第2章　圆

(1)直角三角形

(2)证明：∵D为 的中点，

∴∠BOD＝∠COD.

又∵OB＝OC，

∴OD⊥BC.

由(1)得∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

即AE⊥BC，

∴OD∥AE.

(3)证明：由(2)知OD⊥BC.

∵EF∥BC，

∴OD⊥EF.

又∵OD是☉O的半径，

∴EF是☉O的切线.

(4)①BD＝CD

②解：∵四边形ABDC是☉O的内接四边形，

∴∠BDC＋∠A＝180°.

又∵∠BDC＝2∠A，

∴∠A＝60°，

∴∠BOC＝2∠A＝120°.

∵OA＝OB，∠A＝60°，

∴△OAB是等边三角形，

∴OB＝AB＝2，

∴ 的长为 ＝ π.

③证明：∵D为 的中点，

∴∠BOD＝ ∠BOC＝60°.

∵OB＝OD，

∴△ODB是等边三角形，

∴OB＝BD，

由①知BD＝CD，

∴OC＝OB＝BD＝CD，

∴四边形BOCD是菱形.

④解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝2，

∴BC＝AB·tan 60°＝2 ，

∴S_菱形BOCD＝ OD·BC＝ ×2×2 ＝2 .

∴S_阴影＝S_扇形OBC－S_菱形BOCD＝ －2

＝ π－2 .

一、

1.B　

2.C　

3.D　

4.B　

5.A　

6.C　

7.C　

8.C　

9.C　点拨：如图，假设△ABC是边长为a的等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆.设圆心为O.由题意知，OE＝r，AO＝R，AD＝h，

∴h＝R＋r，故A正确.

(第9题)

∵AD⊥BC，∴∠DAC＝ ∠BAC＝ ×60°＝30°，

在Rt△AOE中，可得R＝2r，故B正确.

易知OE⊥AC，∴AE＝ AC＝ a，

∴在Rt△AOE中，AE²＋OE²＝AO²，

即 ＋r²＝(2r)²，

∴r＝ .

∵R＝2r，∴R＝ a.故C错误，D正确.

二、

10.76°　

11.3

12.65°　点拨：连接BD.

∵点D是弧AC的中点，

∴∠ABD＝∠CBD.

∵∠ABC＝50°，

∴∠ABD＝ ∠ABC＝25°.

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠DAB＝180°－∠ABD－∠ADB＝65°.

13.62°或118°　

14.①②④

三、

15.证明：(1)连接BD.

∵ ＝ ，

∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.

(2)连接OB，OD.设BD，CE交于点F.

∵ ＝ ，∴BC＝CD，∠BOC＝∠DOC.

∵OB＝OD，∴易得BF＝DF.

又∵∠DFE＝∠BFC，∠EDF＝∠CBF，

∴△DEF≌△BCF，

∴DE＝BC.又由(1)知DE∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形.

又∵BC＝CD，

∴四边形BCDE是菱形.

16.(1)证明：连接OC，如图.

(第16题)

∵CP与☉O相切，∴OC⊥PC，

∴∠PCB＋∠OCB＝90°.

∵AB⊥DC，

∴∠PAD＋∠ADF＝90°.

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∵∠ADF＝∠OBC，

∴∠ADF＝∠OCB，

∴∠PCB＝∠PAD.

(2)解：连接OD，如图.∵AB⊥DC，

∴DF＝FC，∠OFD＝90°.

∵弦DC平分半径OB，

∴OF＝BF＝ OB＝ OD，

∴易得∠ODF＝30°，S_△CFB＝S_△DFO，

∴∠DOF＝60°.

∴S_阴影部分＝S_扇形OBD＝ ＝ π.

17.(1)证明：连接OC.

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.

又∵∠ABC＝∠DCA，

∴∠OCB＝∠DCA.

∵AB是☉O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO＋∠OCB＝90°，

∴∠ACO＋∠DCA＝90°，

即∠DCO＝90°，

∴DC⊥OC.

又∵OC是☉O的半径，

∴DC是☉O的切线.

(2)解：∵ ＝ ，OA＝OB＝OC，

∴设OA＝OB＝OC＝2x，则OD＝3x，

∴DB＝OD＋OB＝5x，

∴ ＝ .

∵BE⊥DC，DC⊥OC，

∴OC∥BE，

∴△DCO∽△DEB，

∴ ＝ ＝ .

又∵BE＝3，∴OC＝ ，

即2x＝ ，∴x＝ ，

∴AD＝OD－OA＝x＝ ，

即AD的长为 .