湘教版八年级下册数学1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1. △ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4 cm，最长边AB的长是( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm
2. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2 cm，则AB的长度是( )
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
3. 等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10 cm，那么底边上的高为( )
A.10 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则( )
A.AB=2AC B.AC=2AB C.AB=AC D.AB=3AC
5. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足( )
A.0°＜∠B＜15° B.∠B=15° C.15°＜∠B＜30° D.∠B=30°
6. 等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为( )
A.30° B.30°或150° C.120°或150°D.30°或120°或150°
7. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于( )
A.25° B.30° C.45° D.60°
二、填空题(本大题共6小题)
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.
9.
在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=
AB,那么∠B=__________.
10.如图，AC=BC=6cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为 ______ ．
11. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.
12.在△ABC中，已知∠A=
∠B=
∠C，它的最长边是8
cm，求它的最短边的长是
。
13. 如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，则CD的长是 .
三、计算题(本大题共4小题)
14. 已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.求证：CD⊥AB.
15.
如
图△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=AB．
16. 如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？
解
17. 已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1. D
分析：首先根据角的比的关系可以判断三角形是直角三角形，从而根据中线性质得到最长边的长度。
解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC是直角三角形，根据直角三角形中线性质可得斜边AB为8 cm，故选D。
2. C
分析：根据直角三角形中一角为30°的性质可解答。
解：在Rt△ABC中
∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°
∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等）∵AD=2cm
在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm
在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm∴AB的长度是8cm．故选C.
3. B
分析：根据等角三角形的角的关系进行计算可得顶角大小，从而根据直角三角形一锐角为30度的性质可的高长。
解：
设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则
2x+4x=180°，解得x=30°，
则顶角是120°，
如右图，在Rt△ABD中，AB=10，∠B=30°，∴AD=
AB=5．故选B．
4. A
分析：根据直角三角形一直角为30度的性质可得。
解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，∠B=30°所以AB=2AC ，故选A。
5. D
分析：根据直角三角形中角平分线的性质可得到答案。
解：解；过点D作DE⊥AB， ∵在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线， ∴ED=CD， ∵BD：DC=2：l，DE⊥AB， ∴BD/E =2/1 ， ∴∠B=30°． 故选D．
6. D
分析：分两种情况进行讨论解决。
解：（1）腰上的高是“腰”长的一半 ----->顶角＝30°或150° (在直角三角形中,30度所对的边为斜边的一半) （2）腰上的高是“底边”长的一半 --->底角＝30° 顶角=120。故选D。
7.B
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE,从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质和三角形的外角性质得到∠B=2∠A,从而不难求得∠A的度数。
解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，
∴AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵△CED是由△CBD折叠而成，
∴∠B=∠CED，
∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，
∴∠B=2∠A，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=30°．
故答案为：30．故选B.
二、填空题(本大题共6小题)
8.
分析：根据直角三角形斜边中线性质可解答得到。
解：解：∵D为AB的中点，AB=8，
∴AD=4，
∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，
∴DE=
AD=2，
故答案为：2．
9.分析：根据三角的关系可以判断三角形为直角三角形，再根据斜边与直角边的关系得到。
解：因为∠A+∠B=∠C，所以∠C=
，又因为AC=
AB，所以∠B=
。
10.
分析：根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=15°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，
∵AD⊥BC，
∴AD=AC=×6cm=3cm．
故答案为3cm．
11.
分析：根据直角三角形一直角为30度的性质解得。
解：
如图，
∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB，
而BC=4米，∴AB=8米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．
故答案为：12．
12.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.
∵AB=8 cm，∴BC=4 cm.
故最短的边的长是4 cm.
13.
分析：在Rt△AEC中，由于
=
，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．
解：在Rt△AEC中，∵2CE=AC，
∴∠1=∠2=30°.
∵AD=BD=4，
∴∠B=∠2=30°.
∴∠ACD=180°-30°×3=90°.
∴CD=
AD=2.
三、计算题(本大题共4小题)
14.
分析：由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=
AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=
AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，
∴CM=
AB=BM.
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴CB=
AB=BM.
∴CM=CB.
∵D为MB的中点，
∴CD⊥BM，
即CD⊥AB.
15.
分
析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出BC=AB，再求出∠BCD=30°，再次利用性质解答即可得证．
证明：∴BC=AB，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），
∵CD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴BD=BC，
∴BD=AB．
16.
解
分析：根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半，先求出BC的长度，再根据两个方位角可证明AB=BC，然后AB与BD相加即可得解。
解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.
在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.
∴AB=BC=2BD.
∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，
∴BD=80海里.
∴AB=BC=160海里.
∴AD=160+80=240(海里).
因此船从A到D一共走了240海里.
17.
解：取CD的中点E,连接AE,
∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°.
∵E是CD的中点,CD=2,
∴AE=
CD=DE=CE=
×2=1.
∵BD=1,∴BE=CD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵AB=AC,
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴AD=AE=1=
CD.
又∵∠CAD=90°,
∴∠C=30°.