类比归纳专题：一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法
类型一 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程可用直接开平方法
方程(x－3)2＝8的根为（ ）
A．x＝3＋2
B．x1＝3＋2，x2＝3－2
C．x＝3－2
D．x1＝3＋2，x2＝3－2
方程－＝0的解是 （ ）
3．定义一种运算“*”：当a≥b时，a*b＝a2＋b2；当a＜b时，a*b＝a2－b2.则方程x*2＝12的解是___________.
4．解下列一元二次方程：
(1)(x＋)(x－)＝2；
(2)4(2x＋1)2－1＝24.
类型二 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法
5．(2017·合肥瑶海区期中)将方程x2＋8x＋9＝0左边配成完全平方式后，方程变为( )
A．(x＋4)2＝7 B．(x＋4)2＝25
C．(x－4)2＝－9 D．(x－4)2＝－7
6．用配方法解下列方程：
(1)x2－6x＋7＝0；
(2)－x2＋2x＋3＝0.
类型三 若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，用因式分解法
7．方程2x2＝3x的解是( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝－ D．x1＝0，x2＝
8．(阜阳临泉县期中)方程(x－5)(x－6)＝x－5的解是( )
A．x＝5 B．x＝5或x＝6
C．x＝7 D．x＝5或x＝7
9．用因式分解法解下列方程：
(1)3x2＋6x＝0；
(2)4x2－121＝0；
(3)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(4)(x－4)2＝(5－2x)2；
(5)2(x－3)2＝x2－9.
类型四 除了适合用直接开平方法和因式分解法外的方程均可用公式法求解
10．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－2＝0；
(2)x2－x＋＝0；
(3)3x2＋5x＝－4.
*类型五 一元二次方程的特殊解法
一、十字相乘法
方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.
第1种拆法：4x－x＝3x(正确)，
第2种拆法：2x－2x＝0(错误)，
所以x2＋3x－4＝(x＋4)(x－1)＝0，所以x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.
11．解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程___________.
12．用十字相乘法解下列一元二次方程：
(1)x2－5x－6＝0；
(2)x2＋9x－36＝0.
二、换元法
方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元．一些形式复杂的方程可通过换元的方法转化成一元二次方程求解．
13．若实数a，b满足(4a＋4b)·(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝__________．
14．解方程：(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7.
参考答案与解析
1．B 2.x1＝3，x2＝2 3.x1＝2，x2＝－4
4．解：(1)原方程可化为x2－3＝2，∴x2＝5，∴x1＝，x2＝－.
(2)移项得4(2x＋1)2＝25，∴(2x＋1)2＝，∴2x＋1＝±，∴x1＝，x2＝－.
5．A
6．解：(1)移项得x2－6x＝－7，配方得x2－6x＋9＝－7＋9，即(x－3)2＝2，开平方得x－3＝±，∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)移项得x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4，开平方得x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1.
7．D 8.D
9．解：(1)原方程可变形为3x(x＋2)＝0，∴x＝0或x＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2.
(2)原方程可变形为(2x＋11)(2x－11)＝0，∴2x＋11＝0或2x－11＝0，∴x1＝－，x2＝.
(3)原方程可变形为(2x＋1)(3x－2)＝0，∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝－，x2＝.
(4)原方程可变形为(x－4＋5－2x)(x－4－5＋2x)＝0，∴(1－x)(3x－9)＝0，∴1－x＝0或3x－9＝0，∴x1＝1，x2＝3.
(5)原方程可变形为(x－3)(2x－6－x－3)＝0，∴x－3＝0或x－9＝0，∴x1＝3，x2＝9.
10．解：(1)∵a＝1，b＝1，c＝－2，∴b2－4ac＝1－4×1×(－2)＝9>0，∴x＝＝，∴x1＝1，x2＝－2.
(2)原方程可化为8x2－4x＋1＝0，则a＝8，b＝－4，c＝1，∴b2－4ac＝(－4)2－4×8×1＝0，∴x＝＝，∴x1＝x2＝.
(3)原方程可化为3x2＋5x＋4＝0，则a＝3，b＝5，c＝4，∴b2－4ac＝52－4×3×4＝－23＜0，∴原方程无实数解．
11．x－1＝0(或x＋3＝0)
12．解：(1)原方程可变形为(x＋1)(x－6)＝0，解得x1＝－1，x2＝6.
(2)原方程可变形为(x＋12)(x－3)＝0，解得x1＝－12，x2＝3.
13．－或1
14．解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程可化为t(t＋6)＝7，∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，∴x2＋5x＝0，∴x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，∴x2＋5x＋8＝0.∵b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程无解．∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.