8 圆内接正多边形
1.正方形的内切圆半径为r,这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形,其中一个弓形的面积为_________.
2.如果正三角形的边长为a,那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍.
3.如图2,正方形边长为
a,那么图中阴影部分的面积是__________.
4.正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍,那么这个正多边形的边数是________.
5.半径为R的圆的内接正n边形的面积等于__________.
6.如果圆的半径为a,它的内接正方形边长为b,该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c,则a,b,c间满足的关系式为___________.
7.如图3,正△ABC内接于半径为1cm的圆,则阴影部分的面积为___________.
8.如果圆内接正六边形的边长为10cm,则它的边心距为_______cm,正六边形的一边在圆上截得的弓形面积是____________.
9.已知正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,则所围成的阴影部分(如图)的面积为__________.
10.周长相等的正方形和正六边形的面积分别为
和
,则
和
的大小关系为__________.
参考答案
由已知得正方形的边长为2r,从而正方形的外接圆半径为
r,
所求弓形的面积为
.
2.边长为a的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为
、
,其周长分别为
的πa和
,故它的外接圆周长是内切圆周长的2倍.
3.阴影部分面积为
4.设所求正多边形的边数为n,则它的一个内角等于
,相应的外角等于180°-
,
则由已知,得
=8×(180°-
),
解之,得n = 18.
5.半径为R的圆的内接正n边形的边长为2Rsin
,边长距为Rcos
,
则正n边形的面积为=
半径为a的圆的内接正方形的边长为
a,即 b =
a;
边长为b的正方形的内切圆的内接正方形的边长为
b,即
C
=
b,从而得知
a
= c,
故a,b,c三者之间的关系为:
7.设正△ABC的边长为a,则
=1,a=
,
于是阴影部分的面积为π·
8.边心距
×10=5
(
);正六边的一边在圆上截得的弓形的面积减去三角形的面积,
即
9.图中四个半圆都通过正方形的中心,用正方形的面积减去四隙的面积,剩下的就是阴影部分的面积,而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积,故所求阴影部分的面积为
10.设周长为a,则正方形的正六边形的边长分别为
,其面积分别为
,故







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