2.7 正方形
要点感知1 有一组邻边相等且有一个角是直角的__________四边形叫作正方形.
预习练习1-1 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A.∠D=90° B.AB＝CD C.AD=BC D.BC=CD
要点感知2 正方形的四条边都__________，四个角都是__________.正方形的对角线__________，且互相_________.
预习练习2-1 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC=16 cm，则DO=_________cm，BO=_________cm，∠OCD=__________.
要点感知3 正方形是中心对称图形，__________是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，__________都是它的对称轴.
预习练习3-1 如图，正方形的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为__________cm2.
知识点1 正方形的性质
1.正方形是轴对称图形，它的对称轴有( )
A.2条 B.4条 C.6条 D.8条
2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )
A.45° B.55° C.60° D.75°
3.已知正方形ABCD的对角线AC=
，则正方形ABCD的周长为__________.
4.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是__________.
5.如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点.求证：AE=CE.
知识点2 正方形的判定
6.下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.有一个角是直角的平行四边形是正方形
7.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()
A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B.AD∥BC，∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
8.如图正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.
9.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于( )
A.2
B.3 C.2
D.2
10.如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )
A.n
B.n-1 C.(
)n-1
D.
n
11.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )
A.选①② B.选②③ C.选①③ D.选②④
12.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为__________.
13.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是__________.
14.如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM=EF.
15.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.
16.正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB,BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
(1)求证：EF=FM；
(2)当AE=1时，求EF的长.
17.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；
(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形.
18.如图所示，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC,PF⊥BM，垂足分别为点E,F.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并说明理由.
(2)在(1)中，当P点运动到什么位置时，矩形PEMF为正方形，为什么？
参考答案
要点感知1 平行
预习练习1-1 D
要点感知2 相等 直角 相等 垂直平分
预习练习2-1 8 8 45°
要点感知3 对角线的交点 以及过每一组对边中点的直线
预习练习3-1 8
1.B 2.C 3.4 4.22.5°
5.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD.
又BE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=CE.
6.D 7.C
8.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵AE⊥BF，垂足为G，
∴∠CBF+∠AEB=90°.
∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE与△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴AE=BF.
9.C 10.B
11.B 12.5 13.
14.证明：连接MC.
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADM=∠CDM.
又DM=DM，
∴△ADM≌△CDM(SAS).
∴AM=CM.
∵ME∥CD，MF∥BC，
∴四边形CEMF是平行四边形.
∵∠ECF=90°，
∴□CEMF是矩形.
∴EF=MC.
又AM=CM，
∴AM=EF.
15.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC＝90°.
∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°.
∴∠ABE＝∠CBF.
∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE＝CF.
（2）∵BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴∠BEF＝45°.
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，
∴∠GBE＝35°.
∴∠EGC＝80°.
16.(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90°.
∴∠EDF+∠FDM=90°.
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°.
又∵DF=DF，
∴△DEF≌△DMF.
∴EF=MF.
(2)设EF=x，
∵AE=CM=1，
∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x.
∵EB=2，
∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2.
即22+(4-x)2=x2，解得x=
.
∴EF的长为4.
17.(1)DE⊥FG，
理由如下：由题意得∠A=∠EDB=∠GFE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠BDE+∠BED=90°.
∴∠GFE+∠BED=90°.
∴∠FHE=90°，即DE⊥FG.
(2)∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，
∴CB∥GE，CB=GE.
∴四边形CBEG是平行四边形.
∵∠ABC=∠GEF=90°，
∴四边形CBEG是矩形.
∵BC=BE，
∴四边形CBEG是正方形.
18.(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PEMF为矩形.
理由：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAM=∠CDM=90°，AB=CD.
又AD=2AB=2CD，AM=DM，
∴AM=AB=DM=DC.
∴∠AMB=∠DMC=45°.
∴∠BMC=90°.
又PE⊥CM，PF⊥BM，
∴∠PEM=∠PFM=90°.
∴四边形PEMF为矩形.
(2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF为正方形.
理由：由(1)知∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠ABM=∠DCM=45°.
∴∠PBF=∠PCE=45°.
又∠PFB=∠PEC=90°，PB=CP，
∴△BPF≌△CPE，
∴PE=PF.
∴矩形PEMF为正方形.