期末综合素质评价

一、选择题(每题3分，共30分)

1．[2022·玉林]如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(　　)

A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC

2．(母题：教材P₁₂₀总复习T₅₍₁₎)抛物线y＝2(x－3)²＋4的顶点坐标是(　　)

A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(－3，－4)

3．[2023·厦门双十中学月考]把抛物线y＝2x²先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的函数表达式为(　　)

A．y＝2(x＋3)²＋4 B．y＝2(x＋3)²－4

C．y＝2(x－3)²－4 D．y＝2(x－3)²＋4

4．[2023·自贡]如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是(　　)

A．41° B．45° C．49° D．59°

5．(母题：教材P₇₆习题T₂)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果 AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为(　　)

A．4 B．6 C．8 D．9

6．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为(　　)

A． B． C． D．

7．(母题：教材P₉₆习题T₁)如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B.C是弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长等于(　　)

A ．12

B．6

C．8

D．10

8．[2023·厦门一中期中]已知点A(m，y₁)，B(m＋2，y₂)，C(x0，y₀)在二次函数y＝ax²＋4ax＋c(a≠0)的图象上，且点C为抛物线的顶点．若y₀≥y₂>y₁，则m的取值范围是(　　)

A．m<－3 B．m>－3 C．m<－2 D．m>－2

9．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于(　　)

A．π B．3 π C．2 π D．2 π－

10．[2023·乐山]如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(m，0)，且1＜m＜2，有下列结论：

①b＜0；②a＋b＞0；③0＜a＜－c；④若点C，D在抛物线上，则y₁＞y₂.

其中，正确的结论有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题(每题3分，共24分)

11．[2022·武威]如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝________．

12．计算：＋cos 60°－(－2 024)⁰＝________．

13．(母题：教材P₄习题T₂)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tan A＝，则AB＝________.

14．二次函数y＝－x²＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是______________．

15．[2023·烟台]如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为________．

16．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是________m(≈1.732，结果保留整数)．

17．编程兴趣小组为半径为0.2 m的圆形扫地机器人编制了如图所示的程序，若扫地机器人在无障碍的实验室平地上按照编制的程序扫地，则这个扫地机器人扫过的实验室平地的面积是________m².

18．如图，抛物线的顶点坐标为(－1，7)，与y轴交于点(0，6)，在y轴左侧的抛物线上有一动点P，若tan α＝3，则点P的坐标为______________________．

三、解答题(19～22题每题10分，其余每题13分，共66分)

19．如图，在直角坐标系中，点B的坐标为(5，0)，点A在第一象限，且OA＝OB，sin∠AOB＝.

(1)求经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式；

(2)若反比例函数y＝的图象经过(1)中的抛物线的顶点，求k的值．

20．[2023·北京]如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF， AC＝EF.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AE＝BE，AB＝2，tan ∠ACB＝，求BC的长．

21．[2023·重庆]为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：≈1.41，≈1.73)

(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)

(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？

22．[2022·本溪]如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF.

(1)求证：BF与⊙O相切；

(2)若AP＝OP，cos A＝，AP＝4，求BF的长．

23．2023年是中国农历癸卯兔年．春节前，某商场进货员打算购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用8 800元购进的“吉祥兔”的数量是用4 000元购进的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了4元．

(1)“吉祥兔”“如意兔”每件的进价分别是多少元？

(2)该商场把“如意兔”的销售价定为60元，每天可卖80件．调研发现，如果调整价格，每降价1元，每天可多卖10件．如何定价才能使“如意兔”的利润最大？最大利润是多少？

24．[2023·北京四中期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x²＋ (2k－1)x＋k＋1的图象与x轴相交于O，A两点．

(1)求这个二次函数的表达式．

(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．

(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB＝90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

答案

一、1．D　2．A　3．A

4．C　点拨：由直径所对的圆周角是直角可得∠DBC＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠DBA＝∠DCA＝41°，进而可计算出∠ABC的度数．

5．B　点拨：∵AB＝20，∴OD＝10.∵CD⊥AB，∴DE＝CD＝×16＝8.在Rt△DOE中，OE＝＝＝6.

6．D　7．B

8．A　点拨：∵点C为抛物线的顶点，y₀≥y₂＞y₁，

∴抛物线开口向下，顶点为最高点．

∵y＝ax²＋4ax＋c(a≠0)，

∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－2.

当点A，B关于抛物线对称轴对称时，＝－2，

解得m＝－3.

∵y₁<y₂，∴m<－3.

故选A.

9．B　点拨：由题易得AB＝BC＝AC，由弧长公式求出AB的长为π，即可求出“莱洛三角形”的周长．

10．B　点拨：∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴－＞0，∴b＜0，故①正确；

∵抛物线经过点A(－1，0)，

∴a－b＋c＝0，∴c＝b－a，

∵当x＝2时，y＞0，

∴4a＋2b＋c＞0，∴4a＋2b＋b－a＞0，

∴3a＋3b＞0，∴a＋b＞0，故②正确；

∵a－b＋c＝0，∴a＋c＝b，

∵b＜0，∴a＋c＜0，∴0＜a＜－c，故③正确；

∵点C到对称轴的距离比点D到对称轴的距离近，∴y₁＜y₂，故④错误．故选B.

二、11．70°　12．－1　13．17　14．－3<x<1

15．24　点拨：如图，过点A作AE⊥y轴于点E.

设 ⊙A的半径为r.

则AC＝AB＝r，BC＝2r.

设AE＝a，

则点C的坐标为(a，2r)，

∴k＝2ar.

易知S_△ACD＝AC·AE，

∴·r·a＝6，

即ar＝12.

∴k＝2ar＝24.

16．20　点拨：过点A作AH⊥BC于点H，过点B作BD垂直于过点C的水平线，垂足为点D，如图所示．

根 据题意，得∠ACD＝75°，∠BCD＝30°，

AB＝3×10＝30(m)．

∵AB∥CD，

∴∠ABH＝∠BCD＝30°.

在Rt△ABH中，AH＝AB＝15 m，

∵tan∠ABH＝，

∴BH＝＝＝15(m)．

∵∠ACH＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，

∴CH＝AH＝15 m.

∴BC＝BH＋CH＝(15＋15)m.

在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝≈20(m)．

1 7．　点拨：如图所示，围成图形的每个外角都是60°，

∴扫过的面积是6个长方形面积＋6个圆心角为60°的扇形面积＋6个底角为60°的等腰梯形面积．

∴扫过的面积＝π×0.2²＋0.2×(2＋1＋2＋1＋2＋1)＋3×(1＋1－0.1×2)×0.1× ＋3×(2＋2－0.1×2)×0.1×＝(m²)．

18．(－2，6)或(－6，－18)　点拨：∵抛物线的顶点坐标为(－1，7)，

∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)²＋7.

把(0，6)的坐标代入，得6＝a(0＋1)²＋7，解得a＝－1，

∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)²＋7＝－x²－2x＋6.

当tan α＝3时，易知|y_P|＝－3x_P.

设P(m，－m²－2m＋6)(m<0)，则－m²－2m＋6＝－3m或－m²－2m＋6＝3m.

当－m²－2m＋6＝－3m时，

解得m＝3(舍去)或m＝－2；

当－m²－2m＋6＝3m时，解得m＝1(舍去)或m＝－6.

综上，m＝－2或m＝－6.

∴点P的坐标为(－2，6)或(－6，－18)．

三 、19．解：(1)由题意得OA＝OB＝5.

如图，过点A作AH⊥x轴于点H.

∴AH＝OA·sin∠AOB＝3.

∴OH＝4.

∴A(4，3)．

设经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝ax(x－5)．

把点A(4，3)的坐标代入y＝ax(x－5)，得3＝4a(4－5)，解得a＝－.

∴经过O，A，B三点的抛物线对应的函数表达式为y＝－x(x－5)，

即y＝－x²＋x.

(2)∵y＝－x²＋x＝－×＋，

∴抛物线的顶点坐标为.

∵反比例函数y＝的图象经过该抛物线的顶点，

∴k＝×＝.

20．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC.

∵BE＝DF，∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵AC＝EF，

∴平行四边形AECF是矩形．

(2)解：由(1)知四边形AECF是矩形，

∴∠AEC＝90°，∴∠AEB＝90°.

又∵AE＝BE，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE＝BE＝AB＝×2＝.

∵tan ∠ACB＝＝，

∴＝，∴EC＝2，

∴BC＝BE＋EC＝＋2＝3.

21．解：(1)如图，过点D作DF⊥AE，垂足为F，

由题意得四边形ABCF是矩形，

∴AF＝BC＝10千米，

在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，

∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14(千米)．

∴AD的长度约为14千米；

(2)小明应该选择线路①，

理由：在Rt△ADF中，

∠DAF＝45°， AF＝10千米，

∴∠ADF＝45°＝∠DAF，

∴DF＝AF＝10千米．

在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°，

AB＝CF＝DF＋CD＝24千米，

∴AE＝AB·tan 30°＝24×＝8(千米)，

∴EB＝2AE＝16千米．

按线路①A－D－C－B走的路程为AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38(千米)；

按线路②A－E－B走的路程为AE＋EB＝8＋16≈24×1.73＝41.52(千米)．

∵38千米<41.52千米，

∴小明应该选择线路①.

22．(1)证明：如图，连接OB.

∵ AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°.

∴∠ABD＝180°－∠ABC＝90°.

∵点F为DE的中点，

∴BF＝EF＝DE.

∴∠FEB＝∠FBE.

∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP.

∵PD⊥AC，

∴∠EPA＝90°.

∴∠A＋∠AEP＝90°.

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.

∴∠OBA＋∠FBE＝90°.

∴∠OBF＝90°.

∵OB是⊙O的半径，∴BF与⊙O相切．

(2)解：在Rt△AEP中，cos A＝，AP＝4，

∴AE＝＝＝5.

∴PE＝＝＝3.

∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8.

∴PC＝OP＋OC＝12.

∵∠A＋∠AEP＝90°，∠A＋∠C＝90°，

∴∠AEP＝∠C.

∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC.

∴＝.

∴＝，解得DP＝16.

∴DE＝DP－PE＝16－3＝13.

∴BF＝DE＝.

23．解：(1)设“如意兔”每件的进价为x元，则“吉祥兔”每件的进价为(x＋4)元，由题意，得＝2×，

解得x＝40，

经检验x＝40是原方程的解，

∴x＋4＝44.

答：“吉祥兔”“如意兔”每件的进价分别是44元和40元．

(2)设“如意兔”的销售价定为a元，总利润为w元，由题意，

得w＝(a－40)[80＋(60－a)×10]，

整理，得w＝－10a²＋1 080a－27 200(40≤a≤60)，

∴w＝－10(a－54)²＋1 960(40≤a≤60)．

∵－10<0,

∴当a＝54时，w有最大值为1 960.

∴定价为54元才能使“如意兔”的利润最大，最大利润是1 960元．

24．解：(1)∵二次函数的图象与x轴相交于点O，

∴0＝k＋1，解得k＝－1.

∴二次函数的表达式为y＝x²－3x.

(2)设点B的坐标为(x₀，y₀)．

∵△AOB的面积等于6，

∴AO·|y₀|＝6.

当x²－3x＝0时，x(x－3)＝0，

解得x＝0或x＝3.

∴AO＝3.

∴|y₀|＝4，即|x₀²－3x₀|＝4.

∴＝或＝－(舍去)，

解得x₀＝4或x₀＝－1(舍去)．

当x₀＝4时，y₀＝x₀²－3x₀＝4，

∴点B的坐标为(4，4)．

(3)存在．

设点P的坐标为(x₁，x₁²－3x₁)．

∵点B的坐标为(4，4)，

∴∠BOA＝45°，BO＝＝4.

当∠POB＝90°时，易得点P在直线y＝－x上，

∴x₁²－3x₁＝－x₁，

解得x₁＝2或x₁＝0(舍去)．

∴x₁²－3x₁＝－2.

∴在抛物线上存在点P，使∠POB＝90°，且点P的坐标为(2，－2)．

∴OP＝＝2.

∴△POB的面积为PO·BO＝×2×4＝8.