《一元二次方程的应用》 综合练习

【知能点分类训练】

知能点1 面积问题

1．有一个三角形的面积为25cm²，其中一边比这一边上的高的3倍多5cm，那么这一边的长是________，高是_________．

2．要用一条铁丝围成一个面积为120cm²的长方形，并使长比宽多2cm，则长方形的长是______cm．

3．有一间长为18m，宽为7.5m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的 ，四周未铺地毯处的宽度相同，则所留宽度为_______m．

4．在一块长16m，宽12m的矩形空地上，要建造四个花园，中间用互相垂直且宽度相同的两条甬路隔开，并使花园所占面积为空地面积的，求甬路宽．

知能点2 增长（降低）率问题

5．某工厂用两年时间把产量提高了44%，求每年的平均增长率．设每年的平均增长率为x，列方程为_______，增长率为_________．

6．某粮食大户2005年产粮30万kg，计划在2007年产粮达到36.3万kg，若每年粮食增长的百分数相同，求平均每年增长的百分数．

7．某厂一月分的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（ ）．

A．95=15（1+x）² B．15（1+x）³=95

C．15（1+x）+15（1+x）²=95 D．15+15（1+x）+15（1+x）²=95

8．某种商品经过两次降价，由每件100元降低了19元，则平均每次降价的百分率为（ ）．

A．9% B．9.5% C．8.5% D．10%

9．某班将2005年暑假勤工俭学挣得的班费2000元按一年定期存入银行．2006年暑假到期后取出1000元寄往灾区，将剩下的1000元和利息继续按一年定期存入银行，待2007年毕业后全部捐给母校．若2007年到期后可取人民币（本息和）1069元，问银行一年定期存款的年利率是多少．（假定不交利息税）

【综合应用提高】

10．用24cm长的铁丝：（1）能不能折成一个面积为48cm²的矩形？（2）能不能折成面积是32cm²的矩形？若能，求出边长；若不能，请说明理由．

11．如果一个正方体的长增加3cm，宽减少4cm，高增加2cm，所得的长方体的体积比原正方体的体积增加251cm³，求原正方体的边长．

12．某厂计划在两年后总产值要翻两番，那么，这两年产值的平均增长率应为多少？

【开放探索创新】

13．某农户种植花生，原种植的花生亩产量为200kg，出油率为50%．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的，求新品种花生亩产量的增长率．

【中考真题实战】

1 4．（陕西中考）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是5400cm²，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为（ ）．

A．x²+130x－1400=0 B．x²+65x－350=0

C．x²－130x－1400=0 D．x²－65x－350=0

15．（遵义中考）某商店将一件商品的进价提价20%后又降价20%，以96元的价格出售，则该商店卖出这种商品的盈亏情况是（ ）．

A．不亏不赚 B．亏4元 C．赚6元 D．亏24元

16．（大连中考）某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长的百分率．

17．（新疆中考）在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，图a、图b分别是小明和小颖的设计方案．

（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．

（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0．1m）．

（3）你还有其他的设计方案吗？请在下图中画出你的设计草图，并加以说明．

18．（兰州中考）某地2004年外贸收入为2．5亿元，2006年外贸收入到达到4亿元．若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为（ ）．

A．2.5（1+x）²=4 B．（2.5+x%）²=4

C．2.5（1+x）（1+2x）²=4 D．2.5（1+x%）²=4

参考答案

1．15cm cm

2．12 点拨：根据题意，可设长为xcm，宽为（x－2）cm，可列方程为（x－2）x=120．

3．1.5 点拨：根据题意，设所留宽度为x，可列方程（18－2x）（7.5－2x）= ×18×7.5．

4．设甬路宽为xm，根据题意可列方程为（16－x）（12－x）=×16×12，解得x₁=2，x₂=26（不符合题意，舍去）．

5．（1+x）²=（1+44%） 20%

6．设平均每年增长的百分数为x，

根据题意得30（1+x）²=36.3，

解得x₁=0.1，x₂=－2.1（不符合题意，舍去）．

故平均每年的增长率为10%．

7．D 点拨：一个季度的总产值包括一月，二月，三月的产值．

8．D 点拨：降低19元，所以现价为81元，

可列方程为100（1－x）²=81．

9．设银行一年定期存款的年利率是x元，

根据题意，列方程为[2000（1+x）－1000]（1+x）=1069，

整理得2x²+3x－0.069=0，

x₁≈0.0225，x₂≈－1.5225（不符合题意，舍去）．

10．（1）设矩形的长为xcm，则宽为（12－x）cm，

根据题意可得x（12－x）=48，

整理得x²－12x+48=0，

∵b²－4ac=144－4×48<0，

∴原方程无解，故用24cm长的铁丝不能折成面积为48cm²的矩形．

（2）根据题意，可列方程为

x（12－x）=32，

整理得x²－12x+32=0，

解得x₁=4，x₂=8．

当x=4时，12－x=8；当x=8时，12－x=4，所以长为8cm时，宽为4cm．用长为24cm的铁丝能折成面积为32cm²的矩形，边长为4cm和8cm．

11．设原正方体的边长为xcm，则现在长方体的长为（x+3）cm，宽为（x－4）cm，高为（x+2）cm，

根据题意列方程得：

（x+3）（x－4）（x+2）－x³=251，

整理得x²－14x－275=0，

∴x₁=25，x₂=－11（不符合题意，舍去）．

12．这两年产值的平均增长率为x，

根据题意可得（1+x）²=4，

解得x₁=1，x₂=－3（不符合题意，舍去）

故这两年生产总值的平均增长率为100%．

13．设新品种花生亩产量的增长率为x，则花生出油率的增长率为 x．

根据题意列方程得

200（1+x）×50%（1+ x）=132，

整理得25x²+75x－16=0，

解得x₁=0.2，x₂=－3.2（舍去）．

故新品种花生亩产量的增长率为20%．

14．B

15．B 点拨：提高和降低的百分率相同，而基点不同，所得的结果是不同的，设进价为a，则a（1+20%）（1－20%）=96，∴a=100．

16．设平均每年增长的百分率为x，

根据题意，得1000（1+x）²=1210，1+x=±1.1，

解得x₁=0.1=10%，x₂=－2.1（不符合题意，舍去）．

所以x=10%．

点拨：本题解题关键是理解和熟记增长率公式．

17．（1）小明的结果不对，设小路的宽为xm，

则得方程（16－2x）（12－2x）= ×16×12，

解得x₁=2，x₂=12．

而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x₂=12m不符合题意，应舍去．

（2）由题意得4× ，∴x≈5.5m．

（3）方案不唯一，如图，说明略．

18．A