反比例函数2

一．选择题

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A． B．y= C．3xy=1 D．x（y+1）=1

2．已知反比例函数y=﹣ ，下列结论正确的是（　　）

A．y的值随着x的增大而减小 B．图象是双曲线，是中心对称图形但不是轴对称

C．当x＞1时，0＜y＜1 D．图象可能与坐标轴相交

3．如果反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3

4．已知点A（m+3，2）和B（3，m）是同一反比例函数图象上的两个点，则m的值是（　　）

A．﹣6 B．﹣2 C．3 D．6

5．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

6．如果反比例函数y= 的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（　　）

A．第一，三象限 B．第一，二象限 C．第二，四象限 D．第三，四象限

7．反比例函数y= 的图象不经过的点是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（1，2） D．（2，1）

8．点A为反比例函数 （k＜0）图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S_△AOB=3，则k的值为（　　）

A．6 B．﹣6 C． D．不能确定

9．已知反比例函数 （k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx﹣k的图象经过（　　）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

10．函数y=ax²﹣a与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

11．如果点A（﹣1，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）是反比例函数 图象上的三个点，则下列正确的是（　　）

A．y₁＞y₃＞y₂ B．y₃＞y₂＞y₁ C．y₂＞y₁＞y₃ D．y₃＞y₁＞y₂

12.如图，已知双曲线y= （k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．

若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．4

二、填空题

13．若函数 是y关于x的反比例函数，则m的值为____________．

14．若反比例函数y= 的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是____________．

15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y= （x＞0）的图象上，

则点B的坐标为____________，点E的坐标为____________．

第15题图 第16题图

16.双曲线y₁、y₂在第一象限的图象如图， ，过y₁上的任意一点A，作x轴的平行线交y₂于B，

交y轴于C，若S_△AOB=1，则y₂的解析式是___________．

三、解答题

17．某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是____________ m³；

（2）如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（m³），那么将满池水排空所需时间为t（小时），

则Q与t之间关系式为____________；

（3）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为____________ m³/小时；

（4）已知排水管最多为每小时12m³，则至少____________小时可将满池水全部排空．

18．已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点．

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

19.已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的

纵坐标都是﹣2，求：

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积．

21．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S_△ABO= ．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

22．如图，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．

23.某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格（元/个）的函数关系如图所示．

（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；

（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；

（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？

24.如图，已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象的两个交点是A（－2，－4）,C（4，n），与y轴交于点B，与x轴交于点D．

（1）求反比例函数 和一次函数 的解析式；

（2）连结OA，OC，求△AOC的面积．

25.保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂2014年1月的利润为200万元.设2014年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元.由于排污超标,该厂决定从2014年1月底起适当限产,并投入资金进行治污改造,导致月利润明显下降,从1月到5月,y与x成反比例.到5月底,治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图).

(1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式.

(2)治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2014年1月的水平?

(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?

《第6章 反比例函数》

参考答案

　

一、选择题请把答案写在相应的表格中，否则不给分．

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）

A． B．y= C．3xy=1 D．x（y+1）=1

【解答】解：A、不是反比例函数，故A错误；

B、不是反比例函数，故B错误；

C、是反比例函数，故C正确；

D、不是反比例函数，故D错误；

故选：C．

　

2．已知反比例函数y=﹣ ，下列结论正确的是（　　）

A．y的值随着x的增大而减小

B．图象是双曲线，是中心对称图形但不是轴对称

C．当x＞1时，0＜y＜1

D．图象可能与坐标轴相交

【解答】解：A、因为反比例函数在二、四象限内，所以在每个象限内y随x的增大而增大，所以A不正确；

B、反比例函数是双曲线，所以是中心对称图形但不是轴对称图形，所以B正确；

C、当x=1时，y=1，故x＞1时，y＞1，所以C不正确；

D、x和y均不等于0，故图象不可能与坐标轴相交，所以不正确；

故选B．

　

3．如果反比例函数y= 的图象经过点（﹣1，﹣2），则k的值是（　　）

A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3

【解答】解：根据题意，得

﹣2= ，即2=k﹣1，

解得，k=3．

故选D．

　

4．已知点A（m+3，2）和B（3，m）是同一反比例函数图象上的两个点，则m的值是（　　）

A．﹣6 B．﹣2 C．3 D．6

【解答】解：∵点A（m+3，2）和B（3，m）是同一反比例函数图象上的两个点，

∴2（m+3）=3m，

解得m=6．

故选D．

　

5．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：已知三角形的面积s一定，

则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S= ah，即h= ；

是反比例函数，且2s＞0，h＞0；

故其图象只在第一象限．

故选D．

　

6．如果反比例函数y= 的图象经过点（﹣3，﹣4），那么函数的图象应在（　　）

A．第一，三象限 B．第一，二象限 C．第二，四象限 D．第三，四象限

【解答】解：y= ，图象过（﹣3，﹣4），

所以k=12＞0，函数图象位于第一，三象限．

故选A．

　

7．反比例函数y= 的图象不经过的点是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（1，2） D．（2，1）

【解答】解：∵﹣1×（﹣2）=2，﹣2×1=﹣2，1×2=2，2×1=2，

∴点（﹣1，﹣2），（1，2），（2，1）在反比例函数y= 的图象上，而点（﹣2，1）不在反比例函数y= 的图象上．

故选B．

　

8．A为反比例函数 （k＜0）图象上一点，AB垂直x轴，垂足为B点，若S_△AOB=3，则k的值为（　　）

A．6 B．﹣6 C． D．不能确定

【解答】解：由题意可得：S_△AOB= |k|=3，

∵k＜0，

∴k=﹣6．

故选B．

　

9．已知反比例函数 （k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx﹣k的图象经过（　　）

A．第一、第二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

【解答】解：因为反比例函数 （k≠0），

当k＞0时，y随x的增大而增大，

根据反比例函数的性质，k＜0，

再根据一次函数的性质，一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．

故选B．

　

10．函数y=ax²﹣a与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：当a＞0时，函数y=ax²﹣a的图象开口向上，但当x=0时，y=﹣a＜0，故B不可能；

当a＜0时，函数y=ax²﹣a的图象开口向下，但当x=0时，y=﹣a＞0，故C、D不可能．

可能的是A．

故选：A．

　

11．如果点A（﹣1，y₁）、B（1，y₂）、C（2，y₃）是反比例函数 图象上的三个点，则下列结论正确的是（　　）

A．y₁＞y₃＞y₂ B．y₃＞y₂＞y₁ C．y₂＞y₁＞y₃ D．y₃＞y₁＞y₂

【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣1，

∴图象的两个分支在二、四象限；

∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，

∴y₁最大，

∵1＜2，y随x的增大而增大，

∴y₂＜y₃，

∴y₁＞y₃＞y₂．

故选A．

　

12．如图，已知双曲线y= （k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（　　）

A．12 B．9 C．6 D．4

【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），

∴D（﹣3，2），

∵双曲线y= 经过点D，

∴k=﹣3×2=﹣6，

∴△BOC的面积= |k|=3．

又∵△AOB的面积= ×6×4=12，

∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．

故选B．

　

二、填空题

13．若函数 是y关于x的反比例函数，则m的值为　﹣2　．

【解答】解：∵函数 是y关于x的反比例函数，

∴ ，解得m=﹣2．

故答案为：﹣2．

　

14．若反比例函数y= 的图象在每一个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是　m＜﹣2　．

【解答】解：∵反比例函数y= 的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，

∴m+2＜0，

∴m＜﹣2．

故答案为：m＜﹣2．

　

15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数y= （x＞0）的图象上，则点B的坐标为　（1，1）　，点E的坐标为　（ ， ）　．

【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得正方形OABC的面积为1，

所以其边长为1，故B（1，1）．

设点E的纵坐标为m，则横坐标为1+m，

所以m（1+m）=1，

解得m₁= ，m₂= ，

由于m= 不合题意，所以应舍去，

故m= ，

即1+m= ，

故点E的坐标是（ ， ）．

故答案是：（1，1）；（ ， ）．

　

16．双曲线y₁、y₂在第一象限的图象如图， ，过y₁上的任意一点A，作x轴的平行线交y₂于B，交y轴于C，若S_△AOB=1，则y₂的解析式是　y₂= 　．

【解答】解：∵ ，过y₁上的任意一点A，作x轴的平行线交y₂于B，交y轴于C，

∴S_△AOC= ×4=2，

∵S_△AOB=1，

∴△CBO面积为3，

∴k=xy=6，

∴y₂的解析式是：y₂= ．

故答案为：y₂= ．

　

三、解答题

17．某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是　48　 m³；

（2）如果增加排水管，使每小时排水量达到Q（m³），那么将满池水排空所需时间为t（小时），则Q与t之间关系式为　Q= 　；

（3）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为　9.6　 m³/小时；

（4）已知排水管最多为每小时12m³，则至少　4　小时可将满池水全部排空．

【解答】解：（1）∵蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空，

∴蓄水池的容积是：6×8=48（m³）．

故答案为：48；

（2）∵增加排水管，使每小时排水量达到Q（m³），将满池水排空所需时间为t（小时），

∴Q与t之间关系式为：Q= ．

故答案为：Q= ；

（3）∵准备在5小时内将满池水排空，

∴每小时的排水量至少为： =9.6（m³）．

故答案为：9.6；

（4）∵排水管最多为每小时12m³，

∴ =12，

解得：t=4．

∴至少4小时可将满池水全部排空．

故答案为：4．

　

18．已知如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象相交于A、B两点．

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

【解答】解：（1）据题意，反比例函数 的图象经过点A（﹣2，1），

∴有m=xy=﹣2

∴反比例函数解析式为y=﹣ ，

又反比例函数的图象经过点B（1，n）

∴n=﹣2，

∴B（1，﹣2）

将A、B两点代入y=kx+b，有 ，

解得 ，

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1，

（2）一次函数的值大于反比例函数的值时，

x取相同值，一次函数图象在反比例函数上方即一次函数大于反比例函数，

∴x＜﹣2或0＜x＜1，

　

19．已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：

（1）一次函数的解析式；

（2）△AOB的面积．

【解答】解：（1）把x=﹣2代入y₂=﹣ 得y=4，把y=﹣2代入y₂=﹣ 得x=4，

∴点A的坐标为（﹣2，4），B点坐标为（4，﹣2），

把A（﹣2，4），B（4，﹣2）分别代入y₁=kx+b得 ，解得 ，

∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；

（2）如图，直线AB交y轴于点C，

对于y=﹣x+2，令x=0，则y=2，则C点坐标为（0，2），

∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC= ×2×2+ ×2×4=6．

　

20．已知y=y₁﹣y₂，y₁与x²成正比例，y₂与x﹣1成反比例，当x=﹣1时，y=3；当x=2时，y=﹣3．

（1）求y与x之间的函数关系；

（2）当x= 时，求y的值．

【解答】解：（1）设y₁=ax²，y₂= ，则y=ax²﹣ ，

把x=﹣1，y=3；x=2，y=﹣3分别代入得 ，解得 ，

所以y与x之间的函数关系为y= x²﹣ ；

（2）当x= 时，y= x²﹣ = ×（ ）²﹣ =1﹣5（ +1）=﹣5 ﹣4．

　

21．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S_△ABO= ．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．

【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，

则S_△ABO= •|BO|•|BA|= •（﹣x）•y= ，

∴xy=﹣3，

又∵y= ，

即xy=k，

∴k=﹣3．

∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣ ，y=﹣x+2；

（2）由y=﹣x+2，

令x=0，得y=2．

∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），

A、C两点坐标满足

∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1），

∴S_△AOC=S_△ODA+S_△ODC= OD•（|x₁|+|x₂|）= ×2×（3+1）=4．

　

22．如图，正比例函数y= x的图象与反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．

【解答】解：设A点的坐标为（a，b），则b= ，

∴ab=k，

∵ ab=1，

∴ k=1

∴k=2，

∴反比例函数的解析式为y= ．

根据题意画出图形，如图所示：

联立得 ，

解得 ，

∴A为（2，1），

设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1）．

令直线BC的解析式为y=mx+n

∵B为（1，2），

将B和C的坐标代入得： ，

解得：

∴BC的解析式为y=﹣3x+5，

当y=0时， ，

∴P点为（ ，0）．