一元二次方程

基础题　　　　　　　　　　　　

知识点1　一元二次方程的有关概念

1．(诏安模拟)已知m是方程x²－x－1＝0的一个根，则代数式m²－m的值等于(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．2

2．方程(a－2)xa²－2＋3x＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为________．

知识点2　一元二次方程的解法

3．(宁夏中考)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　)

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

4．(随州中考)用配方法解一元二次方程x²－6x－4＝0，下列变形正确的是(　　)

A．(x－6)²＝－4＋36 B．(x－6)²＝4＋36

C．(x－3)²＝－4＋9 D．(x－3)²＝4＋9

5．(深圳校级模拟)一元二次方程4x²－x＝1的解是(　　)

A．x＝0

B．x₁＝0，x₂＝4

C．x₁＝0，x₂＝

D．x₁＝，x₂＝

6．解下列一元二次方程：

(1)(2x＋3)²－81＝0；

(2)x²－6x－2＝0；

(3)5x(3x＋2)＝6x＋4.

知识点3　一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

7．(湘西中考)下列方程中，没有实数根的是(　　)

A．x²－4x＋4＝0 B．x²－2x＋5＝0

C．x²－2x＝0 D．x²－2x－3＝0

8．(张家界中考)若关于x的一元二次方程kx²－4x＋3＝0有实数根，则k的非负整数值是(　　)

A．1 B．0，1

C．1，2 D．1，2，3

9．(怀化中考)设x₁，x₂是方程x²＋5x－3＝0的两个根，则x＋x的值是(　　)

A．19 B．25 C．31 D．30

10．(内江中考)已知关于x的方程x²－6x＋k＝0的两根分别是x₁，x₂，且满足＋＝3，则k的值是________．

知识点4　用一元二次方程解决实际问题

11．(佛山中考)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m²的矩形空地，则原正方形空地的边长是(　　)

A．7 m

B．8 m

C．9 m

D．10 m

12．(东营中考)2013年东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5 265元．

(1)求平均每年下调的百分率；

(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)

中档题

13．(安顺中考)三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x²－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为(　　)

A．14 B．12

C．12或14 D．以上都不对

14．(安顺中考)若一元二次方程x²－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第象限(　　)

A．四 B．三

C．二 D．一

15．已知x＝1是关于x的方程(1－k)x²＋k²x－1＝0的根，则常数k的值为________．

16．(随州中考)观察下列图形规律：当n＝________时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．

17．(毕节中考)一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L，则每次倒出的液体是________L.

18．(日照中考)如果m，n是两个不相等的实数，且满足m²－m＝3，n²－n＝3，那么代数式2n²－mn＋2m＋2 015＝________．

19．(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？

20．阅读下列例题的解答过程：

解方程：3(x－2)²＋7(x－2)＋4＝0.

解：设x－2＝y，则原方程化为：3y²＋7y＋4＝0.

∵a＝3，b＝7，c＝4，∴b²－4ac＝7²－4×3×4＝1.

∴y＝＝.∴y₁＝－1，y₂＝－.

当y＝－1时，x－2＝－1，∴x＝1；

当y＝－时，x－2＝－，∴x＝.

∴原方程的解为：x₁＝1，x₂＝.

请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x－3)²－5(x－3)－7＝0.

综合题

21．(广元中考)李明准备进行如下操作实验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积和等于58 cm²，李明应该怎么剪这根铁丝？

(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm².你认为他的说法正确吗？请说明理由．

参考答案

基础题

1.C　2.－2　3.D　4.D　5.D　

6.(1)(2x＋3)²＝81.x₁＝3，x₂＝－6.

(2)x₁＝3＋，x₂＝3－.

(3)(3x＋2)(5x－2)＝0.x₁＝－，x₂＝.　

7.B　8.A　9.C　10.2　11.A　

12.(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得6 500(1－x)²＝5 265.解得x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9(不合题意，舍去)．答：平均每年下调的百分率为10%.(2)如果下调的百分率相同，2016年的房价为：5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/m²)．则100平方米的住房的总房款为：100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)．∵20＋30＞47.385，∴张强的愿望可以实现．

中档题

13.B　14.D　15.0或1　16.5　17.20　18.2 026　

19.设降价x元，则售价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件，根据题意，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080，解得x₁＝1，x₂＝4，又因为顾客得实惠，故取x＝4，即定价为56元．答：应将销售单价定为56元．　

20.设x－3＝y.则原方程化为：2y²－5y－7＝0.∵a＝2，b＝－5，c＝－7，∴b²－4ac＝(－5)²－4×2×(－7)＝81.∴y＝＝.∴y₁＝－1，y₂＝.当y＝－1时，x－3＝－1，∴x＝2；当y＝时，x－3＝，∴x＝.∴原方程的解为：x₁＝2，x₂＝.

综合题

21．(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长为(10－x)cm，由题意得x²＋(10－x)²＝58.解得x₁＝3，x₂＝7，∴这两个正方形的周长分别为4×3＝12(cm)，4×7＝28(cm)，∴李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段．(2)李明的说法正确．设其中一个正方形的边长为y cm，则另一个正方形的边长为(10－y)cm，由题意得y²＋(10－y)²＝48，整理得y²－10y＋26＝0，∵Δ＝(－10)²－4×1×26＝－4＜0，∴此方程无实数根．即这两个正方形的面积之和不能等于48 cm².∴李明的说法是正确的．