第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
【学习目标】
1．引导学生理解二次函数的概念，掌握二次函数一般形式．
2．通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围．
【学习重点】
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围．
【学习难点】
熟练地列出二次函数关系式．
旧知回顾：一次函数的一般形式是y＝kx＋b(k≠0)
一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，为什么a≠0？当a＝0时，方程不是一元二次方程．
导入新课：某正方形边长为x，面积为S，则其面积S与边长x之间的函数关系式是什么？它是一次函数吗？为什么？
函数关系是S＝x2，不是一次函数，因为右边不是x的一次式．
基础知识梳理
阅读教材本课时的内容，回答以下问题：
1．问题①中40m是长方形的周长吗？是，矩形面积S与其一边长x之间的函数关系式为S＝x(20－x)(0＜x＜20)，它是一次函数吗？不是，原因：右边不是x的一次式．
2．问题②中，设增加x人，此时，共有15＋x个装配工，每人每天可少装配10x个玩具，因此每人每天只装配190－10x个玩具，所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为y＝(190－10x)(15＋x)．
这个函数是一次函数吗？不是，原因：右边不是x的一次式．
3．归纳：上面两个函数解析式具有哪些共同特征？
等式右边都是关于自变量的多项式，自变量的最高次数都是2，二次项系数不为0.
归纳：一般地，表达式形如y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中x是自变量．a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
例1：在函数①y＝－x2；②y＝＋2；③y＝x2－(x＋1)2；④y＝x(x－2)＋2x－1中，是二次函数的有①④．
解这一类题的步骤：
1．审清题意；
2．找等量关系；
3．列函数关系式．
积极发表自己的不同看法和解法，大胆质疑，认真倾听．做每一步运算时都要自觉地注意有理有据．
例2：分别指出下面三个函数解析式中各项的系数.
|
二次项系数 |
一次项系数 |
常数项 |
y＝3x2(x＞0) |
3 |
0 |
0 |
d＝n2－n(n≥3) |
|
－ |
0 |
y＝2x2＋4x＋10 |
2 |
4 |
10 |
例：列出下列函数的关系式．
(1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍，则它的表面积S与底面半径r之间的关系式为S＝6πr2．
(2)某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y＝20(1＋x)2．
(3)n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数m与球队数n之间的关系式为m＝．
训练：一直角三角形两直角边之和为20，其中一条直角边长为x，写出它的面积S与直角边长x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
解：根据题意，得
S＝x(20－x)，
自变量x的取值范围是0＜x＜20.
基础知识训练
1．函数y＝－2x2＋3x－1的二次项系数、一次项系数、常数项依次是( B )
A．－2，3，1 B．－2，3，－1
C．2，3，1 D．2，3，－1
2．将一根长为20cm的铁丝弯成一个矩形框架，设矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为y＝x(10－x)，其中自变量x的取值范围是0＜x＜10．
3．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝a(1＋x)2．
本课内容反思
1．收获：________________________________________________________________________
2．困惑：________________________________________________________________________