第26章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y＝3x2＋9 B．y＝2x－3 C．y＝2x2＋－2 D．y＝
2．(母题：教材P18练习T1)抛物线y＝(x＋1)2－1的顶点坐标是( )
A．(1，－1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(－1，1)
3．[2022·兰州]已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是( )
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2
4．如图，二次函数y＝a(x＋2)2＋k的图象与x轴交于A，B(－1，0)两点，则下列说法正确的是( )
A
．a<0
B．点A的坐标为(－4，0)
C．当x<0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝－2
5．点P从右向左运动的路线是抛物线y＝a(x＋1)2－1，点P第一次到达x轴时的坐标为A(1，0)，则当点P再次到达x轴时的坐标为( )
A．(－2，0) B．(－2.5，0) C．(－3，0) D．(－3.5，0)
6．[2023·南阳三中期末]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x |
… |
－5 |
－4 |
－3 |
－2 |
－1 |
0 |
… |
y |
… |
4 |
0 |
－2 |
－2 |
0 |
4 |
… |
以下结论正确的是( )
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝－2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4)
D．当x＞－3时，y随x的增大而增大
7．[2023·泸州]已知二次函数y＝ax2－2ax＋3(其中x是自变量)，当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为( )
A．0＜a＜1
B．a＜－1或a＞3
C．－3＜a＜0或0＜a＜3
D．－1≤a＜0或0＜a＜3
8．[2023·安徽]已知反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数
y＝－x＋b的图象如图所示，则函数y＝x2－bx＋k－1的图象可能为( )
9．[2023·河南实验中学模拟]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是( )
A．ac<0 B．b2－4ac>0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0
10．[2023·大庆]如图①，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，已知点P在边AB上，以1 m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图②是△BPQ的面积y(m2)与点P的运动时间t(s)之间的函数关系图象(点M为图象的最高点)，则平行四边形ABCD的面积为( )
A．12 m2 B．12m2 C．24 m2 D．24m2
二、填空题(每题3分，共24分)
11.一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是________．
12．[2023·包头]已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为________．
13．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系为________．
14．[2023·苏州中学月考]将抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线对应的函数表达式是________．
15．[2023·厦门外国语学校期末]抛物线y＝x2＋6x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋
bx＋c＞0的解集是________．
17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝
ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________s.
1
8．[2023·南京外国语学校月考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝－1，其图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2－4ac>0；③4a＋c>0；④若t为任意实数，则有a－bt≤at2＋b；⑤当图象经过点时，方程ax2＋bx＋c－2＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则x1＋2x2＝－.其中正确的结论有________．(填序号)
三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)
19．已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．
20．[2023·南阳十三中月考]已知抛物线y＝x2－(m＋1)x＋m与x轴只有一个交点．
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及与y轴的交点坐标．
21.某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位：m)、飞行高度y(单位：m)随飞行时间t(单位：s)变化的数据如表．
飞行时间t/s |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
… |
飞行水平距离x/m |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
… |
飞行高度y/m |
0 |
22 |
40 |
54 |
64 |
… |
探
究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列
问题．
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
(2)在安全线上设置回收区域MN，AM＝125 m，MN＝5 m．若飞机落到MN内(不包括端点M，N)，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
2
2．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A(1，m)和点B(－2，4)，与y轴交于点C.
(1)求k，b，a的值；
(2)求△AOB的面积．
23. “双减政策”要求学生更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3 120元购进A型护眼灯的数量和用4 200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．
(1)求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．
(2)该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，每天可以卖出100台，每涨价1元，则每天少售出2台，求每台A型护眼灯涨价多少元时，每天的销售利润最大？
24．[2023·驻马店二中模拟]如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交y轴于点C，交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，作直线BC.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使PC＋PA的值最小，求点P的
坐标；
(3)M是x轴上的动点，将点M向上平移3个单位得到点N，若线段MN与抛物线和直线BC都存在交点，请求出点M的横坐标xM的取值范围．
答案
一、1．A 2．B 3．B
4．D 【点拨】由题图可知抛物线开口向上，故a>0，A错误；
∵表达式为y＝a(x＋2)2＋k，∴对称轴为直线x＝－2，D正确；
∵B(－1，0)，对称轴为直线x＝－2，∴A点坐标为(－3，0)，B错误；
∵a＞0，对称轴为直线x＝－2，∴当x<－2时，y随x的增大而减小，C错误．故选D.
5．C 【点拨】∵抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－1，
∴对称轴为直线x＝－1.
∵A(1，0)，
∴点A与对称轴的距离为1－(－1)＝2，
∴抛物线和x轴的另一个交点与对称轴的距离也为2，
∴抛物线和x轴的另一个交点的横坐标为－1－2＝－3，
∴当点P再次到达x轴时的坐标为(－3，0)，
故选C.
6．C 【点拨】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为(0，4)，故C正确；
由表中数据可得，抛物线与x轴的交点坐标为(－4，0)，(－1，0)，因此可得抛物线的对称轴为直线x＝－2.5，故B错误；
由以上可知，抛物线开口向上，故A错误；
当x＞－2.5时，y随x的增大而增大，当x＜－2.5时，y随x的增大而减小，故D错误．故选C.
7．D 【点拨】当a＞0，Δ＜0时，满足当0＜x＜3时对应的函数值y均为正数，
∴Δ＝(－2a)2－4·a×3＜0，解得0＜a＜3；
当a＜0时，令x＝0，则y＝3，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，3)，
∵二次函数图象的对称轴是直线x＝－＝1，
∴当x＝3时，y≥0即可满足条件，即9a－6a＋3≥0，
解得a≥－1，∴－1≤a＜0.综上，a的取值范围为－1≤a＜0或0＜a＜3.
故选D.
8．A 【点拨】一次函数y＝－x＋b的图象与y轴交于正半轴，则b＞0；反比例函数y＝的图象的一支位于第一象限，则k＞0，
易知函数y＝x2－bx＋k－1的图象开口向上，对称轴为直线x＝＞0.
由图象可知，反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋b的图象有两个交点(1，k)和(k，1)，
∴－1＋b＝k.∴b＝k＋1.
∴对于函数y＝x2－bx＋k－1，当x＝1时，y＝1－b＋k－1＝1－(k＋1)＋k－1＝－1.
∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象过点(1，－1)．
∵反比例函数y＝与一次函数y＝－x＋b的图象有两个交点，
∴方程＝－x＋b有两个不相等的实数根．
即方程x2－bx＋k＝0有两个不相等的实数根．
∴Δ＝b2－4k＝(k＋1)2－4k＝(k－1)2＞0.
∴k－1≠0.
∴在y＝x2－bx＋k－1中，当x＝0时，y＝k－1≠0.
∴函数y＝x2－bx＋k－1的图象不过原点．
符合以上条件的只有A选项．故选A.
9．C 【点拨】A.由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c>0，因此ac<0，故本选项正确；
B．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2－4ac>0，故本选项正确；
C．由对称轴为直线x＝－＝1，得2a＝－b，即2a＋b＝0，故本选项错误；
D．由对称轴为直线x＝1及抛物线过点(3，0)，可得抛物线与x轴的另外一个交点是(－1，0)，将点(－1，0)的坐标代入表达式，得a－b＋c＝0，故本选项正确．故选C.
10．C 【点拨】如图，过点P作PE⊥CB交CB的延长线于点E，过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F.
由题意可知AP＝t m，BQ＝t m，ABBC＝1，设AB＝a m，则BC＝a m，PB＝(a－t)m.
在Rt△PBE中，∠PBE＝180°－∠ABC＝60°，
∴PE＝(a－t)m，
∴y＝×t×(a－t)＝－t2＋at.
由二次函数图象可知，函数图象的顶点纵坐标为3，
∴＝a2＝3，∴a2＝16.
∵a为正数，∴a＝4，
∴AB＝4 m，BC＝4 m.
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝×4＝2(m)，
∴S▱ABCD＝BC×AF＝4×2＝24(m2)．
二、11.y＝－x2＋1(答案不唯一)
12．2 【点拨】∵点P(m，3)在二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)的图象上，
∴3＝－am2＋2am＋3，∴－am(m－2)＝0，
解得m＝2或m＝0(舍去)，故答案为2.
13．y1＞y3＞y2 【点拨】根据二次函数的表达式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴y2＜y1，y2＜y3.
∵4－3＜3－(－1)，∴y3＜y1，∴y1＞y3＞y2.
14．y＝(x－1)2－3
15．9 【点拨】由题意可得一元二次方程x2＋6x＋m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝0，即可得到关于m的方程，解方程即可．
16．－1<x<3 17.36
18．②③④⑤ 【点拨】∵抛物线开口向上，∴a>0.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，
∴b＝2a>0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c<0，∴abc<0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac>0，②正确．
∵x＝1时，y>0，∴a＋b＋c>0.
∵b＝2a，∴3a＋c>0.
∵a>0，∴4a＋c>0，③正确．
∵图象的开口向上，对称轴为直线x＝－1，
∴当x＝－1时，y有最小值，
∴a－b＋c≤at2＋bt＋c(t为任意实数)，
即a－bt≤at2＋b，④正确．
∵当图象经过点时，方程ax2＋bx＋c－2＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝2的一个交点为，∴x2＝.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，
∴二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与直线y＝2的另一个交点为，
∴x1＝－，
∴x1＋2x2＝－＋2×＝－，⑤正确．
正确的结论有②③④⑤.
三、19.【解】∵当x＝2时，y有最大值－2，
∴设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2(a≠0)．
∵二次函数的图象经过点(0，－4)，
∴－4＝a(0－2)2－2，解得a＝－.
∴y＝－(x－2)2－2.
20．【解】(1)∵抛物线y＝x2－(m＋1)x＋m与x轴只有一个交点，∴b2－4ac＝[－(m＋1)]2－4m＝0，
整理得m2－2m＋1＝0，
解得m1＝m2＝1，∴m＝1.
(2)由(1)知m＝1，
∴抛物线的表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴抛物线的顶点坐标为(1，0)，
令x＝0，则y＝1，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，1)．
21．【解】探究发现：x＝5t，y＝－t2＋12t.
问题解决：(1)依题意，得－t2＋12t＝0，
解得t1＝0(舍去)，t2＝24，
当t＝24时，x＝120.
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m，则飞机相对于安全线的飞行高度
y′＝－t2＋12t＋n，
∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26.
在y′＝－t2＋12t＋n中，
当t＝25，y′＝0时，n＝12.5；
当t＝26，y′＝0时，n＝26.∴12.5＜n＜26.
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
22．【解】(1)把点B(－2，4)的坐标代入y＝ax2中，得4＝4a，∴a＝1.∴二次函数的表达式是y＝x2.
把点A(1，m)的坐标代入y＝x2中，得m＝1，
∴A(1，1)．
把点A(1，1)和点B(－2，4)的坐标分别代入y＝kx＋b中，得解得
∴k＝－1，b＝2，a＝1.
(2)由(1)知一次函数的表达式为y＝－x＋2，令x＝0，
则y＝2，∴C(0，2)．∴OC＝2.
∴S△AOC＝OC·|1|＝×2×1＝1，
S△BOC＝OC·|－2|＝×2×2＝2，
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝1＋2＝3.
23．【解】(1)设该商场购进每台A型护眼灯的成本价为x元，则购进每台B型护眼灯的成本价为(x＋9)元，
由题意得＝，解得x＝26，
经检验，x＝26是所列分式方程的解，且符合题意．
则x＋9＝26＋9＝35.
答：该商场购进每台A型护眼灯的成本价为26元，购进每台B型护眼灯的成本价为35元．
(2)设每台A型护眼灯涨价a元时，每天的销售利润为w元，则每台A型护眼灯的售价为(36＋a)元，每天可以售出A型护眼灯(100－2a)台，
由题意得w＝(36＋a－26)(100－2a)＝－2(a－20)2＋1 800.
∵∴0≤a＜50，
由二次函数的性质可知，在0≤a＜50内，当a＝20时，w取得最大值，最大值为1 800，
答：每台A型护眼灯涨价20元时，销售利润最大．
24．【解】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，
∴抛物线的函数表达式为y＝a(x＋1)(x－4)＝ax2－3ax－4a，
则－4a＝2，解得a＝－，
则抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋2.
(2)易知抛物线的对称轴为直线x＝，C(0，2)．
设直线BC的函数表达式为y＝kx＋2，
将点B的坐标代入得0＝4k＋2，解得k＝－，
则直线BC的函数表达式为y＝－x＋2.
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，
∴当点P为直线BC与抛物线的对称轴的交点时，PC＋PA的值最小，此时PC＋PA＝PC＋PB＝BC，
在y＝－x＋2中，当x＝时，y＝－×＋2＝，
∴点P.
(3)由题意得，MN＝3，MN⊥x轴，
在y＝－x2＋x＋2中令y＝3，
则－x2＋x＋2＝3，解得x＝1或x＝2.
在y＝－x＋2中，令y＝3，则－x＋2＝3，解得x＝－2.
∴当－2≤x≤4时，MN与直线BC有交点，当－1≤x≤1或2≤x≤4时，MN与抛物线有交点．
∴M的横坐标xM的取值范围为－1≤xM≤1或2≤xM≤4.
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