【330892】思想方法专题：勾股定理中的思想方法

思想方法专题：勾股定理中的思想方法

类型一　分类讨论思想

一、直角边与斜边不明需分类讨论

1．(2017·合肥瑶海区期中)一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错8】(　　)

A．13 B．5

C．13或5 D．4

2．(阜阳颍州区月考)已知直角三角形两边的长为6和8，则此三角形的周长为【易错8】(　　)

A．24 B．14＋2

C．24或14＋2 D．以上都不对

二、高的位置(在三角形内部或外部)不明需分类讨论

3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为【易错9】(　　)

A．10 B．8

C．6或10 D．8或10

4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC的长为__________．【易错9】

类型二　方程思想

一、利用“连环勾”列方程

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D.若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为(　　)

A ．4

B．5

C．6

D．8

二、折叠问题中结合勾股定理列方程

6．(阜阳太和县期末)如图，把长方形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF.如果AB＝4，BC＝8，求BE的长．【方法9】

三、实际问题中结合勾股定理列方程

7．(蚌埠市期中)如图，在一棵树CD的10米高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20米处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D沿直线跃入池塘A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？

类型三　利用转化思想求最值

8．★如图，一个圆柱形杯子高18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时已知蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿2cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为________cm.【方法10②】

9．★(芜湖繁昌县月考)如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行了7km到达点C，此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？请先在图上作出最短路径，再进行计算．【方法10③】

参考答案与解析

1．C　2.C

3．C　解析：根据题意画出图形，如图①，AB＝10，AC＝2，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得BD＝＝＝8，CD＝＝＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；如图②，同理可得BD＝8，CD＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC的长为6或10.故选C.

4．2或4　解析：根据题意画出图形，如图①，△ABC为锐角三角形，过点C作CD⊥AB于点D.∵S_△ABC＝AB·CD＝10，AB＝5，∴CD＝4.在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝＝＝2.

如图②，△ABC为钝角三角形，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.同上可得CD＝4，AD＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝＝＝4.综上所述，BC的长为2或4.

5．C　解析：设BD＝2x，则AD＝5x.在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC²－AD²＝BC²－BD²，即17²－(5x)²＝10²－(2x)²，解得x₁＝3，x₂＝－3(负值舍去)，∴BD＝6.故选C.

6．解：由折叠可知AE＝CE.设AE＝CE＝x，则BE＝8－x.在Rt△ABE中，由勾股定理得AB²＋BE²＝AE²，即4²＋(8－x)²＝x²，解得x＝5.∴BE＝8－5＝3.

7．解：设这棵树高为x米，则BD＝(x－10)米，AD＝米．∵AD＋BD＝BC＋AC，∴＋x－10＝10＋20，即＝40－x，解得x＝15.

答：这棵树高为15米．

8．20　解析：如图，将杯子侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．过点A′作A′D∥EF交BM的延长线于点D.由题意得EF＝24cm，MN＝18cm，BN＝4cm，AE＝2cm，∴DM＝A′E＝AE＝2cm，BM＝MN－BN＝14cm，A′D＝EM＝EF＝12cm，∴BD＝BM＋DM＝16cm.在Rt△A′DB中，由勾股定理得A′B＝＝＝20(cm)．

9．解：如图，作A点关于小河河岸线的对称点A′，连接A′B交河岸线于点P，连接AP，则牧童沿AP将马牵至P点饮水再沿PB返回家的路程最短．由题意可知BC＝8km，A′C＝7＋4＋4＝15(km)．根据勾股定理得A′B＝＝17km，∴AP＋PB＝A′P＋PB′＝A′B＝17km.故最短路程为17km.