思想方法专题：直角三角形中的思想方法
——找准方法，快准解题
类型一 方程思想
一、利用方程思想求角度
1．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是( )
A．9° B．18° C．27° D．36°
2．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，则∠DBC＝________°.
第2题图 第3题图 第4题图
二、结合勾股定理利用方程思想进行计算
3．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
4．如图，有一直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，则CD的长度为( )
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
5．如图，小刚准备测量一条河的深度，他把一根竹竿垂直插到离岸边1.5米远的水底(不计淤泥深度)，竹竿高出水面0.5米，再把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐．求河水的深度．
类型二 分类讨论在勾股定理中的应用
一、直角边与斜边不明时需分类讨论
6．(湘潭县期末)若一个直角三角形的两边长分别为2，4，则第三边长为____________．【易错1】
二、三角形形状不明时需分类讨论(分钝角三角形和锐角三角形)
7．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2.【易错2】
【变式题】一般三角形→等腰三角形
等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为____________．
三、等腰三角形腰和底不明时需分类讨论
8．有一块直角三角形的绿地，量得BC，AC两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且要求扩充的绿地部分是以AC为直角边的直角三角形ACD，求扩充后绿地所构成等腰三角形ABD的周长．
类型三 利用转化思想结合勾股定理求最短距离
9．(武冈市期中)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为________．
参考答案与解析
1．B 2.18
3．C 解析：设BD＝2x，则AD＝5x.在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，∴BD＝6.故选C.
4．B 解析：由题意可知AE＝AC＝6cm，CD＝ED，ED⊥AB.在Rt△ACB中，AB＝＝＝10(cm)，∴BE＝10－6＝4(cm)．设CD＝DE＝xcm，则BD＝(8－x)cm.在Rt△BDE中，DE2＋BE2＝BD2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即CD＝3cm.故选B.
5．解：设河水的深度为x米，由题意得x2＋1.52＝(x＋0.5)2，解得x＝2.
答：河水的深度为2米．
6．2或2
7．126或66 解析：当∠B为锐角时，如图①，在Rt△ABD中，BD＝＝＝5(cm)．在Rt△ADC中，CD＝＝＝16(cm)．∴BC＝BD＋CD＝5＋16＝21(cm)，∴S△ABC＝·BC·AD＝×21×12＝126(cm2)；当∠B为钝角时，如图②，同理求出BD＝5cm，CD＝16cm.∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)．∴S△ABC＝·BC·AD＝×11×12＝66(cm2)．故答案为126或66.
【变式题】90或10 解析：分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为钝角三角形时，可求得底边长的平方为90.
8．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8m，BC＝6m，由勾股定理得AB＝10m.应分以下三种情况：(1)如图①，当AB＝AD＝10m时，∵AC⊥BD，∴CD＝CB＝6m，∴△ABD的周长为10＋10＋2×6＝32(m)；(2)如图②，当AB＝BD＝10m时，∵BC＝6m，∴DC＝BD－BC＝4m，∴AD＝＝＝4(m)，∴△ABD的周长为10＋10＋4＝(20＋4)(m)；(3)如图③，当AB为底时，设AD＝BD＝xm，则CD＝(x－6)m，由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2，即x2＝82＋(x－6)2，解得x＝，∴△ABD的周长为AD＋BD＋AB＝＋＋10＝(m)．综上所述，扩充后绿地所构成的等腰三角形ABD的周长为32m或(20＋4)m或m.
9．25dm 解析：三级台阶平面展开图为长方形(如图)，长为20dm，宽为(2＋3)×3＝15(dm)，则蚂蚁从点A处沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，∴最短路程为＝25(dm)．
