湘教版版八年级下册数学1.3直角三角形全等的判定同步练习
一、选择题(本大题共8小题)
1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是( )
A.HL B.ASA C.AAS D.SAS
2. 在下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一个锐角和它所对的直角边对应相等
D.一条斜边和一条直角边对应相等
3. 如图所示,AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等的三角形有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
4. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A，则下列结论中正确的是（ ）
A. AC=A′C′ B.BC=B′C′
C.AC=B′C′ D.∠A=∠A′
5. 如图所示，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点，则图中全等三角形的对数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF D.∠C=∠F,BC=EF
7. 如图,在Rt△ABC的斜边BC上截取CD=CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E,则有( )
A.DE=DB B.DE=AE C.AE=BE D.AE=BD
8. 如图，南京路与八一街垂直，西安路也与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为( )m.
A.400 B.600 C.500 D.700
二、填空题(本大题共6小题)
9. 已知一条斜边和一条直角边，求作直角三角形，作图的依据是__________.
10. 已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，AB=DC，则△ABE≌△__________.
11. 如图,已知BD⊥AE于点B,C是BD上一点,且BC=BE,要使Rt△ABC≌Rt△DBE,应补充的条件是∠A=∠D或__________或__________或__________.
12. 如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加一个条件__________.
13. 已知：如图，AB=CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=__________.
14. 用三角尺可按下面方法画角平分线：如图，在已知∠AOB两边上分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，两垂线交于点P，画射线OP，则OP平分∠AOB.作图过程用到了△OPM≌△OPN，那么△OPM≌△OPN的依据是__________.
三、计算题(本大题共4小题)
15. 已知：如图△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE
求
证：OB=OC.
16. 已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
17. 用尺规作一个直角三角形，使其中一条边长为a，这条边所对的角为30°.
已知：线段a，
求作：Rt△ABC，使BC=a，∠ACB=90°，∠A=30°.
18. 已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。
参考答案：
一、选择题(本大题共8小题)
1.A
分析：已知∠A=∠D=90°，题中隐含BC=BC，根据HL即可推出△ABC≌△DCB．
解：解：HL，理由是：∵∠A=∠D=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），故选A．
2. D
分析：针对每一个条件进行判定验证，从而判断结论。
解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项正确；
C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项正确；
D、面积相等，不能说明两三角形能够完全重合，故本选项错误．故选D．
3. C
分析：根据提供的条件判断出全等三角形，再逐个分析全等的个数切勿遗漏。
解：根据已知条件可以判断有3对全等三角形。故选C
4. C
分析：根据三角形的条件，判断这两个直角三角形全等，再根据条件判断对应线段或角即可。
解：根据条件可判断Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，但是对应点分别是A′和B，B′和A ，C′和C。故选C。
5. D
分析：本题重点是根据已知条件“AB=AC，AD⊥BC交D点，E、F分别是DB、DC的中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由结论推出AB=AC，BE=DE，CF=DF，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏。
解：∵AD⊥BC，AB=AC
∴D是BC中点
∴BD=DC
∴△ABD≌△ACD（HL）；
E、F分别是DB、DC的中点
∴BE=ED=DF=FC
∵AD⊥BC，AD=AD，ED=DF
∴△ADF≌△ADE（HL）；
∵∠B=∠C，BE=FC，AB=AC
∴△ABE≌△ACF（SAS）
∵EC=BF，AB=AC，AE=AF
∴△ABF≌△ACE（SSS）
∴全等三角形共4对，分别是：△ABD≌△ACD（HL），△ABE≌△ACF（SAS），△ADF≌△ADE（SSS），△ABF≌△ACE（SAS）故答案为D．
6. B
分析：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；
B、当∠A=∠D=90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等；
C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；
D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
解：根据上列分析可判断。故选B．
7. B
分析：连接EC,可证明△ACE≌△DCE,从而得到答案。
解：连接EC,∵CD=CA，EC=EC，∴△ACE≌△DCE ，故得到DE=AE ，选B。
8. C
分析：由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．
解：如右图所示，
∵BC∥AD，
∴∠DAE=∠ACB，
又∵BC⊥AB，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠DEA=90°，
又∵AB=DE=400m，
∴△ABC≌△DEA，
∴EA=BC=300m，
在Rt△ABC中，AC=500m，
∴CE=AC-AE=200，
从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，
∴最近的路程是500m．故答案为500m。故选C。
二、填空题(本大题共6小题)
9.分析：
结论：如图所示，Rt△ABC即为所求作的三角形．
解：HL
10.
分析：根据直角三角形全等的条件HL判定即可。
证明：∵在△ABE和△DCF中，
AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，
符合直角三角形全等条件HL，
所以△ABE≌△DCF，
故填：ABE；DCF．
11.
分析：要使Rt△ABC≌Rt△DBE，现有直角对应相等，一直角边对应相等，还缺少一边或一角对应相等，答案可得．
解：∵BD⊥AE
∴∠ABC=∠DBE，
∵BC=BE，
加∠ACB=∠BDE就可以用ASA使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加AC=DE就可以用HL使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加AB=DB就可以用SAS使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加∠ACB=∠D也可以使Rt△ABC≌Rt△DBE；
加∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°一样可以证明Rt△ABC≌Rt△DBE．
所以填∠ACB=∠BDE或AC=DE或AB=DB或∠A+∠E=90°或∠D+∠ACB=90°等．
12.
分析：添加AB=AC，∵AD⊥BC，AD=AD，AB=AC
∴△ABD≌△ACD
已知AD⊥BC于D，AD=AD，若加条件∠B=∠C，显然根据的判定为AAS．
解：AB=AC
13.
分析：首先根据直角三角形的全等判定证明△AFB≌△CED，进而得到∠A和∠C的关系相等，易得∠A。
解：在△AFB和△CED中
∵DE⊥AC于点E，BF⊥AC
∴∠AFB=∠CED=90°。
又：AB=CD，BF=DE
∴△AFB≌△CED（H.L）
则：∠A=∠C
∴ ∠A=90°-∠D=90°-60°=30°故答案是30°。
14.
分析：证明Rt△OPM和Rt△OPN全等即可得到答案。
解：在Rt△OPM和Rt△OPN中，
，
所以Rt△OPM≌Rt△OPN，
所以∠POM=∠PON，
即OP平分∠AOB。
三、计算题(本大题共4小题)
15. 分析：欲证OB=OC可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE与△CBD全等即可
证
明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt△BCE与Rt△CBD中
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)
∴∠1=∠2，∴OB=OC
16.分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等
即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。
证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°
∴
在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）
∴DE=EC又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.
17. 分析首先作直角三角形，满足两个条件即可。
解： 作法：(1)作∠MCN=90°.
(2)在CN上截取CB，使CB=a.
(3)以B为圆心，以2a为半径画弧，交CM于点A，连接AB.
则△ABC为所求作的直角三角形.
18.分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG
因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。
证
明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°
∵DE⊥AC∴∠DEC=90°
∵FG⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°
∴QF//CD∴QF=DG，
∴∠B=∠GFC
∵F为BC中点
∴BF=FC
在Rt△BQF与Rt△FGC中
∴△BQF≌△FGC（AAS）
∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC
∴在Rt△DEC中，∵G为DC中点∴DG=EG