4.5一元二次方程根的判别式

学习目标

1．经历一元二次方程根的判别式的探索过程；

2．能用 的值判别一元二次方程根的情况，进一步理解代数式 对根的情况的判断作用；

3．在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程，感悟分类的数学思想。

学习重点：一元二次方程的根的情况

学习难点：一元二次方程根的判别式的探索过程

教学过程

一、情境引入：

1.一元二次方程的求根公式是什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？

2.用公式法解下列方程：

⑴ ⑵ ⑶

3．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

二、探究学习：

1．由 4.3 节我们知道，当 b ² - 4ac ≥ 0 时，一元二次方程ax ² + bx + c = 0 ①可以利用求根公式 求出它的根.

你发现当 ＞0与 = 0时，所求出的方程的两个根分别具有什么特征？

由此可见，一元二次方程 是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式 的值的符号，因而把 叫做一元二次方程 的根的判别式（discriminant），通常用Δ表示，即Δ= .
把上面讨论所得到的结论加以归纳，就得到一元二次方程 （ ）的根的情况可由 来判定：

          当Δ= ＞0时，方程有 的实数根

          当Δ= = 0时，方程有 的实数根

          当Δ= ＜ 0时，方程 实数根

注意：当 ≥0时，方程有两个实数根

上面结论的逆命题也是正确的. 你能说出它的逆命题吗？

例 1:不解方程，判断下列方程根的情况：

针对练习：

1. 不解方程，判断下列方程根的情况：

例2: 已知关于 x 的一元二次方程kx ² - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根.
（1）求 k 的取值范围；
（2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根.

针对练习：

2. k 为何值时，关于 x 的一元二次方程3x ² - 4x +（k + 1） = 0有两个相等的实根？

三、归纳总结：

叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知 的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。

四、当堂检测：

1. 不解方程，判断下列方程根的情况：

2.关于 的方程 有没有实根？如果有，两个实根是否相等？

五、作业布置：（1）完成学案课下作业；（2）练习册

六、课下作业 ：

1．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）

A．x²+2x+1=0 B．x²+x+2=0 C．x²﹣1=0 D．x²﹣2x﹣1=0

2．一元二次方程2x²﹣3x+1=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

3．（桂林中考）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x²+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5

4．（河北中考）a，b，c为常数，且（a﹣c）²＞a²+c²，则关于x的方程ax²+bx+c=0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．无实数根 D．有一根为0

5．（长春中考）关于x的一元二次方程x²+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　　　　　　．

6．（大连中考）若关于x的方程2x²+x﹣a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　．

7.有一边长为 3 的等腰三角形，它的另两边长分别是关于 x 的方程x ² - 12x + k = 0的两根. 则 k 的值是　　　　　　.

8. 当 k为何值时，关于 y的方程 ，
（1）有两个不相等的实根；
（2）有两个相等的实根；
（3）没有实根.

9. 已知 a， b， c是△ABC的三条边的长. 求证：关于 x的方程 有两个不相等的实根.