【331070】5.6 二次函数的图象与一元二次方程（2）

5.6 二次函数的图象与一元二次方程（2）

教学目标

1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，进一步发展估算能力；

2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，进一步体会数形结合思想；

3．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．

教学重点

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

教学难点

利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

教学过程（教师）

学生活动

设计思路

情境创设

回忆：函数 的图像如图1所示，你能看出方程 的解吗？

创设：函数 的图像如图2所示，你能看出方程 的解吗？

学生思考并讲解方法．

借助上节课的知识，学生较容易回答出“回忆”部分的答案为： ， ，当遇到“创设”问题时学生较难回答出，只能估计值的范围．

通过回忆，复习二次函数的图象与一元二次方程根之间的关系，而紧接着的“创设”会让学生陷入沉思，进而激发兴趣，寻求解决的办法．

探究活动

从图象上来看，二次函数 的图象与x轴交点的横坐标一个在－1与0之间，另一个在2与3之间，所以方程 的两个根一个在－1与0之间，另一个在2与3之间．这只是大概范围，究竟接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．

如右边表格所示，当我们算到－0.5时，还需要算吗？为什么？因为从图象的走势来看，继续往左取自变量的值，所得的函数值将越来越大，所以我们可以判定这个根一定在－0.4与－0.5之间，那会是多少呢？

我们在取值时能不能较快地找到接近它的近似值呢？

我们可以取它们中间的值，再看它们的正负情况，它们的根一定在函数值的正负交替之间，这样我们就能较快缩小它的范围了．

比如：

再进一步取值：

则x≈－0.4

以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．

你能用同样的方法求方程的另一个根吗？试试看！

再进一步取值：

以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．

（注：以上二分法的相关内容根据情况适当选用）

学生思考并讲解方法，必要时让学生板演并讲解，教师点拨．

有关估算问题我们在前面已学习过了，即用试一试的方法进行的．既然一个根在－1与0之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－0.1，－0.2，…，－0.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立（或哪一个值能使等式近似成立），则这个值就是方程的根（或近似根）．

如：利用计算器进行探索

从表格中可以看出，－0.4与－0.5所对的值由负变正，所以可以确定该根应在－0.4与－0.5之间，又从－0.04与0.25的值来看，－0.04更接近于0，所以我们判断x≈－0.4．

我们可以继续取值来缩小它的范围：

当我们算到－0.42时，也没有必要继续算下去了，因为它的值已经由负变正了，所以可以确定这个根一定在－0.41与－0.42之间，即－0.41＜x＜－0.42，又从－0.0119与0.0164的值来看，－0.0119更接近于0，所以我们判断x≈－0.41．

我们还可以继续取值来缩小它的范围：

从－0.000604与0.002225的值来看，－0.000604更接近于0，所以我们判断x≈－0.414．

以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．

我们可以用同样的方法去求方程的另一个根．

利用计算器进行探索：

所以x≈2.4．

我们可以继续取值来缩小它的范围：

所以x≈2.41．

我们还可以继续取值来缩小它的范围：

所以x≈2.414．

以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．

　　通过引导学生正确观察图形，计算不同的值代入后越来越接近0的方法来感受根的寻找是采用逐步逼近的思想，方程根的取值范围的进一步缩小，让学生体会方程根的取值的进一步精确性．

通过取另一个根的过程，巩固和强化寻找的过程和方法．另外，用不同的方法（二分法）去寻找根，让学生感受其寻找根的过程和方法的区别和优劣．

可由学生独立思考后再小组交流，既留有学生独立思考的时间和空间，且培养了学生小组合作的意识和团队精神．

拓展延伸

利用二次函数的图象求一元二次方程x²＋2x－10＝3的近似根．

现在我们应该利用什么函数图象求方程x²＋2x－10＝3的根呢？

函数y＝x²＋2x－13的图象如右图所示：

由图可知，图象与x轴的两个交点的横坐标中，一个在－5与－4之间，一个在2与3之间，因此两个根分别为负4点几和2点几，下面用计算器进行探索．

x	－4.5	－4.6	－4.7	－4.8	－4.9
y	－1.75	－1.04	－0.31	0.44	1.21

因此x＝－4.7是方程的一个近似根．

另一个根可以类似地求出：

x	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9
y	－1.75	－1.04	－0.31	0.44	1.21

因此x＝2.7是方程的另一个近似根．

以此类推，我们还可以进一步缩小这个根的取值范围．

利用函数y＝x²＋2x－13的图象求方程x²＋2x－10＝3的近似根．也可以利用函数y＝x²＋2x－10的图象与直线y＝3的交点的横坐标求方程x²＋2x－10＝3的解．

分别画出函数y＝x²＋2x－10的图象和直线y＝3，找它们交点的横坐标即可．

由图可知两根分别为x＝－4.7和x＝2.7．

选用不同的方法，让学生感受不同的处理方法所带来的特点．

练习巩固

（1）利用二次函数 的图象，借助计算器探索方程 根的近似值（精确到0.01）；

（2）补充习题．

学生板演并讲解，教师点拨．

参考答案：

， ．

通过练习，帮助学生巩固新知．

课堂小结

通过今天的学习，你学会了什么？与大家分享．

如何确定方程根的近似值？

学生思考，交流并汇报．

小结能将所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享．

作业布置

1．（必做题）课本P49练习第2题；

2．（选做题）思考

（2014年江苏南京改编）已知二次函数y＝ax²＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

（1）当y＜5时，x的取值范围是　 　；

（2）方程的两个根（ ）

A．－1和0，0和1之间． B．0和1，1和2之间．

C．1和2，2和3之间． D．2和3，3和4之间．

　　课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．选做题参考答案：

（1）0＜x＜4；

（2）C．

　设置分层作业，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造不同的条件．