－3＝0；

(2)x²－4x＋3＝7；

(3)5x²－3＝10x＋4.

5．设x₁，x₂是方程2x²－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系求：

(1)(x₁＋)(x₂＋)；

(2)(x₁－x₂)².

6．已知一元二次方程x²－6x＋c＝0有一个根为2，求另一个根及c的值．

7. 已知关于x的一元二次方程x²＋2(m＋1)x＋m²－1＝0.

(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足(x₁－x₂)²＝16－x₁x₂，求实数m的值.

8．若 3是关于方程x²－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是(　 　)

A．－2 B．2 C．－5 D．5

9．若关于x的一元二次方程x²＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x₁＝－2，x₂＝4，则b＋c的值是(　 　)

A. －10 B．10

C．－6 D．－1

10．若α，β是一元二次方程x²＋2x－6＝0的两根，则α²＋β²＝(　 　)

A．－8 B．32 C．16 D．40

11．若一元二次方程x²－x－1＝0的两根分别为x₁，x₂，则＋＝_______．

12．若关于x的方程x²＋(k－2)x＋k²＝0的两根互为倒数，则k＝_______．

13．已知x₁，x₂是一元二次方程x²－4x＋1＝0的两个实数根．求 (x₁＋x₂)²÷(＋)的值.

14．关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有两个实数根x₁，x₂.

(1)求m的取值范围；

(2)若x₁，x₂满足等式x₁x₂－x₁－x₂＋1＝0，求m的值．

15．一元二次方程mx²－2mx＋m－2＝0.

(1)若方程有两实数根，求m的范围．

(2)设方程两实根为x₁，x₂，且|x₁－x₂|＝1，求m的值．

16. 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0的两实根．

(1)若(x₁－1)(x₂－1)＝28，求m的值；

(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x₁，x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

答案：

1---3 ACA

4. (1) 解：x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝－　

(2) 解：原方程整理为x²－4x－4＝0，∴x₁＋x₂＝4，x₁x₂＝－4　

(3) 解：原方程整理为5x²－10x－7＝0，∴x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝－　

5. (1) 解：(x₁＋)(x₂＋)＝x₁x₂＋＋2，由题意知x₁＋x₂＝3，x₁x₂＝，∴原式＝＋＋2＝　

(2) 解：(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4x₁x₂，∴原式＝3²－4×＝3　

6. 解：设x²－6x＋c＝0的另一根为x₂，则2＋x₂＝6，解得x₂＝4.由根与系数的关系，得c＝2×4＝8.因此，方程的另一根为4，c的值为8　

7. 解：(1)由题意知Δ＝[2(m＋1)]²－4(m²－1)＝8m＋8≥0，∴m≥－1　

(2)(x₁－x₂)²＝16－x₁x₂，即(x₁＋x₂)²＝16＋3x₁x₂，又x₁＋x₂＝－2(m＋1)，x₁x₂＝m²－1，∴[－2(m＋1)]²＝16＋3(m²－1)，解得m₁＝－9，m₂＝1, 又m≥－1∴m的值为1　

8---10 BAC

11. －1

12. －1

13. 解：∵x₁，x₂是方程x²－4x＋1＝0的两个实数根，∴x₁＋x₂＝4，x₁·x₂＝1.∴原式＝4²÷＝4²÷4＝4　

14. (1) 解：原方程整理为x²－5x＋6－m＝0，∵Δ＝b²－4ac＝(－5)²－4×1×(6－m)＝1＋4m≥0，∴m≥－　

(2) 解：∵x₁＋x₂＝5，x₁·x₂＝6－m，∴x₁x₂－x₁－x₂＋1＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋1＝6－m－5＋1＝0，∴m＝2　

15. 解：(1)由题意知即，∴m>0

(2)|x₁－x₂|＝1，即(x₁－x₂)²＝1，也就是(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝1，而x₁＋x₂＝2，x₁x₂＝，∴2²－4×＝1，解得m＝8，而8>0，∴m的值为8　

16. 解： (1)(x₁－1)(x₂－1)＝28，即x₁x₂－(x₁＋x₂)＝27，而x₁＋x₂＝2(m＋1)，x₁x₂＝m²＋5，∴m²＋5－2(m＋1)＝27，解得m₁＝6，m₂＝－4，又Δ＝[－2(m＋1)]²－4×1×(m²＋5)≥0时，m≥2，∴m的值为6　

(2) 若7为腰长，则方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0的一根为7，即7²－2×7×(m＋1)＋m²＋5＝0，解得m₁＝10，m₂＝4，当m＝10时，方程x²－22x＋105＝0，根为x₁＝15，x₂＝7，不符合题意，舍去．当m＝4时，方程为x²－10x＋21＝0，根为x₁＝3，x₂＝7，此时周长为7＋7＋3＝17　ⅱ

若7为底边，则方程x²－2(m＋1)x＋m²＋5＝0有两等根，∴Δ＝0，解得m＝2，此时方程为x²－6x＋9＝0，根为x₁＝3，x₂＝3，3＋3<7，不成立，综上所述，三角形周长为17