【330898】同步练习试题及答案_第18章 平行四行形（40页）

第十八章 平行四边形

测试1 平行四边形的性质(一)

学习要求

1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理；

2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。

2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．

3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．

4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______．

5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______．

6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．

6题图

7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．

7题图

8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S_□ABCD＝______．

二、选择题

9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )．

(A)AF＝EF

(B)AB＝EF

(C)AE＝AF

(D)AF＝BE

10．如图，下列推理不正确的是( )．

(A)∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠C＝180°

(B)∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC

(C)∵AD∥BC ∴∠3＝∠4

(D)∵∠A＋∠ADC＝180° ∴AB∥CD

11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( )．

(A)5 (B)6

(C)8 (D)12

综合、运用、诊断

一、解答题

12．已知：如图，□ABCD中，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：DE＝BF．

13．如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADE的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由．

14．已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．

(1)求证：DE＝FB；

(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CB＝BG．

15．已知：如图，□ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．

求证：(1)BE＝DF；(2)BE∥DF．

拓展、探究、思考

16．已知：□ABCD中，AB＝5，AD＝2，∠DAB＝120°，若以点A为原点，直线AB为x轴，如图所示建立直角坐标系，试分别求出B、C、D三点的坐标．

17．某市要在一块□ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是□ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在□ABCD的四条边上，请你设计两种方案：

方案(1)：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；

图1

方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．

图2

测试2 平行四边形的性质(二)

学习要求

能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单的几何问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．

2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是

______．

3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．

4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．

5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______．

6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．

7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．

8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______．

二、选择题

9．有下列说法：

①平行四边形具有四边形的所有性质；

②平行四边形是中心对称图形；

③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；

④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．

其中正确说法的序号是( )．

(A)①②④ (B)①③④ (C)①②③ (D)①②③④

10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( )．

(A)8cm和16cm (B)10cm和16cm (C)8cm和14cm (D)8cm和12cm

11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( )个．

(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数

12．在□ABCD中，点A₁、A₂、A₃、A₄和C₁、C₂、C₃、C₄分别是AB和CD的五等分点，点B₁、B₂、和D₁、D₂分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A₄B₂C₄D₂的面积为1，则□ABCD的面积为( )

(A)2 (B)

(C) (D)15

13．根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )

^……

(1) (2) (3)

(A)3n (B)3n(n＋1) (C)6n (D)6n(n＋1)

综合、运用、诊断

一、解答题

14．已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．

15．已知：如图，在□ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∠2＝30°，求∠1、∠3的度数．

拓展、探究、思考

16．已知：如图，O为□ABCD的对角线AC的串点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线MN上，且OE＝OF．

(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来；

(2)求证：∠MAE＝∠NCF．

17．已知：如图，在□ABCD中，点E在AC上，AE＝2EC，点F在AB上，BF＝2AF，若△BEF的面积为2cm²，求□ABCD的面积．

测试3 平行四边形的判定(一)

学习要求

初步掌握平行四边形的判定定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．平行四边形的判定方法有：

从边的条件有：①两组对边__________的四边形是平行四边形；

②两组对边__________的四边形是平行四边形；

③一组对边__________的四边形是平行四边形．

从对角线的条件有：④两条对角线__________的四边形是平行四边形．

从角的条件有：⑤两组对角______的四边形是平行四边形．

注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形______是平行四边形．(填“一定”或“不一定”)

2．四边形ABCD中，若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，则这个四边形______(填

“是”、“不是”或“不一定是”)平行四边形．

3．一个四边形的边长依次为a、b、c、d，且满足a²＋b²＋c²＋d²＝2ac＋2bd，则这个四边形为______．

4．四边形ABCD中，AC、BD为对角线，AC、BD相交于点O，BO＝4，CO＝6，当AO＝______，DO＝______时，这个四边形是平行四边形．

5．如图，四边形ABCD中，当∠1＝∠2，且______∥______时，这个四边形是平行四边形．

二、选择题

6．下列命题中，正确的是( )．

(A)两组角相等的四边形是平行四边形

(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形

(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形

(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7．已知：园边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

②如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

③如果再加上条件“OA＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

④如果再加上条件“∠DBA＝∠CAB”，那么四边形ABCD一定是平行四边形．其中正确的说法是( )．

(A)①② (B)①③④ (C)②③ (D)②③④

8．能确定平行四边形的大小和形状的条件是( )．

(A)已知平行四边形的两邻边

(B)已知平行四边形的相邻两角

(C)已知平行四边形的两对角线

(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长

综合、运用、诊断

一、解答题

9．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．

10．如图，在□ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，已知AE＝CF，AF与BE相交于点G，CE与DF相交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．

11．如图，在□ABCD中，E、F分别在边BA、DC的延长线上，已知AE＝CF，P、Q分别是DE和FB的中点，求证：四边形EQFP是平行四边形．

12．如图，在□ABCD中，E、F分别在DA、BC的延长线上，已知AE＝CF，FA与BE的延长线相交于点R，EC与DF的延长线相交于点S，求证：四边形RESF是平行四边形．

13．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，点E在BC上，点F在AD上，AF＝CE，EF与对角线BD交于点O，求证：O是BD的中点．

14．已知：如图，△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．求证：CF∥AE.

拓展、探究、思考

15．已知：如图，△ABC，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE．

(1)猜想DF与AE的关系；

(2)证明你的猜想．

16．用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A′B′C′(如图)，可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行四边形?请分别画出相应的图形加以说明．

测试4 平行四边形的判定(二)

学习要求

进一步掌握平行四边形的判定方法．

课堂学习检测

一、填空题

1．如图，□ABCD中，CE＝DF，则四边形ABEF是____________．

1题图

2．如图，□ABCD，EF∥AB，GH∥AD，MN∥AD，图中共有______个平行四边形．

2题图

3．已知三条线段长分别为10，14，20，以其中两条为对角线，其余一条为边可以画出

______个平行四边形．

4．已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出

______个平行四边形．

5．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．

5题图

二、选择题

6．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )．

(A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补

(C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补

7．能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是( )．

(A)AD＝BC，AB∥CD (B)∠A＝∠B，∠C＝∠D

(C)AB＝BC，AD＝DC (D)AB∥CD，CD＝AB

8．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是：∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为( )．

(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3

(C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2

9．如图，E、F分别是□ABCD的边AB、CD的中点，则图中平行四边形的个数共有( )．

(A)2个 (B)3个

(C)4个 (D)5个

10．□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为( )．

(A)(1，－2) (B)(2，－1) (C)(1，－3) (D)(2，－3)

11．如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )．

(A)1条 (B)2条

(C)3条 (D)4条

综合、运用、诊断

一、解答题

12．已知：如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可)．

(1)连结______；

(2)猜想：______＝______；

(3)证明：

13．如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点O，连结EF、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件______．(只添加一个条件)

证明：

14．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．

15．已知：如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．

求证：(1)△ACD≌△CBF；

(2)四边形CDEF为平行四边形．

拓展、探究、思考

16．若一次函数y＝2x－1和反比例函数 的图象都经过点(1，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，利用图象求点A的坐标；

(3)利用(2)的结果，若点B的坐标为(2，0)，且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．

17．如图，点A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)在反比例函数 的图象上．

(1)求m，k的值；

(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．

测试5 平行四边形的性质与判定

学习要求

能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．

课堂学习检测

一、填空题：

1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．

2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．

3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．

4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．

5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm．

6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，则□ABCD的面积是______．

7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD的面积为______．

8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5， ，则△CEF的周长为______．

9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S_△DMC______

S_△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)

综合、运用、诊断

一、解答题

10．已知：如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．

(1)求证：△EFC是等腰三角形；

(2)求EC＋FC．

11．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．

12．已知：如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：∠F＝∠BCF．

13．如图，已知：在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：BF∶BD＝ ∶3．

拓展、探究、思考

14．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

图1

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

图2

测试6 三角形的中位线

学习要求

理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

课堂学习检测

一、填空题：

1．(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．

(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________

________________________．

2．如图，△ABC的周长为64，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，A′、B′、C′分别为EF、EG、GF的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、

△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．

3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．

二、解答题

4．已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

5．已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．

求证：四边形DEFG是平行四边形．

综合、运用、诊断

6．已知：如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB＝2OF．

7．已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：GF＝GC．

8．已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．

求证：∠AHF＝∠BGF．

拓展、探究、思考

9．已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝5，AC＝7，求ED．

10．如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD＝CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗?为什么?

测试7 矩 形

学习要求

理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．(1)矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．

(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．

(3)矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．

2．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．

3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．

4．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A₁处，则∠EA₁B＝______°。

5．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．

二、选择题

6．下列命题中不正确的是( )．

(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半

(B)矩形的对角线相等

(C)矩形的对角线互相垂直

(D)矩形是轴对称图形

7．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．

(A)3.6cm (B)7.2cm (C)1.8cm (D)14.4cm

8．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．

(A)14cm (B)28cm (C)20cm (D)22cm

9．已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是( )

(A) (B) (C) (D)

综合、运用、诊断

一、解答题

10．已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．

(1)求证：四边形ABCD为矩形；

(2)作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．

11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．

(1)求证：D是BC的中点；

(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

12．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。

13．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．

求证：AE平分∠BAD．

拓展、探究、思考

14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2， ．

(1)在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；

(2)若P为BC边上一点，且BP＝2CP，连结EP并延长交AB的延长线于F．

①求证：AB＝BF；

②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到?若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理由。

测试8 菱 形

学习要求

理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理．

课堂学习检测

一、填空题：

1．菱形的定义：__________________的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．

3．菱形的判定：一组邻边相等的______是菱形；四条边______的四边形是菱形；对角线___

___的平行四边形是菱形．

4．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．

5．若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则它的周长为______cm，面积为______cm²．

二、选择题

6．对角线互相垂直平分的四边形是( )．

(A)平行四边形 (B)矩形 (C)菱形 (D)任意四边形

7．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )．

(A)矩形 (B)平行四边形 (C)菱形 (D)任意四边形

8．下列命题中，正确的是( )．

(A)两邻边相等的四边形是菱形

(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

(D)对角线垂直的四边形是菱形

9．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( )．

(A)4 (B)8

(C)12 (D)16

10．菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．

(A) (B)4 (C)1 (D)2

综合、运用、诊断

一、解答题

11．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．

求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．

12．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是 ，求AB的值．

13．如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．

(1)求证：△ADE≌△CBF．

(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．

14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

15．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝ ．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

16．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．

(1)求证：△BDE≌△BCF；

(2)判断△BEF的形状，并说明理由；

(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

拓展、探究、思考

17．请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上(保留作图痕迹)．

18．如图，菱形AB₁C₁D₁的边长为1，∠B₁＝60°；作AD₂⊥B₁C₁于点D₂，以AD₂为一边，作第二个菱形AB₂C₂D₂，使∠B₂＝60°；作AD₃⊥B₂C₂于点D₃，以AD₃为一边，作第三个菱形AB₃C₃D₃，使∠B₃＝60°；……依此类推，这样作的第n个菱形AB_nC_nD_n的边AD_n的长是______．

测试9 正方形

学习要求

1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2．掌握正方形的性质及判定方法．

课堂学习检测

一、填空题

1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．

3．正方形的判定：

(1)____________________________________的平行四边形是正方形；

(2)____________________________________的矩形是正方形；

(3)____________________________________的菱形是正方形；

4．对角线________________________________的四边形是正方形．

5．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．

6．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．

7．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果 ，那么EF＋EG的长为______．

二、选择题

8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则PQ的长为( )

(A)12 (B)13

(C)14 (D)15

9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )cm²．

(A)6 (B)8

(C)16 (D)不能确定

综合、运用、诊断

一、解答题

10．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，

∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．

11．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．

12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．

13．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．

拓展、探究、思考

14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．

(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 ；

(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．

参考答案

第十八章 平行四边形

测试1 平行四边形的性质(一)

1．平行，□ABCD． 2．平行，相等；相等；互补；互相平分；底边上的高．

3．110°，70°． 4.16cm，11cm． 5．互相垂直． 6．25°．

7．25°． 8．21cm²．

9．D． 10．C． 11．C．

12．提示：可由△ADE≌△CBF推出． 13．提示：可由△ADF≌△CBE推出．

14．(1)提示：可证△AED≌△CFB；

(2)提示：可由△GEB≌△DEA推出，

15．提示：可先证△ABE≌△CDF．

(三)

16．B(5，0) C(4， )D(－1， )．

17．方案(1)

画法1：

(1)过F作FH∥AB交AD于点H

(2)在DC上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；

画法2：

(1)过F作FH∥AB交AD于点H

(2)过E作EG∥AD交DC于点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形

画法3：

(1)在AD上取一点H，使DH＝CF

(2)在CD上任取一点G连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形

方案(2)

画法：(1)过M点作MP∥AB交AD于点P，

(2)在AB上取一点Q，连接PQ，

(3)过M作MN∥PQ交DC于点N，连接QM，PN则四边形QMNP就是所要画的四边形

测试2 平行四边形的性质(二)

1．60°、120°、60°、120°． 2．1＜AB＜7． 3．20．

4．6，5，3，30°． 5．20cm，10cm． 6．18．提示：AC＝2AO.

7．5 cm，5cm． 8．120cm²．

9．D； 10．B． 11．C． 12．C． 13．B．

14．AB＝2.6cm，BC＝1.7cm．

提示：由已知可推出AD＝BD＝BC．设BC＝xcm，AB＝ycm，

则 解得

15．∠1＝60°，∠3＝30°．

16．(1)有4对全等三角形．分别为△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．

(2)证明：∵OA＝OC，∠1＝∠2，OE＝OF，∴△OAE≌△OCF．∴∠EAO＝∠FCO．

又∵在□ABCD中，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO．∴∠EAM＝∠NCF．

17．9．

测试3 平行四边形的判定(一)

1．①分别平行； ②分别相等； ③平行且相等；

④互相平分； ⑤分别相等；不一定；

2．不一定是．

3．平行四边形．提示：由已知可得(a－c)²＋(b－d)²＝0，从而

4．6，4； 5．AD，BC．

6．D． 7．C． 8．D．

9．提示：先证四边形BFDE是平行四边形，再由EM NF得证．

10．提示：先证四边形AFCE、四边形BFDE是平行四边形，再由GE∥FH，GF∥EH得证．

11．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再由EP QF得证．

12．提示：先证四边形EBFD是平行四边形，再证△REA≌△SFC，既而得到RE SF．

13．提示：连结BF，DE，证四边形BEDF是平行四边形．

14．提示：证四边形AFCE是平行四边形．

15．提示：(1)DF与AE互相平分；(2)连结DE，AF．证明四边形ADEF是平行四边形．

16．可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形．拼成的四边形分别如下：

测试4 平行四边形的判定(二)

1．平行四边形． 2．18． 3．2． 4．3． 5．平行四边形．

6．C． 7．D． 8．D． 9．C． 10．A． 11．B．

12．(1)BF(或DF)； (2)BF＝DE(或BE＝DF)；

(3)提示：连结DF(或BF)，证四边形DEBF是平行四边形．

13．提示：D是BC的中点．

14．DE＋DF＝10

15．提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．

又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．

(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．

∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．

∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，

∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．

∵ED FC，∴四边形CDEF为平行四边形.

16．(1) ；(2) ； (3)P₁(－1.5，－2)，P₂(－2.5，－2)或P₃

(2.5，2)．

17．(1)m＝3，k＝12；

(2) 或

测试5 平行四边形的性质与判定

1．60°，120°，60°，120°． 2．45°，135°，45°，135°．

3．90°． 4．10cm＜x＜22cm． 5．

6．72．提示：作DE∥AM交BC延长线于E，作DF⊥BE于F，可得△BDE是直角三角形，

7． 提示：作CE⊥BD于E，设OE＝x，则BE²＋CE²＝BC²，得(x＋5)²＋ ．解出 ．S_□＝2S_△BCD＝BD×CE＝

8．7． 9．＝．提示：连结BM，DN．

10．(1)提示：先证∠E＝∠F； (2)EC＋FC＝2a＋2b．

11．提示：过E点作EM∥BC，交DC于M，证△AEB≌△AEM．

12．提示：先证DC＝AF．

13．提示：连接DE，先证△ADE是等边三角形，进而证明∠ADB＝90°，∠ABD＝30°．

14．(1)设正比例函数解析式为y＝kx，将点M(－2，－1)坐标代入得 ，所以正比例函数解析式为 ，同样可得，反比例函数解析式为 ；

(2)当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为 ，于是S_△OBQ＝

｜OB·BQ｜＝ · m·m＝ m²而S_OAP＝ ｜(－1)(－2)｜＝1，所以有， ，

解得m＝±2所以点Q的坐标为Q₁(2，1)和Q₂(－2，－1)；

(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P(－1，－2)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标Q(n， )，

由勾股定理可得OQ²＝n²＋ ＝(n－ )²＋4，

所以当(n－ )²＝0即n－ ＝0时，OQ²有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与OQ₂同时取得最小值，

所以OQ有最小值2．由勾股定理得OP＝ ，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2(OP＋OQ)＝2( ＋2)＝2 ＋4．

测试6 三角形的中位线

1．(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半．

2．16，64×( )^n－1 ． 3．18．

4．提示：可连结BD(或AC)．

5．略．

6．连结BE，CE AB □ABEC BF＝FC．□ABCD AO＝OC，∴AB＝2OF．

7．提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．

8．提示：连结AC，取AC的中点M，再分别连结ME、MF，可得EM＝FM．

9．ED＝1，提示：延长BE，交AC于F点．

10．提示：AP＝AQ，取BC的中点H，连接MH，NH．证明△MHN是等腰三角形，进而证明∠APQ＝∠AQP．

测试7 矩形

1．(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点的直线；

(3)平行四边形；对角线相等；三个角．

2．5，5 ． 3． 4．60°． 5．

6．C． 7．B． 8．B． 9．D．

10．(1)提示：先证OA＝OB，推出AC＝BD；(2)提示：证△BOE≌△COF．

11．(1)略；(2)四边形ADCF是矩形． 12．7.5．

13．提示：证明△BFE≌△CED，从而BE＝DC＝AB，∴∠BAE＝45°，可得AE平分∠BAD．

14．提示：(1)取DC的中点E，连接AE，BE，通过计算可得AE＝AB，进而得到EB平分

∠AEC．

(2)①通过计算可得∠BEF＝∠BFE＝30°，又∵BE＝AB＝2

∴AB＝BE＝BF：

②旋转角度为120°．

测试8 菱 形

1．一组邻边相等．

2．所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线．

3．平行四边形；相等，互相垂直． 4． 5．20，24．

6．C． 7．C． 8．B． 9．D． 10．C．

11．120°；(2)8 ． 12．2．

13．(1)略；(2)四边形BFDE是菱形，证明略．

14．(1)略；(2)△ABC是Rt△．

15．(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形BEDF是菱形，证明略．

16．(1)略；(2)△BEF是等边三角形，证明略．

(3)提示：∵ ≤△BEF的边长＜2

17．略． 18．

测试9 正方形

1．相等、直角、矩形、菱形．

2．是直角；相等、对边平行，邻边垂直；相等、垂直平分、一组，四．

3．(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角； (2)有一组邻边相等．

(3)有一个角是直角．

4．互相垂直、平分且相等． 5． a，2∶1． 6．112.5°，8 cm²；7．5cm．

8．B． 9．B．

10．55°． 提示：过D点作DF∥NM，交BC于F．

11．提示：连结AF．

12．提示：连结CH，DH＝ ． 13．提示：连结BP．

14．(1)证明：△ADQ≌△ABQ；

(2)以A为原点建立如图所示的直角坐标系，过点Q作QE⊥y轴于点E，QF⊥x轴于点F．

AD×QE＝ S_{正方形ABCD}＝ ∴QE＝

∵点Q在正方形对角线AC上 ∴Q点的坐标为

∴过点D(0，4)， 两点的函数关系式为：y＝－2x＋4，当y＝0时，x＝2，即P运动到AB中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 ；

(3)若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD

①当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知 QD＝QA此时△ADQ是等腰三角形；

②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；

③如图，设点P在BC边上运动到CP＝x时，有AD＝AQ

∵AD∥BC ∴∠ADQ＝∠CPQ．

又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，

∴∠CQP＝∠CPQ．

∴CQ＝CP＝x．

∵AC＝ ，AQ＝AD＝4．

∴x＝CQ＝AC－AQ＝ －4．

即当CP＝ －4时，△ADQ是等腰三角形．

第十八章 平行四边形全章测试

一、选择题

1．下列说法中，正确的是( )．

(A)等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．

(B)平行四边形的邻边相等．

(C)矩形是轴对称图形且有四条对称轴．

(D)菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半．

2．在□ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，∠A＝120°，则□ABCD的面积是( )．

(A) (B) (C) (D)

3．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为( )．

(A)1 (B)2

(C) (D)

4．等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角为( )．

(A)120° (B)60°

(C)45° (D)50°

5．课外活动时，王老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm²，则两条对角线所用的竹条至少需( )．

(A) (B)30cm (C)60cm (D)

二、填空题

6．如图，若□ABCD与□EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．

7．已知菱形ABCD的面积是12cm²，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．

8．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．

8题图

9．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．

10．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O₁，以AB，AO₁为两邻边作平行四边形ABC₁O₁，平行四边形ABC₁O₁的对角线交于点O₂，同样以AB，AO₂为两邻边平行四边形ABC₂O₂……依此类推，则平行边形ABC_nO_n的面积为___________．

三、解答题

11．平行四边形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，且AF＝CE，求证：AE＝CF．

12．如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，并加以证明．

结论：BF＝______．

证明：

13．如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．

(1)求证：△ABF≌△EDF

(2)若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由．

14．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，点E，F，G，H分别是DB，BC，AC，DA的中点，求证：线段HF、线段EG互相平分。

15．如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE＝∠DAE．

图1

(1)请你通过观察、测量、猜想，写出∠AEF的度数；

(2)若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在(1)中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在

图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．

图2 图3

16．如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连结CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H．

图1

(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗?说明理由；

图2

(3)如图3中，若∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

图3

参考答案

第十八章 平行四边形全章测试

1．D． 2．B． 3．D． 4．B． 5．C．

6．45． 7． 8．

9． 10． 11．略． 12．BF＝AE；证明提示：△BAE≌△CFB．

13．(1)略；(2)菱形． 14．提示：连结EH，HG，GF，FE

15．(1)90°；(2)提示：延长AE与BC延长线交于点G，证明△AFG是等腰三角形；

16．(1)菱形；

(2)菱形，提示：连结CB，AD；证明CB＝AD；

(3)如图，正方形，提示：连结CB、AD，证明△APD≌△CPB，从而得出AD＝CB，

∠DAP＝∠BCP，进而得到CB⊥AD．