【323442】2023九年级数学上册 第24章 解直角三角形检测题(含解析)(新版)华东师大版
第24章 解直角三角形检测题
(本检测题满分:120分,时间:120分钟)
一、选择题(每小题2分,共24分)
1.计算:
A.
B.
C.
D.
2.在直角三角形
中,已知
,
,
,则
=(
)
A.
B.
C.
D.
3.(2013·浙江温州中考)如图,在
中,
则
的
值是(
)
A.
B.
C.
D.
4.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,CA是∠BCD的平分线,且AB⊥AC,AB=4,AD=6,则tan B=( )
A.2
B.2
C.
D.
5.如图,Rt△ABC中,
90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为(
)
A.
B.
C.4
D.5
第3题图
第5题图
6.在△ABC中,若三边BC,CA,AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13,则cos B=( )
A.
B.
C.
D.
7.已知
,
,点
,点F分别在射线AD,射线BC上,若点
与点
关于
对称,点
与点
关于
对称,
与
相交于点
,则(
)
A.
B.
C.
D.
第
7题图
8.河堤横断面如图所示,堤高BC=6
m,迎水坡AB的坡比为1∶
,则AB的长为(
)
A.12 m B.4
m C.5
m D.6
m
9.如图,一个小球由地面沿着坡度
的坡面向上前进了10
m,此时小球距离地面的高度为(
)
A.5
m
B.2
m
C.4
m
D.
m
10.如图,在菱形
中,
,
,
,则
的值是(
)
A.
B.2
C.
D.
11.已知直角三角形两直角边长之和为7,面积为6,则斜边长为( )
A.
5
B.
C. 7
D.
12.如图,已知:45°<∠A<90°,则下列各式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
二
、填空题(每小题3分,共18分)
13.比较大小:
.(填“>”“=”或“<”)
14.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC,AD是BC边上的中线,∠ACE=
∠BAC,CE交AB于点E,
交AD于点F,若BC=2,则EF的长为
.
1
第14题图
处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50
m至
处,测得仰角为60°,那么塔高约为
_________
m.(小兰身高忽略不计,
)
16.已知等腰三角形的腰长为2,腰上的高为1,则它的底角等于________ .
17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若
,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图②所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是__________.
18.在
△ABC中,∠
90°,AB=2BC,现给出下列结论:
①sin A=
;②cos
B=
;③tan
A=
;④tan
B=
,
其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号)
三、解答题(共78分)
1
9.(8分)计算下列各题:
(1)
;(2)
.
20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sin
A=
,求BC的长和tan
B的值.
第2
0题图
第21题图
21.(10分)如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,A在B的正东方向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在北偏东45°的方向.
(1)求点P到海岸线l的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到达点C处,此时,从B测得小船在北偏西15°的方向.求点C与点B之间的距离.(上述2小题的结果都保留根号)
2
2.(10分)如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了100
m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5
m,请你计算出该建筑物的高度.(取
≈1.732,结果精确到1
m)
23.(8分)如图,在梯形
中,
,
,
.
(1)求
的值;(2)若
长度为
,求梯形
的面积.
24.(10分)如图,在一次数学课外实践活动中,小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°,BC=20 m,求树的高度AB.
(参考数据:
,
,
)
第24题图
25.(10分)如图,在小山的东侧
处有一热气球,以每分钟
的速度沿着仰角为60°的方向上升,20
min后升到
处,这时热气球上的人发现在
的正西方向俯角为45°的
处有一着火点,求热气球的升空点
与着火点
的距离(结果保留根号).
26.(14分)(2014·福州中考)如图(1),点O在线段AB上,AO2,OB1,OC为射线,且∠BOC60,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.
(1)当t
秒时,则OP
,S△ABP
;
(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;
(3)如图(2),当APAB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP∠B,求证:AQ·BP3.
第26题图
第24章 解直角三角形检测题参考答案
1.C 解析:
2.D 解析:在
中,∵
,
,∴
,
∴
,∴
.
3.C
解析:
.
4.B 解析:如图,过点D作DE∥AB交BC于点E,则四边形ABED是平行四边形,
∴ BE=AD=6.
第4题答图
∵ AB⊥AC,∴ DE⊥AC.∵ CA是∠BCD的平分线,∴ CD=CE.
∵ AD∥BC,∴ ∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴ CD=AD=6.
∴ BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.
∴ AC=
=
=8
.∴
tan B=
=
=2
.
5.C
解析:设BN的长为x,则AN=9
x,由题意得DN=AN=9
x.因为D为BC的中点,所以
.在Rt△BND中,∠B=90°,由勾股定理得
,即
,解得
.
6.C
解析:设
,则
,
,所以
,
所以△
是直角三角形,且∠
.
所以在△ABC中,
.
7
.A
解析:设
.由题意知
,
,∴
.
在
中,
,又
,
∴
.
根据条件还可以得出
,
,
.
A.在
中,
,
∴
,故选项
A正确.
B.
,故选项B错误.
C.
,故选项C错误.
D.∵
,∴
,故选项D错误.
8.A
解析:先由坡比的定义,得BC∶AC=1∶
.由BC=6
m,可得AC=6
m. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB=
=12(m).
9.B
解析:设小球距离地面的高度为
则小球水平移动的距离为
所以
解得
10.B 解析:设
又因为在菱形
中,
所以
所以
所以
由勾股定理知
所以
2
11.A
解析:设直角三角形的两
直角边长分别为
则
所以斜边长
12.B
解析:在锐角三角函数中仅当∠
45°时,
,所以
选项错误;
因为45°<∠A<90°,所以∠B<45°,即∠A>∠B,所以BC>AC,所以
>
,即
,所以
选项正确,
选项错误;
>1,
<1,所以
选项错误.
13.>
解析:因为
,所以∠
.
14.
解析:过F点作FG∥BC交AB于点G.
∵
在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴ BD=CD=
BC=1,∠BAD=∠CAD=
∠BAC=15°,AD⊥BC.
∵ ∠ACE=
∠BAC,
∴ ∠CAD=∠ACE=15°,
∴ AF=CF.
∵ ∠ACD=(180°-30°)÷2=75°,
∴ ∠DCE=75°-15°=60°.
在Rt△CDF中,
CF=
=2,DF=CD·tan
60°=
.
又
第14题答图
∵ FG∥BC,
∴ GF∶BD=AF∶AD,即GF∶1=2∶(2+
),
解得GF=4-2
,
∴ EF∶EC=GF∶BC,即EF∶(EF+2)=(4-2
)∶2,
解得EF=
-1
.
15.43.3
解析:因为
,所以
所以
所以
.
16.15°或75°
解析:如图,
.
在图①中,
,所以∠
∠
;
在图②中,
,所以∠
∠
.
1
7.76
解析:如图,因为
,所以CD=12,
由勾股定理得
所以这个风车的外围周长为
18.②③④ 解析:因为∠C=90°,AB=2BC,所以∠A=30°,∠B=60°,所以②③④正确.
19.解:(1)
(2)
.
20.分析:由sin
A=
=
求出BC的长,根据勾股定理求出AC的长,利用tan
B=
求出tan
B的值.
解:∵
sin A=
=
,AB=10,∴
BC=4.
又∵
AC=
=2
,∴
tan
B=
=
.
21.分析:(1)如图,过点P作PD⊥AB于点D,设PD=
km,根据AD+BD=2列方程求解.
(2)过点B作BF⊥CA于点F,在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.
解:(1)如图,过点P作PD⊥AB于点D,
第21题答图
设PD=
km,由题意可知∠PBD=45°,∠PAD=30°,
∴ 在Rt△BDP中,BD=PD=
km,在Rt△PDA中,AD=
PD=
km.
∵ AB=2
km,∴
=2.∴
=
=
1.
∴ 点P到海岸线l的距离为(
)km.
(2)如图,过点B作BF⊥CA于点F.
在
Rt△ABF中,BF=AB·sin
30°=2×
=1(km).
在△ABC中,∠C=180°
∠BAC
∠ABC=45°.
在Rt△BFC中,BC=
BF=
×1=
(km).
∴ 点C与点B之间的距离为
km.
点拨:此题是解直角三角形在现实生活中的应用,通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时,常采用作垂线、引入未知数(一般为待定的数)构造方程求解.
22.解:设
,则由题意可知
,
m.
在Rt△AEC中,tan∠CAE=
,即tan
30°=
,
∴
,即3x
(x+100),解得x
50+50
.
经检验
50+50
是原方程的解.
∴
故该建筑物的高度约为
23.解:(1)∵
,∴
∠
∠
.
∵
∥
,∴
∠
∠
∠
.
在梯形
中,∵
,∴
∠
∠
∠
∠
∵
,∴
3∠
,
∴ ∠
30°
,∴
(
2)如图,过点
作
于点
.
在Rt△
中,
•
∠
,
•
∠
,∴
在Rt△
中,
,
∴ 梯形
的面积为
24.分析:利用解直角三角形求线段长,首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式,然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan
37°=
,把
,BC=20
m代入tan
37°=
中求出树的高度AB.
解:因为tan
37°=
≈0.75,BC=20
m,所以AB≈0.75×20=15(m).
25.解:过点
作
于点
.
.
因为∠
,
300
m,
所以
300(
-1)
即热气球的升空点
与着火点
的距离为300(
-1)
26.(1)解:1,
;
(2)解:①∵ ∠A<∠BOC60,∴ ∠A不可能是直角.
②当∠ABP90时,如图所示(第26题答图(1)),
∵ ∠BOC60,∴ ∠OPB30.
∴ OP
2OB,即2t2.∴
t1.
第26题答图(1)
③当∠APB90时,如图所示(第26题答图(2)),作PD⊥A
B,垂足为D,则∠ADP∠PDB90.
在Rt△POD中,∵ ∠POD=60,∴ ∠OPD=30.
∵ OP2t,
∴ ODt,PD
t,AD2t,BD1t(△BOP是锐角三角形).
第26题答图(2)
方法一:BP2BD2+PD2=(1t)23t2,AP2AD2+PD2=(2t)23t2.
∵ BP2AP2AB2,∴ (1t)23t2(2t)23t29,即4t2t20.
解得t1
,t2
(舍去).
方法二:∵ ∠APD∠BPD90,∠B∠BPD90,
∴ ∠APD∠B.∴ △APD∽△PBD.
∴
∴
PD2AD·BD.
于是(
t)2(2t)(1t),即4t2t20.
解得t1
,t2
(舍去).
综上,当△ABP为直角三角形时,t1或
.
(3)证法一:∵ APAB,∴ ∠APB∠B.
如图所示(第26题答图(3)),作OE
∥AP,交BP于点E,
∴ ∠OEB∠APB∠B.
∵ AQ∥BP,∴ ∠QAB∠B180.
又∵ ∠3∠OEB180,∴ ∠3∠QAB.
又∵ ∠AOC∠2∠B∠1∠QOP,∠B∠QOP,
∴ ∠1∠2.
在△QAO和△OEP中,∵ ∠3∠QAO,∠1∠2,
∴ △QAO∽△OEP.
∴
,即AQ·EPEO·AO.
∵ OE∥AP,∴ △OBE∽△ABP.
∴
.∴
OE
AP1,BP
EP.
∴ AQ·BPAQ·
EP
AQ·EP
AO·EO
213.
第26题答图(3)
证法二:如图所示(第26题答图(4)),连接PQ,设AP与OQ相交于点F.
∵ AQ∥BP,∴ ∠QAP∠APB.
∵ APAB,∴
∠APB∠B.∴
∠QAP∠B.
又∵ ∠QOP∠B,∴ ∠QAP∠QOP.
在△QFA和△PFO中,∵ ∠QAF∠FOP,∠QFA∠PFO,
∴ △QFA∽△PFO.∴
,即
.
又∵ ∠PFQ∠OFA,∴ △PFQ∽△OFA.∴ ∠3∠1.
∵ ∠AOC∠2∠B∠1∠QOP,∠B∠QOP,
∴ ∠1∠2.∴ ∠2∠3.
∴ △APQ∽△BPO.∴
.∴
AQ·BPAP·BO313.
第26题答图(4)
www.ishijuan.cn 爱试卷为中小学老师学生提供免费的试卷下载关注”试卷家“微信公众号免费下载试卷
- 1【332169】中考模拟卷(一)
- 2【332170】中考热点专题:湖南中考特色题型考前集训
- 3【332168】中考模拟卷(二)
- 4【332167】正投影
- 5【332166】浙江省温州市鹿城区中考二模卷
- 6【332165】浙江省宁波市象山县中考模拟卷
- 7【332164】浙江省湖州市吴兴区2019-2020学年七年级下学期期末练习数学试题(word版)
- 8【332163】浙江省杭州市余杭区中考模拟卷
- 9【332162】枣阳市2020年中考适应性考试 数学试题
- 10【332160】圆 综合练习题 教师版 含答案
- 11【332161】枣阳市2020年中考适应性考试 数学答案
- 12【332157】宜城市2020年中考适应性考试 数学试题
- 13【332159】用频率估计概率
- 14【332158】易错专题:二次函数的最值或函数值的范围
- 15【332156】宜城市2020年中考适应性考试 数学答案
- 16【332155】襄州区2020年中考适应性考试 数学试题
- 17【332154】襄州区2020年中考适应性考试 数学答案
- 18【332153】襄城区2020年中考适应性考试 数学试题
- 19【332152】襄城区2020年中考适应性考试 数学答案
- 20【332151】相似 复习
- 【332150】天津市南开区中考二模卷
- 【332149】提高试题含答案
- 【332148】随机事件
- 【332147】苏科九下期中测试卷(3)
- 【332146】苏科九下期中测试卷(2)
- 【332145】苏科九下期中测试卷(1)
- 【332144】苏科九下期末测试卷(3)
- 【332143】苏科九下期末测试卷(2)
- 【332142】苏科九下期末测试卷(1)
- 【332140】四川省成都市中考模拟卷(四)
- 【332141】四川省凉山州西昌市中考模拟卷
- 【332139】思想方法专题:相交线、平行线与平移中的思想方法
- 【332138】数学培优辅差工作计划3
- 【332137】数学培优辅差工作计划2
- 【332135】数学活动——利用测角仪测量物体的高度
- 【332136】数学培优辅差工作计划1
- 【332134】数学答案
- 【332133】实际问题与二次函数
- 【332132】山东省滕州市2020初中毕业模拟考试试题
- 【332131】山东省滨州市中考二模卷