8 圆内接正多边形
1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________.
2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍.
3．如图2，正方形边长为
a，那么图中阴影部分的面积是__________.
4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________.
5．半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________.
6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，则a,b,c间满足的关系式为___________.
7．如图3，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为___________.
8．如果圆内接正六边形的边长为10cm，则它的边心距为_______cm，正六边形的一边在圆上截得的弓形面积是____________.
9．已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分(如图)的面积为__________.
10．周长相等的正方形和正六边形的面积分别为
和
，则
和
的大小关系为__________.
参考答案
由已知得正方形的边长为2r，从而正方形的外接圆半径为
r，
所求弓形的面积为
.
2．边长为a的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为
、
，其周长分别为
的πa和
，故它的外接圆周长是内切圆周长的2倍.
3．阴影部分面积为
4．设所求正多边形的边数为n，则它的一个内角等于
，相应的外角等于180°-
，
则由已知，得
=8×(180°-
)，
解之，得n = 18.
5．半径为R的圆的内接正n边形的边长为2Rsin
，边长距为Rcos
，
则正n边形的面积为=
半径为a的圆的内接正方形的边长为
a，即
b
=
a；
边长为b的正方形的内切圆的内接正方形的边长为
b，即
C
=
b，从而得知
a
= c，
故a,b,c三者之间的关系为：
7．设正△ABC的边长为a，则
=1，a=
，
于是阴影部分的面积为π·
8．边心距
×10=5
(
)；正六边的一边在圆上截得的弓形的面积减去三角形的面积，
即
9．图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四隙的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，故所求阴影部分的面积为
10．设周长为a，则正方形的正六边形的边长分别为
，其面积分别为
，故