一元二次方程

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1． 已知关于x的方程x²＋m²x－2＝0的一个根是1，则m的值是（ ）

A．1 B．2 C．±1 D．±2

2．一元二次方程x²+2x+2=0的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根

B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根

D．无实数根

3．若x₁，x₂是一元二次方程x²﹣5x+6=0的两个根，则x₁+x₂的值是（ ）

A．1 B．5 C．﹣5 D．6

4．已知一元二次方程x²﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则 的值为（ ）

A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2

5．若关于 的方程 有两个相等的实根，则 的值是（ ）

A．－4 B．4 C．4或－4 D．2

6．若关于的 方程 有一个根为 -1，则 的值为

A． B． C． D．

7．某商品原价800元，连续两次降价a％后售价为578元，下列所列方程正确的是（ ）A．800(1+a%)²=578 B．800(1－a%)²=578 C．800(1－2a%)=578 D．800(1－a²%)=578

8．（2016湖北随州第8题）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）

A．20（1+2x）=28.8

B．28.8（1+x）²=20

C．20（1+x）²=28.8

D．20+20（1+x）+20（1+x）²=28.8

9．用配方法解方程2x²+3=7x，方程可变形为（ ）

A． B．

C． D．

10．关于 的方程 的两个根互为相反数，则 值是（ ）

A. B. C. D.

二、填空题

11．写出一个解为1和2的一元二次方程： ．

12．方程x²－3=0的根是

13．已知一元二次方程x²+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，则m= ．

14．已知1是关于 的一元二次方程 的一个根，那么 ．

15．某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程 ．

16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a²﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x= ．

17．（2015秋•芜湖期末）若方程kx²﹣6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．

18．已知x₁、x₂是方程x²－3x－2＝0的两个实根，则(x₁－2) (x₂－2)= ．

19．某玩具店今年3月份售出某种玩具2500个，5月份售出该玩具3600个，每月平均增长率为 ．

20．对于实数a，b，定义运算“⊗”： ，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣3²=6．若x₁，x₂是一元二次方程x²﹣6x+8=0的两个根，则x₁⊗x₂= ．

三、解答题

21．解下列方程：

（1）

（2）

22．制造某电器，原来每件的成本是300元，由于技术革新，连续两次降低成本，现在的成本是192元，求平均每次降低成本的百分率．

23．已知：关于 的方程

⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根；⑵ 若方程的一个根是 ，求另一个根及 值．

24．关于 的一元二次方程 ，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．

25．周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？

26．如图是一张长9cm、宽5cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12cm²的一个无盖长方体纸盒，设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为 ．

27．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，合肥市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．

（ 1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

28．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍。

（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程。在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：将x=1代入方程可得： -1=0，解得：m=1或m=-1.

考点：解一元二次方程

2．D

【解析】

试题解析：x²+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，

∵b²﹣4ac=2²﹣4×1×2=﹣4＜0，∴方程无实数根，故选D．

考点：根的判别式．

3．B

【解析】

试题分析：依据一元二次方程根与系数的关系可知，x₁+x₂=﹣ ，这里a=1，b=﹣5，据此即可求x₁+x₂=5．

故选B．

考点：根与系数的关系

4．A.

【解析】

试题分析：由一元二次方程根与系数关系得知:α＋β=- =3,α β= =-3,所求式子化为（α＋β）÷（α β）=3÷（-3）=-1.故本题选A.

考点：一元二次方程根与系数关系.

5．B．

【解析】

试题分析： 有两个相等的实根，则 ，解得 故选B．

考点：一元二次方程的根的判别式．

6．C

【解析】

试题解析：∵若关于的x方程 有一个根为-1

∴

解得：a=2．

故选C．

考点：一元二次方程的解．

7．B

【解析】

试题分析：因为商品原价800元，连续两次降价a％后售价为800(1－a%)²元，所以可列方程为：800(1－a%)²=578，故选：B.

考点：一元二次方程的应用.

8．C.

【解析】

试题分析：设这两年观赏人数年均增长率为x，根据“2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次”，可得方程20（1+x）²=28.8．故答案选C．

考点：一元二次方程的应用.

9．D

【解析】

试题分析：首先将常数项平移到等式的右边，然后将二次项系数化为1，左右两边都加上一次项系数一半的平方．

2 －7x=－3

－ x=－

－ x+ =－ +

∴ ．

考点：配方法解一元二次方程

10．D

【解析】本题考查的是根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解即可。设x₁，x₂是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且两个实数根互为相反数，则x₁+x₂= =-(k²-4)=0，即k= _，当k=2时，方程无解，故舍去。故选D

11．x²-3x+2=0．

【解析】

试题解析：∵1+2=3，1×2=2，

∴以1和2为根的一元二次方程可为x²-3x+2=0．

考点：根与系数的关系．

12．x₁= ，x₂= - ．

【解析】

试题分析：移项得x²=3，开方得x₁= ，x₂= - ．

考点：解一元二次方程．

13．2．

【解析】

试题分析：已知关于x的一元二次方程x²﹣mx+m﹣1=0有两个相等的实数根，可得△=b²﹣4ac=m²﹣4×1×（m﹣1）=m²﹣4m+4=（m﹣2）²=0，解得m=2.

考点：根的判别式．

14．1．

【解析】

试题分析：将x=1代入此方程得：1-2+k=0,解得：k=1．

考点：一元二次方程的根的意义．

15．x（x﹣1）=2550．

【解析】

试题分析：如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程．

解：全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张；

全班应该送照片x（x﹣1），

则可列方程为：x（x﹣1）=2550．

故答案为x（x﹣1）=2550．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

16．﹣2．

【解析】

试题分析：根据新定义得到x²﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，然后把方程整理为一般式，然后利用配方法解方程即可．

解：根据题意得x²﹣2•（﹣2x）+3=﹣1，

整理得x²+4x+4=0，

（x+2）²=0，

所以x₁=x₂=﹣2．

故答案为﹣2．

考点：解一元二次方程-配方法．

17．k≤9，且k≠0

【解析】

试题分析：若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．

解：∵方程有两个实数根，

∴△=b²﹣4ac=36﹣4k≥0，

即k≤9，且k≠0

考点：根的判别式．

18．4

【解析】由于x₁+x₂=3，x₁•x₂=-2，∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=-2-2×3+4=-4．

19．20%．

【解析】

试题分析：设每月的平均增长率为x．根据题意得： ，解得：x=20%或x=﹣220%（舍去），故答案为：20%．

考点：1．一元二次方程的应用；2．增长率问题．

20．±4

【解析】

试题分析：x²﹣6x+8=0，

解得：x=4或2，

当x₁=2，x₂=4时，x₁⊗x₂=2²﹣2×4=﹣4；

当x₁=4，x₂=2时，x₁⊗x₂=4×2﹣2²=4；

故答案为：±4．

考点：解一元二次方程的应用．

21．（1） ， ；（2） ， ．

【解析】

试题分析：（1） ，∴ ，∴ ，∴ ， ；

（2） ， ，∴ ， ．

考点：1、解一元二次方程-配方法；2、解一元二次方程-因式分解法．

22．20％

【解析】

等量关系为：原来的成本×（1-降低的百分率）²=192，把相关数值代入计算即可．

解：设平均每次降低成本的百分率为x，

300×（1-x）²=192，

（1-x）²=0.64

∴1-x=0.8

∴x=20%．

答：平均每次降低成本的百分率为20%．

23．（1）△= （2）

【解析】

试题分析：（1）根据根的判别式： = ，可知方程有2个不相等实数根。

（2）当其中一根为-1，把x=-1代入原方程得2-k-1=0，解得k=1.则原方程为

用十字交叉法：

（x-1）（2x+1）=0. 求出另一根

考点：一元二次方程

点评：本题难度中等，主要考查学生对一元二次方程的掌握。做这类题使用根的判别式与十字交叉法求值即可。

24．x₁=1, x₂= .

【解析】解： ，⊿=b²-4ac=（3m-1）²+4m(1-2m)=1,

∴m=2或0（3分），显然m=2.(4分)．当m=2时，此方程的解为： x₁=1, x₂= .

25．8支.

【解析】

试题分析：此题利用一元二次方程解决，等量关系为：比赛总场次=28场.

试题解析：设要邀请x支球队参加比赛，由题意得 x（x﹣1）=28，解得：x₁=8，x₂=﹣7（舍去）．

答：应邀请8支球队参加比赛.

考点：一元二次方程的应用.

26．（9﹣2x）•（5﹣2x）=12．

【解析】

试题分析：由于剪去的正方形边长为xcm，那么长方体纸盒的底面的长为（9﹣2x），宽为（5﹣2x），然后根据底面积是12cm²即可列出方程．

解：设剪去的正方形边长为xcm，

依题意得（9﹣2x）•（5﹣2x）=12，

故填空答案：（9﹣2x）•（5﹣2x）=12．

考点：由实际问题抽象出一元二次方程．

27．（1）10%；（2）不能，增加2名业务员.

【解析】

试题分析：（1）首先设该快递公司投递总件数 的月平均增长率为x，然后根据增长率的基本公式列出方程求出x的值；（2）首先根据增长率求出6月份的任务，然后根据每人的投递两求出需要增加的业务员的人数.

试题解析：（1）设该快递公司投递总件数 的月平均增长率为x，

根据题意得 10 =12.1，

解得 =0.1， =﹣2.2（不合题意舍去）．

答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；

（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）

∵平均每人每月最多可投递0.6万件，

∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31

∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务

∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6= ≈2（人）．

答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．

考点：一元二次方程的应用

28．解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，

根据题意，得 ，即 ，

解得 （不合题意，舍去）。

∴ 。

答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月。

（2）设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为 个月，

根据题意，得 ，

解得 。

答：甲队最多施工12个月才能使工程款不超过1500万元。

【解析】方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需x+5个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”。

不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。若设甲队的施工时间为y个月，则乙队的施工时间为 个月，不等量关系为：“工程款不超过1500万元”。