相似 三角形的判定

重难点易 错点解析

题一：

题面：如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于 G，则图中相似三角形有（ ）．

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对

金题精讲

题一：

题面：如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，∠ACD=∠B，则AD的长 为 ．

题二：

题面：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，连AC、BD相交于F，连EF．
（1） 求证：AB²=4AD•BC；
（2）求证：EF∥BC ．

满分冲刺

题一：

题面：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，F是AD上一点，CF⊥EF于点F交AB于点E， ．求AE的长．

题二：

题面：如图，在正方形ABCD中，F是CD上一点，AE⊥AF，点E在CB的延长线上，EF交AB于点G．求证：DF•FC=BG•EC．

题三：

题面：如图，已知边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC上的一点，问题：添加一个条件，使得△ABP与以E、C、P为顶点的三角形相似，共有几种添加方法？

课后练习详解

重难点易错点解析

题一：

答案：B．

详解：根据平行四边形的性质，平行的性质和相似三角形的判定可得：△AGE∽△ABC，△BGE∽△BAF，△AEF∽△CEB，△ACB∽△CAD，△AGE∽△CDA，5对．故选B．

金题精讲

题一：

答案：3.2．

详解：∵∠ACD=∠B ，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．∴ ．

又∵AB=5，AC=4，∴ ，解得AD=3.2．

题二：

答案：AB²=4AD•BC；EF∥BC．

详解：证明：（1）作DH⊥BC于H，如图，
∵梯形ABCD为直角梯形，且AD∥BC，
∴四边形ABHD为矩形，
∴DH=AB，AD=BH，
∴CH=CBAD，
∵以AB为直径作圆O恰好与CD相切于E，
∴DA、CB都是⊙O的切线，
∴DE=DA，CE=CB，

∴DC=DA+CB，
在Rt△DHC中，DH²=DC²CH²，
∴AB²=(AD+BC)²(BCAD)²，
∴AB²=4AD•BC；
（2）∵AD∥BC，
∴△FDA∽△FBC，
∴ ，
而DE=AD，EC=BC，
∴ ，
∴EF∥BC．

满分冲刺

题一：

答案： ．

详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°， DC=AB=4，
∵CF⊥EF，
∴∠EFC=90°．
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC．
∴ ，
∵ ，DC=4，
∴∠DFC=30°，

∴ ，
∴ ，
∴ ．

题二：

答案：DF•FC=BG• EC．

详解：∵∠EAB+∠BAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴tan∠BAE=tan∠DAF，
∵AB=AD，
∴DF=BE，
又∵AB∥CD，
∴ ，
∴BE•FC=BG•EC，
∴DF•FC=BG •EC．

题三：

答案：只有一种方法在BC上的一点使得BP= ．

详解：如图
设BP=x，若△ABP∽△ECP，
得 ，

即 ，解得x= ．
若△PBA∽△ECP，得

，

即 ，
化简得x ²2x+2=0，此方程无解，故不存在
综上，只有一种方法在BC上的一点使得BP= ．
（或延长AB至M ，使BM=BA，连接EM，交BC与点P，则P就是符合条件的点）