第十三章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列瑜伽动作中，可以看成轴对称图形的是( )
2．下列图形对称轴最多的是( )
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．圆
3．将点A(3，2)向左平移4个单位长度得到点B，点B关于x轴对称的点的坐标是( )
A．(－3，－2) B．(－1，－2) C．(－1，2) D．(1，－2)
4．如图，B，D，E，C四点共线，且△ABD≌△ACE，若∠AEC＝105°，则∠DAE的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．65°
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂灰，再将图中其余小正三角形涂灰一个，使整个被涂灰的图案构成一个轴对称图形的方法有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．6种
7．如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝125°，则∠ABE的度数为( )
A．30° B．20° C．15° D．25°
8．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
9．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为( )
A．30°或60° B．75° C．30° D．75°或15°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于E，F，给出以下4个结论：(1)AE＝CF；(2)△PEF是等腰直角三角形；(3)S四边形AEPF＝S△ABC；(4)EF＝AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．已知点P(－1，m)关于x轴对称的点为P1，点P1关于y轴对称的点为P2(n，2)，则(m＋n)2 019＝________．
12．如图，小明上午在理发店时，从镜子内看到背后普通时钟的时针与分针的位置如图所示，此时时间是________．
13．若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为________．
14．如图，在三角形纸片中，AB＝8 cm，BC＝5 cm，AC＝6 cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长等于________cm.
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝4，则AC＝________．
16．小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是________个．
17．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，点D到AB的距离为3，
∠BAD＝60°，点F为AB的中点，点E为AC上的任意一点，则EF＋EB的最小值为________．
18．如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD＝CE.其中正确的是________．
19．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝40°，∠ADB＝68°，则∠CAD＝________．
20．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…；这样画下去，直到得到第n条线段之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝________．
三、解答题(21，22，23题每题6分，24题8分，25题10分，26，27题每题12分，共60分)
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD，BC相交于点E，F，连接AF，求证：AE＝AF.
22．两个城镇A，B与两条公路l1，l2的位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到A，B两个城镇的距离必须相等，到l1，l2两条公路的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中用尺规作图找出点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
23．如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．
(1)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标；
(3)△A1B1C1的面积为________．
24．如图，在△ABC中，D是BC上一点，若AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，求∠ADC的度数．
25．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC分别相交于点M，N且MN∥BC.
(1)求证：BM＝OM；
(2)若△AMN与△ABC的周长之比为2：3，△ABC的周长为30，求BC的长．
26．如图，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H.
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求证：CF＝CH；
(3)判断△CFH的形状并说明理由．
27．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
(1)直线BF垂直于CE，交CE于点F，交CD于点G(如图①)，求证：AE＝CG；
(2)直线AH垂直于CE，交CE的延长线于点H，交CD的延长线于点M(如图②)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由．
答案
一、1．A 2．D 3．B 4．A
5．D 点拨：本题利用分类讨论思想．当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心，OA为半径的圆弧与y轴有两个交点；以A为圆心，OA为半径的圆弧与y轴除点O外还有一个交点；当OA为等腰三角形的底边时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．所以符合条件的点一共有4个．故选D.
6．C 点拨：如图，任选标注数字1，2，3的小正三角形涂灰一个，都可以使整个被涂灰的图案构成一个轴对称图形，故选C.
7．B 8．C 9．D 10．C
二、11．－1 12．10：45 13．2 cm 14．9
15．2 16．3
17．3 点拨：如图，连接BD.∵AB＝BC＝CD＝AD，∴AC垂直平分BD，∴点B关于直线AC的对称点为点D.连接DF，则DF的长即为EF＋EB的最小值．在△ABD中，由∠BAD＝60°，AD＝AB，可得△ABD为等边三角形．∵点F为AB的中点，∴DF⊥AB.∴DF＝3.故EF＋EB的最小值为3.
18．①②③ 19．126°或14°
20．9 点拨：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，….∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，∴9°·(n＋1)≤90°，解得n≤9.故答案为9.
三、21．证明：∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF.
∵EF⊥AC，
∴AC垂直平分EF，∴AE＝AF.
22．解：点C的位置如图所示．
23．解：(1)如图．
(2)A1(0，－4)，B1(－2，－2)，C1(3，0)．
(3)7
24．解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.
设∠B＝∠BAD＝x°，
则∠ADC＝2x°，∴∠C＝2x°，
∴∠B＋∠C＝3x°.
∵∠BAC＝102°，
∴∠B＋∠C＝78°，
∴3x＝78，解得x＝26.
∴∠ADC＝52°.
25．(1)证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO.
∵MN∥BC，
∴∠CBO＝∠BOM，
∴∠ABO＝∠BOM，
∴BM＝OM.
(2)解：同(1)可得CN＝ON，
∴△AMN的周长为AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝AB＋AC.
∵△AMN与△ABC的周长之比为2：3，△ABC的周长为30，
∴△AMN的周长为20.
∴BC＝△ABC的周长－(AB＋AC)＝△ABC的周长－△AMN的周长＝30－20＝10.
26．(1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，
∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCE＝60°＋∠ACE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD(SAS)．
(2)证明：∵△BCE≌△ACD，∴∠FBC＝∠HAC.∵∠ACB＝60°，∠FCH＝180°－∠ACB－∠ECD＝60°，∴∠BCF＝∠ACH.又∵BC＝AC，
∴△BCF≌△ACH(ASA)，∴CF＝CH.
(3)解：△CFH是等边三角形．理由：∵CF＝CH，∠FCH＝60°，∴△CFH是等边三角形．
27．(1)证明：∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°，∴∠CAE＝∠BCG.又∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°.又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBG，∴△AEC≌△CGB(ASA)，∴AE＝CG.
(2)解：BE＝CM.理由：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA＋∠MCH＝90°，∠BEC＋∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC.又∵CA＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，∴△BCE≌△CAM，∴BE＝CM.