二次函数的应用

• 课堂学习检测

1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m²)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．

2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．

3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取 ， )

• 综合、运用、诊断

4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m²，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m²更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?

6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；

(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?

• 拓展、探究、思考

8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax²＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．y＝－x²＋3x(0＜x＜3)图略．

2．5小时．

3．(1) (2)17米．

4．(1)设花圃的宽AB＝x米，知BC应为(24－3x)米，故面积y与x的关系式为

y＝x(24－3x)＝－3x²＋24x．

当y＝45时，－3x²＋24x＝45，解出x₁＝3，x₂＝5．

当x₂＝3时，BC＝24－3×3＞10，不合题意，舍去；

当x₂＝5时，BC＝24－3×5＝9，符合题意．故AB长为5米．

(2)能围成面积比45m²更大的矩形花圃．

由(1)知，y＝－3x²＋24x＝－3(x－4)²＋48． ，

由抛物线y＝－3(x－4)²＋48知，在对称轴x＜4的左侧，y随x的增大而增大，当x＞4时，y随x的增大而减小．

∴当 时，y＝－3(x－4)²＋48有最大值，且最大值为 此时， BC＝10m，即围成长为10米，宽为 米的矩形ABCD花圃时，其最大面积为

5．(1)y＝－3x²＋252x－4860；

(2)当x＝42时，最大利润为432元．

6．解：(1)由题意得

y＝(80＋x)(384－4x)＝－4x²＋64x＋30720．

(2)∵y＝－4x²＋64x＋30720＝－4(x－8)²＋30976，

∴当x＝8时，y有最大值，为30976．

即增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量为30976件．

7．解：(1)设s与t的函数关系式为x＝at²＋bt＋c，图象上三点坐标分别为(1，－1．5)，(2，－2)，(5，2．5)．分别代入，得

解得

(2)把s＝30代入

解得t₁＝10，t₂＝－6(舍去)．

即截止到10月末，公司累积利润可达到30万元．

(3)把t＝7代入

得7月末的累积利润为s₇＝10．5(万元)．

把t＝8代入 得8月末的累积利润为s₈＝16(万元)．

∴s₈－s₇＝16－10.5＝5.5(万元)．即第8个月公司获利润5.5万元．

8．(1)y＝x²－2x－3； (2)AD⊥BC；

(3)存在，M₁(1，－2)，N₁(4，－3)．或M₂(0，－3)，N₂(3，－4)．