【330897】同步练习试题及答案_第17章勾股定理（20页）

第十七章 勾股定理

测试1 勾股定理(一)

学习要求

掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

课堂学习检测

一、填空题

1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______＝c²；这一定理在我国被称为______．

2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．

(1)若a＝5，b＝12，则c＝______；

(2)若c＝41，a＝40，则b＝______；

(3)若∠A＝30°，a＝1，则c＝______，b＝______；

(4)若∠A＝45°，a＝1，则b＝______，c＝______．

3．如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→C所走的路程为______．

4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．

5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．

二、选择题

6．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB²＋AC²＋BC²的值为( )．

(A)8 (B)4 (C)6 (D)无法计算

7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则BD等于( )．

(A)4 (B)6 (C)8 (D)

8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )．

(A)150cm²(B)200cm²

三、解答题

9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；

(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；

(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；

(4)若∠A＝30°，c＝24，求c边上的高h_c；

(5)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．

综合、运用、诊断

一、选择题

10．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )．

(A)1个 (B)2个

二、填空题

11．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______．

12．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S₁，S₂，S₃，S₄，则S₁＋S₂＋S₃＋S₄＝______．

三、解答题

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝20，求BC的长．

拓展、探究、思考

14．如图，△ABC中，∠C＝90°．

(1)以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形(如图①)，探究S₁＋S₂与S₃的关系；

图①

(2)以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形(如图②)，探究S₁＋S₂与S₃的关系；

图②

(3)以直角三角形的三边为直径向形外作半圆(如图③)，探究S₁＋S₂与S₃的关系．

图③

测试2 勾股定理(二)

学习要求

掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．

2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距______km．

3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m路，却踩伤了花草．

3题图

4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．

4题图

二、选择题

5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )．

5题图

(A)5m (B)7m (C)8m (D)10m

6．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )．

6题图

(A) (B)

三、解答题

7．在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?

8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?

综合、运用、诊断

一、填空题

9．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为____

__米．

10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)

二、解答题：

11．长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m．

12．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米?若楼梯宽2米，地毯每平方米30元，那么这块地毯需花多少元?

拓展、探究、思考

13．如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．

测试3 勾股定理(三)

学习要求

熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．

2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．

3．在△ABC中，若AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝10，则AC＝______，AB边上的高CD＝______．

4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为______．

5．在△ABC中，若∠ACB＝120°，AC＝BC，AB边上的高CD＝3，则AC＝______，AB＝______，BC边上的高AE＝______．

二、选择题

6．已知直角三角形的周长为，斜边为2，则该三角形的面积是( )．

(A) (B) (C) (D)1

7．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．

(A) (B) 或 (C) (D) 或

三、解答题

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝求AB的长．

9．在数轴上画出表示及的点．

综合、运用、诊断

10．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．

11．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．

12．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．

13．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE²＋BF²＝EF²．

拓展、探究、思考

14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l₁，l₂，l₃上，且l₁，l₂之间的距离为2，l₂，l₃之间的距离为3，求AC的长是多少?

15．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S₁为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S₂，S₃，…，S_n(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S₈＝______，第n个正方形的面积S_n＝______．

测试4 勾股定理的逆定理

学习要求

掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

课堂学习检测

一、填空题

1．如果三角形的三边长a、b、c满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形是______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．

2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做____________；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的____________．

3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6、8、10，(2)5、12、13，(3)8、15、17，(4)4、5、6，其中能构成直角三角形的有____________．(填序号)

4．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a²＋b²＞c²，则∠c为____________；

②若a²＋b²＝c²，则∠c为____________；

③若a²＋b²＜c²，则∠c为____________．

5．若△ABC中，(b－a)(b＋a)＝c²，则∠B＝____________；

6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是______三角形．

7．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______．

8．△ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为______，此三角形为______．

二、选择题

9．下列线段不能组成直角三角形的是( )．

(A)a＝6，b＝8，c＝10 (B)

10．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( )．

(A)1∶1∶2 (B)1∶3∶4

11．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m²＝2n＋1)，则此三角形( )．

(A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形

(C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定

综合、运用、诊断

一、解答题

12．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

13．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

14．已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝，求证：AF⊥FE．

15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

拓展、探究、思考

16．已知△ABC中，a²＋b²＋c²＝10a＋24b＋26c－338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．

17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴，试判断三角形的形状．

18．观察下列各式：3²＋4²＝5²，8²＋6²＝10²，15²＋8²＝17²，24²＋10²＝26²，…，你有没有发现其中的规律?请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．

参考答案

第十七章 勾股定理

测试1 勾股定理(一)

1．a²＋b²，勾股定理． 2．(1)13； (2)9； (3)2，； (4)1，．

3．． 4．5 ，5． 5．132cm． 6．A． 7．B． 8．C．

9．(1)a＝45cm．b＝60cm； (2)540； (3)a＝30，c＝34；

(4)6 ； (5)12．

10．B． 11． 12．4． 13．

14．(1)S₁＋S₂＝S₃；(2)S₁＋S₂＝S₃；(3)S₁＋S₂＝S₃．

测试2 勾股定理(二)

1．13或 2．5． 3．2． 4．10．

5．C． 6．A． 7．15米． 8．米．

9． 10．25． 11． 12．7米，420元．

13．10万元．提示：作A点关于CD的对称点A′，连结A′B，与CD交点为O．

测试3 勾股定理(三)

1． 2．16，19.2． 3．5 ，5． 4．

5．6，，． 6．C． 7．D

8．提示：设BD＝DC＝m，CE＝EA＝k，则k²＋4m²＝40，4k²＋m²＝25．AB＝

9．图略．

10．BD＝5．提示：设BD＝x，则CD＝30－x．在Rt△ACD中根据勾股定理列出(30－x)²＝(x＋10)²＋20²，解得x＝5．

11．BE＝5．提示：设BE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝AD－DE＝9－x．在Rt△ABE中，AB²＋AE²＝BE²，∴3²＋(9－x)²＝x²．解得x＝5．

12．EC＝3cm．提示：设EC＝x，则DE＝EF＝8－x，AF＝AD＝10，BF＝，CF＝4．在Rt_△_CEF中(8－x)²＝x²＋4²，解得x＝3．

13．提示：延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．

14．提示：过A，C分别作l₃的垂线，垂足分别为M，N，则易得△AMB≌△BNC，则

15．128，2ⁿ^－1．

测试4 勾股定理的逆定理

1．直角，逆定理． 2．互逆命题，逆命题． 3．(1)(2)(3)．

4．①锐角；②直角；③钝角． 5．90°． 6．直角．

7．24．提示：7＜a＜9，∴a＝8． 8．13，直角三角形．提示：7＜c＜17．

9．D． 10．C． 11．C．

12．CD＝9． 13．

14．提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF²＋EF²＝AE²得结论．

15．南偏东30°．

16．直角三角形．提示：原式变为(a－5)²＋(b－12)²＋(c－13)²＝0．

17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为(a²－b²)(a²＋b²－c²)＝0．

18．35²＋12²＝37²，[(n＋1)²－1]²＋[2(n＋1)]²＝[(n＋1)²＋1]²．(n≥1且n为整数)

第十七章 勾股定理全章测试

一、填空题

1．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．

2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．

3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm²，则其中最大的正方形的边长为______cm．

3题图

4．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．

4题图

5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于______cm．

5题图

6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6，BC＝8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD＝______．

6题图

7．△ABC中，AB＝AC＝13，若AB边上的高CD＝5，则BC＝______．

8．如图，AB＝5，AC＝3，BC边上的中线AD＝2，则△ABC的面积为______．

8题图

二、选择题

9．下列三角形中，是直角三角形的是( )

(A)三角形的三边满足关系a＋b＝c (B)三角形的三边比为1∶2∶3

(C)三角形的一边等于另一边的一半 (D)三角形的三边为9，40，41

10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )．

10题图

(A)450a元 (B)225a元

11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝( )．

(A)2 (B)3

12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则AC＋BC等于( )．

(A)5 (B)

三、解答题

13．已知：如图，△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D是垂足，求AD的长．

14．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，CD＝10m，求这块草地的面积．

15．△ABC中，AB＝AC＝4，点P在BC边上运动，猜想AP²＋PB·PC的值是否随点P位置的变化而变化，并证明你的猜想．

16．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，求BC．

17．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多长?

18．如图所示，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为3，另一种纸片的两条直角边长分别为1和3．图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．

图1 图2 图3

(1)请用三种方法(拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法)将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形(非矩形)，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方格纸上(要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹)；