反比例函数的图象和性质

基础训练

知识点1 反比例函数图象的性质

1.对于反比例函数y= ,下列说法正确的是(　　)

A.图象经过点(1,-3)

B.图象在第二、四象限

C.x>0时,y随x的增大而增大

D.x<0时,y随x的增大而减小

2.已知函数y= 的图象如图所示,以下结论:①m<0;②在每个分支上y随x的增大而增大;③若点A(-1,a),B(2,b)在图象上,则a<b;④若点P(x,y)在图象上,则点P₁(-x,-y)也在图象上.其中正确的有(　　)

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

知识点2 反比例函数的函数值的大小比较

3.若点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)在反比例函数y= (k>0)的图象上,且x₁=-x₂,则(　　)

A.y₁<y₂ B.y₁=y₂

C.y₁>y₂ D.y₁=-y₂

4.已知A(-1,y₁),B(2,y₂)两点在双曲线y= 上,且y₁>y₂,则m的取值范围是(　　)

A.m<0 B.m>0 C.m>- D.m<-

5.已知点A(1,y₁),B(2,y₂),C(-3,y₃)都在反比例函数y= 的图象上,则y₁,y₂,y₃的大小关系是(　　)

A.y₃<y₁<y₂ B.y₁<y₂<y₃

C.y₂<y₁<y₃ D.y₃<y₂<y₁

6.已知点A(1,y₁),B(-2,y₂)在反比例函数y= (k>0)的图象上,则y₁______y₂(填“>”“<”或“=”).

知识点3 反比例函数的比例系数k的几何意义

7.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a).如图,若曲线y= (x>0)与此正方形的边有交点,则a的取值范围是_____________. 

8.如图,点B在反比例函数y= (x>0)的图象上,横坐标为1,过B分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

9.下列图形中,阴影部分面积最大的是(　　)

A　　　 B　　　 C　　　 D

10.反比例函数y= 的图象上有A(-2,y₁),B(-1,y₂),C(1,y₃)三点,则y₁,y₂,y₃的大小关系为___________.

提升训练

　　　　　　　 　　　　　 　　　　　

考查角度1 利用反比例函数的性质求出函数解析式

11.反比例函数y=(3m-1) 的图象在所在的每一个象限内,y随x的增大而增大.求该反比例函数的解析式.

考查角度2 利用反比例函数图象的性质判断比例系数的符号

12.设点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)是反比例函数y= 图象上的两个点,当x₁<x₂<0时,y₁<y₂,则一次函数y=-2x+k的图象不经过第几象限?

考查角度3 利用反比例函数的图象说明反比例函数的变化规律

13.在同一直角坐标系中画出反比例函数y=- 和y= 的图象,回答下面的问题:

(1)每个函数图象分别位于哪些象限?

(2)在每一个象限内,随着x的增大,y如何变化?

(3)对于反比例函数y= 和y=- (k<0),考虑问题(1)(2),你能得出同样的结论吗?

考查角度4 利用反比例函数图象和性质求比例系数和比较自变量的大小

14.已知反比例函数y= (k为常数,k≠1).

(1)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值;

(2)若在其图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围;

(3)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),当y₁>y₂时,试比较x₁与x₂的大小.

15.如图,M为反比例函数y= 的图象上的一点,MA垂直于y轴,垂足为A,△MAO的面积为2,则k的值为　　　　. 

16.如图,点A是反比例函数y= 的图象上一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,线段AB交反比例函数y= 的图象于点C,则△OAC的面积为　　　　.

17.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A(2,3),B(-3,n)两点.

(1)求一次函数和反比例函数的解析式;

(2)若P是y轴上一点,且满足△PAB的面积是5,直接写出OP的长.

探究培优

拔尖角度1 反比例函数与一次函数、一元二次方程、一元一次不等式、几何的综合应用

18.如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于点A,过点A分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点B,C,如果四边形OBAC是正方形,试求:

(1)一次函数的关系式;

(2)直接写出:①一元二次方程kx²+x-9=0的正根;②不等式kx+1< (x>0)的解集.

拔尖角度2 几种函数与新定义问题的综合探究

19.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1,-1),(0,0),( , ),……都是“梦之点”.显然,这样的“梦之点”有无数个.

(1)若点P(2,m)是反比例函数y= (n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;

(2)函数y=3kx+s-1(k,s是常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标;若不存在,请说明理由;

参考答案

1.【答案】D　

解：∵k=3>0,∴反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,且在每个象限内y都随x的增大而减小.故选D.

2.【答案】B　

解：由题图知,函数图象在第二、四象限,则m<0,在每个分支上y随x的增大而增大,故①②正确;点A(-1,a)、点B(2,b)在图象上,则a>0,b<0,∴a>b,故③错误;点P(x,y)在图象上,则xy=m,又因为(-x)·(-y)=xy=m,所以点P₁(-x,-y)也在图象上,故④正确.综上所述,①②④正确,故选B.

3.【答案】D

4.【答案】D　解：当x=-1时,y₁=-3-2m;当x=2时,y₂= .由y₁>y₂得-3-2m> ,解得m<- ,故选D.

5.【答案】D　

解：解法一(求值法):把x=1,x=2,x=-3分别代入y= ,得

y₁= =6,y₂=3,y₃=-2,∴y₃<y₂<y₁,故选D.

解法二(图象法):作出函数y= 的简图,并在图象上确定A,B,C的位置,如图,观察图象,易知y₃<y₂<y₁,故选D.

解法三(性质法):∵k=6>0,∴函数图象在第一、三象限,

∵A(1,y₁),B(2,y₂),C(-3,y₃),∴A,B在第一象限,C在第三象限,∴y₃最小,又∵在每个象限中,y随x的增大而减小,且1<2,

∴y₁>y₂,∴y₃<y₂<y₁.故选D.

6.【答案】>

解：∵k>0,∴反比例函数y= 的图象在第一、三象限.∵1>0,∴点A在第一象限,∴y₁>0.∵-2<0,

∴点B在第三象限,∴y₂<0.∴y₁>y₂.

7.【答案】 ≤a≤ +1

8.【答案】B　

解：解法一:∵点B的横坐标为1,∴点B的纵坐标为2,则有OA=1,AB=2,可得矩形OABC的面积=2.

解法二:利用双曲线上的点的横坐标与纵坐标的积等于k,得k=xy=2,∴矩形OABC的面积=|k|=2.故选B.

9.【答案】C　

解：由k的几何意义,得S_A=2× =3,S_B=2× =3,S_D= ×1×6=3.对于选项C,过M向y轴作垂线段,再分别过M,N向x轴作垂线段,可求出S_C=3+ ×(1+3)×(3-1)-3=4.故选C.

10.错解:y₁>y₂>y₃

诊断:反比例函数的增减性要依据不同象限进行区分,再比较大小,本题忽略了A,B,C三点不在同一象限内而直接比较.

正解:y₃>y₁>y₂

11.解:∵反比例函数y=(3m-1) 的图象在所在的每一个象限内,y随x的增大而增大,

∴ 解得

∴m=-1,∴该反比例函数的解析式为y=- .

12.解:对于反比例函数y= ,因为当x₁<x₂<0时,y₁<y₂,所以在同一个象限内,y随x的增大而增大,所以k<0,所以一次函数y=-2x+k的图象与y轴交于负半轴,其图象经过第二、第三、第四象限,不经过第一象限.

13.解:图象略.(1)函数y=- 的图象位于第二、四象限,函数y= 的图象位于第一、三象限;(2)对于y=- ,在每一个象限内,y随着x的增大而增大;对于y= ,在每一个象限内,y随着x的增大而减小;(3)能得到同样的结论.

14.解:(1)由题意,设点P的坐标为(m,2).

∵点P在正比例函数y=x的图象上,

∴2=m,即m=2.∴点P的坐标为(2,2).

∵点P在反比例函数y= 的图象上,

∴2= ,解得k=5.

(2)∵在反比例函数y= 的图象的每一支上,y随x的增大而减小,

∴k-1>0,解得k>1.

(3)∵反比例函数y= 的图象的一支位于第二象限,

∴在该函数图象的每一支上y随x的增大而增大.

∵点A(x₁,y₁)与点B(x₂,y₂)在该函数的图象的第二象限上,且y₁>y₂,所以x₁>x₂.

15.【答案】4　

解：∵△MAO的面积为2,∴|k|=4,∴k=±4.又∵反比例函数的图象的一支在第一象限,∴k>0,∴k=4.

16.【答案】2

17.解:(1)∵反比例函数y= 的图象经过点A(2,3),

∴m=6.

∴反比例函数的解析式是y= .

∵点B(-3,n)在反比例函数y= 的图象上,

∴n=-2.

∴B(-3,-2).

∵一次函数y=kx+b的图象经过A(2,3),B(-3,-2)两点,

∴ 解得

∴ 一次函数的解析式是y=x+1.

(2)OP的长为3或1.

18.解:(1)设点A的坐标为(m,n).∵点A在第一象限,

∴m>0,n>0.∵四边形OBAC是正方形,∴OB=AB,即m=n.又

∵n= ,∴m=n=3,即点A的坐标为(3,3).把点A(3,3)的坐标代入y=kx+1,得3=3k+1,∴k= ,

∴一次函数的关系式为y= x+1.

(2)①x=3;②0<x<3.

19.解:(1)∵点P(2,m)是“梦之点”,∴m=2,∴P(2,2).

将点P(2,2)的坐标代入y= 中,得n=4,∴y= .

(2)假设函数y=3kx+s-1的图象上存在“梦之点”,

设该“梦之点”为(a,a),代入y=3kx+s-1得a=3ka+s-1,

∴(1-3k)a=s-1.

①当1-3k=0,s=1,即k= ,s=1时,y=x,此时直线上所有点都是“梦之点”;

②当1-3k=0,s≠1时,此方程无解,故此时不存在“梦之点”;

③当1-3k≠0时,a= ,则“梦之点”为 .