【330562】第17章复习2

17. 一元二次方程

一、选择题

1．下列方程中一定是一元二次方程的是(　　)

A．3x＋＝4 B．ax²＋bx＋c＝0 C．x²＝0 D．3x²－2xy－5y²＝0

2．将方程3(2x²－1)＝(x＋)(x－)＋3x＋5化成一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为(　　)

A．5，3，5 B．5，－3，－5 C．7，，2 D．8，6，1

3．一元二次方程x²－8x－1＝0配方后可变形为(　　)

A．(x＋4)²＝17 B．(x＋4)²＝15 C．(x－4)²＝17 D．(x－4)²＝15

4．若关于x的一元二次方程x²－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值 范围是(　　)

A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1

5．关于x的一元二次方程x²＋px＋q＝0的两根同为负数，则(　　)

A．p＞0且q＞0 B．p＞0且q＜0 C．p＜0且q＞0 D．p＜0且q＜0

6．已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x²－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长是(　　)

A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对

7．我省2014年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2015年增速位居全国第一．若2016年的快递业务量达到4.5亿件，设2015年与2016年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是(　　)

A．1.4(1＋x)＝4.5 B．1.4(1＋2x)＝4.5

C．1.4(1＋x)²＝4.5 D．1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)²＝4.5

8．若α，β是一元二次方程x²＋2x－6＝0的两根，则α²＋β²等于(　　 )

A．－8 B．32 C．16 D．40

9．已知m，n是关于x的一元二次方程x²－3x＋a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为(　　)

A．－10 B．4 C．－4 D．10

10．已知关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0.有下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b²－4ac≥0；②若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两根为－1和2，则2a＋c＝0；③若一元二次方程ax²＋c＝0有两个不相等的实数根，则一元二次方程ax²＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根．其中真命题的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

11．已知关于x的方程x²－2 x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__________．

12．已知三角形两边长是方程x²－5x＋6＝0的两个根，则三角形的第三边长c的取值范围是________．

13．若n(n≠0)是关于x的方程x²＋mx＋2n＝0的根，则m＋n＝__________．

14．如图是一个正方体的展开图， 标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，且标注的数或代数式的值相同的不超过2个，那么A的取值范围是________．

三、解答题

15．解方程：

(1)(2x－3)²＝9(2x＋3)².　　(2)3x(x－2)＝2(2－x)．

16．李老师布置了两道解方程的作业题：

(1)选用合适的方法解方程：＝6；

(2)用配方法解方程：2x²＋4x－5＝0.

以下是小明同学的作业：

请你帮小明检查他的作业是否正确，把不正确的改正过来．

17．已知方程3x²＋2x－3＝0的两根分别为x₁，x₂，求下列代数式的值：

(1)x₁²＋x₂²；　　　　(2)＋.

18．已知关于x的一元二次方程x²－2x－m＝0有实数根．

(1)求m的取值范围；

(2)若a，b是此方程的两个根，且满足＝，求m的值．[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z&xx&k.Com]19．2013年，东营市某楼盘以每平方米6 500元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米5 265元．

(1)求平均每年下调的百分率；

(2)假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，张强的愿望能否实现？(房价每平方米按照均价计算)

20．中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：

设当售价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克．

(1)根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测并求出y与x之间的函数表达式；

(2)如果这种土特产的成本价是20元/千克， 为使某一天的利润为780元，那么这一天每千克的售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)

21．已知关于x的一元二次方程mx²－x＋2m＋2＝0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值；

(2)设方程的两个实数根分别为x₁、x₂(其中x₁<x₂)，若y是关于m的函数，且y＝7x₁－mx₂，求这个函数的表达式；并求当自变量m的取值 范围满足什么条件时，y≤3m.

[来源:学科网]

答案

一、1.C　2.B　点拨：将方程化成一般形式为5x²－3x－5＝0.

3．C　4.A　5.A　6.B　7.C　8.C

9．C　点拨：由根与系数的关系可知m＋n＝3，mn＝a，又由(m－1)(n－1)＝mn－(m＋n)＋1＝a－3＋1＝－6，可得 a＝－4.

10．D　点拨：①若a＋b＋c＝0，则方程ax²＋bx＋c＝0有一根为1，又a≠0，所以b²－4ac≥0，①为真命题；②由－1和2是一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两根，可得a－b＋c＝0，4a＋2b＋c＝0，两式联立消去b可得2a＋c＝0， ②为真命题；③若一元二次方程ax²＋c＝0有两个不相等的实数根，则－4ac＞0，所以b²－4ac＞0，故一元二次方程ax²＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根，③为真命题．所以真命题有3个，故选D.

二、11.－3　

12．1<c<5　点拨：方程x²－5x＋6＝0的两根分别为2和3，即三角形的两边长是2和3，根据三角形三边关系可得，第三边长c的取值范围是1<c<5.

13．－2

14．A≠4　点拨：本题运用方程思想．由题意得x²＝4x－4，解得x₁＝x₂＝2，故有两个面上的代数式的值为4，所以A不等于4.

三、15.解：(1)两边开平方，得　2x－3＝±3(2x＋3)，

∴2x－3＝3(2x＋3)或2x－3＝－3(2x＋3)．

∴x₁＝－3，x₂＝－.

(2)3x(x－2)＝2(2－x)，(3x＋2)(x－2)＝0，

∴3x＋2＝0或x－2＝0，∴x₁＝－，x₂＝2.

16．解：两道题均不正确．改正如下：

(1)由＝6，得x²＋3x－4＝0，

由求根公式，得x＝＝，[来源:Z,xx,k.Com]

即x₁＝1，x₂＝－4.

(2)由2x²＋4x－5＝0，得2x²＋4x＝5，

x²＋2x＝，x²＋2x＋1＝＋1，

²＝，x＋1＝±，

故x₁＝－1＋，x₂＝－1－.

17．解：由根与系数的关系得x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝－1.

(1)x₁²＋x₂²＝(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝－2×(－1)＝.

(2)＋＝＝＝.

18．解：(1)∵关于x的一元二次方程x²－2x－m＝0有实数根，

∴²－4×1×≥0，

即4＋4m≥0，∴m≥－1.

(2)将x＝a，x＝b分别代入一元二次方程x²－2x－m＝0，

可得a²－2a－m＝0，b²－2b－m＝0，

整理得a²－2a＝m，b²－2b＝m，

代入＝，

得＝，

化 简得2m²＋3m－5＝0.　解得m＝1或m＝－.

∵m≥－1，∴m＝－舍去．　∴m＝1.

19．解：(1)设平均每年下调的百分率为x，根据题意，得：

6 500(1－x)²＝5 265.

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9(不合题意，舍去)．

答：平均每年下调的百分率为10%.

(2)如果下调的百分率相同，2016年的房价为：

5 265×(1－10%)＝4 738.5(元/平方米)．

则100平方米的住房的总房款为

100×4 738.5＝473 850(元)＝47.385(万元)．

∵20＋30＞47.385，∴ 张 强的愿望能实现．

20．解：(1)在直角坐标系中描点连线略．猜测y与x是一次函数关系．设y与x之间的函数表达式是y＝kx＋b(k ≠ 0)．

根据题意，得解得

所以y＝－2x＋126，将其余各对数据代入验证可知符合．

所以，所求的函数表达式是y＝－2x＋126.

(2)设这一天每千克的售价为a元.

根据题意，得(a－20)(－2a＋126)＝780.

整理，得a² －83a＋1650＝0. 解得a₁＝33，a₂＝50.

答：这一天每千克的售价应为33元或50元．

21．(1)证明：因为Δ＝²－4m＝m²＋4m＋4＝²>0，所以方程有两个不相等的实数根．

解mx²－x＋2m＋2＝0，得x＝1或x＝2＋，

所以方程有两个不相等的实数根且其中一个根为定值．

(2)解：由(1)知，方程的两个根为1，2＋.[来源:Z*xx*k.Com]

因为方程的两个实数根分别为x₁，x₂(其中x₁<x₂)，m>0，

所以x₁＝1，x₂＝2＋.

所以y＝7x₁－mx₂＝7×1－m ＝－2m＋5.

y≤3m，即－2m＋5≤3m，解得m≥1.

所以当m≥1时，y≤3m.