思想方法专题：矩形中的折叠问题
——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想
类型一 矩形折叠问题中求角的度数
1．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在点D′处．若∠CED′＝60°，则∠BAD′的大小是( )
A．30° B．45° C．50° D．60°
第1题图 第2题图
2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕FG交AB于点F，交BC于点G，连接BE.若∠AEF＝20°，则∠FGB的度数为( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
类型二 矩形折叠问题中求长度
3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O.若AO＝5cm，则AB的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
第3题图 第4题图
4．(2017·芜湖市期中)将矩形纸片ABCD按如图折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为( )
A．2 B．1 C. D.
5．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是【方法18①】( )
A．3 B. C．5 D.
第5题图 第6题图
6．(2017·芜湖繁昌县期中)将矩形纸片ABCD按如图折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，BE＝1.折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则EC的长为( )
A. B．2 C．3 D．2
7．★(2017·安庆潜山县期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．
第7题图 第8题图
类型三 矩形折叠问题中求面积
8．(2017·阜阳市期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则△AEF的面积是( )
A．8 B．10 C．12 D．14
9．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
参考答案与解析
1．A 2.C 3.C
4．C 解析：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝CE，∠FCO＝∠ECO.由折叠可得∠ECO＝∠ECB.又∵∠FCO＋∠ECO＋∠ECB＝90°，∴∠FCO＝∠ECO＝∠ECB＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴CE＝2BE，∴AE＝2BE.∵AB＝AE＋BE＝3，∴BE＝1，CE＝AE＝2，∴BC＝＝.故选C.
5．C 解析：四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10.由折叠可得BF＝AB＝6，EF＝AE，∠BFE＝∠A＝90°，∴∠DFE＝90°.设DE＝x，则EF＝AE＝8－x.在Rt△DEF中，DE2＝EF2＋DF2，即x2＝(8－x)2＋(10－6)2，解得x＝5.即DE＝5.故选C.
6．B 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°.∵∠BAE＝30°，BE＝1，∴AE＝2BE＝2×1＝2，∠AEB＝90°－∠BAE＝90°－30°＝60°，∠EAC1＝∠BAD－∠BAE＝90°－30°＝60°.由折叠可得∠AEB1＝∠AEB＝60°.∴∠AC1E＝180°－∠EAC1－∠AEB1＝60°，∴△AEC1是等边三角形，∴EC1＝AE＝2.由折叠可得EC＝EC1＝2.故选B.
解析：如图，连接BF交AE于点H.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝3.由折叠可得BF⊥AE，BH＝BF.∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝＝5.∵S△ABE＝AB·BE＝AE·BH，∴BH＝，∴BF＝2BH＝.由折叠可得FE＝BE，∴FE＝BE＝CE，∴∠EBF＝∠BFE，∠ECF＝∠EFC.又∵∠EBF＋∠BFE＋∠EFC＋∠ECF＝180°，∴∠BFE＋∠EFC＝90°，即∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝＝＝.
8．B 解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝8，CD＝AB＝4.由折叠可得AG＝CD＝4，∠G＝∠D＝90°，DF＝GF.设AF＝x，则GF＝DF＝8－x.在Rt△AGF中，AF2－GF2＝AG2，即x2－(8－x)2＝42，解得x＝5，即AF＝5.∴S△AEF＝AF·AB＝×5×4＝10.故选B.
9．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.由折叠可得∠F＝∠B，AF＝AB，∴AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE和△CDE中，∵∴△AFE≌△CDE.
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝8.由折叠可得CF＝BC＝8.由(1)可知△AFE≌△CDE，∴EF＝DE.设EF＝DE＝x，则CE＝8－x.在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴DE＝3，∴AE＝AD－DE＝5，∴S阴影＝AE·CD＝×5×4＝10.