第2课时　垂线及其性质

1．理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离；

2．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．(重点、难点)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一、情境导入

如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？

二、合作探究

探究点一：垂线的概念

【类型一】 运用垂线的概念求角度

如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．

解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角．由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．

解：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.

方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．

【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直

如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．

解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°，又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.

解：OB⊥OD，理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.

方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.

探究点二：垂线的画法

如图，平面上有三点A、B、C.

(1)画直线AB，画射线BC (不写作法，下同)；

(2)过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H.

解析：根据垂线的画法“一落、二过、三画”画图即可．

解：如图所示．　　

方法总结：“一落、二过、三画”：“一落”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上；“二过”是指使三角板的另一条直角边过已知点；“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线．

探究点三：垂线的性质和点到直线的距离

【类型一】 点到直线的距离的运用

如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.

(1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离；

(2)点C到直线AB的距离是多少？你能求出来吗？

解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2) 过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．

解：(1)点A到直线BC的距离是3，点B到直线AC的距离是4；

(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.三角形ABC的面积＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝.所以点C到直线AB的距离为.

方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．

【类型二】 “垂线段最短”的实际运用

如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．

解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．

解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．

方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．

三、板书设计

1．垂线的概念

两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

2．垂线的作法

3．垂线的性质

过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．

在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．

4．点到直线的距离

本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆