类比归纳专题:一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法
类型一 形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法
方程(x-3)2=8的根为( )
A.x=3+2
B.x1=3+2,x2=3-2
C.x=3-2
D.x1=3+2,x2=3-2
方程-=0的解是 ( )
3.定义一种运算“*”:当a≥b时,a*b=a2+b2;当a<b时,a*b=a2-b2.则方程x*2=12的解是___________.
4.解下列一元二次方程:
(1)(x+)(x-)=2;
(2)4(2x+1)2-1=24.
类型二 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法
5.(2017·合肥瑶海区期中)将方程x2+8x+9=0左边配成完全平方式后,方程变为( )
A.(x+4)2=7 B.(x+4)2=25
C.(x-4)2=-9 D.(x-4)2=-7
6.用配方法解下列方程:
(1)x2-6x+7=0;
(2)-x2+2x+3=0.
类型三 若方程移项后一边为0,另一边能分解成两个一次因式的积,用因式分解法
7.方程2x2=3x的解是( )
A.x=0 B.x=
C.x=- D.x1=0,x2=
8.(阜阳临泉县期中)方程(x-5)(x-6)=x-5的解是( )
A.x=5 B.x=5或x=6
C.x=7 D.x=5或x=7
9.用因式分解法解下列方程:
(1)3x2+6x=0;
(2)4x2-121=0;
(3)3x(2x+1)=4x+2;
(4)(x-4)2=(5-2x)2;
(5)2(x-3)2=x2-9.
类型四 除了适合用直接开平方法和因式分解法外的方程均可用公式法求解
10.用公式法解下列方程:
(1)x2+x-2=0;
(2)x2-x+=0;
(3)3x2+5x=-4.
*类型五 一元二次方程的特殊解法
一、十字相乘法
方法点拨:例如:解方程:x2+3x-4=0.
第1种拆法:4x-x=3x(正确),
第2种拆法:2x-2x=0(错误),
所以x2+3x-4=(x+4)(x-1)=0,所以x+4=0或x-1=0,所以x1=-4,x2=1.
11.解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程___________.
12.用十字相乘法解下列一元二次方程:
(1)x2-5x-6=0;
(2)x2+9x-36=0.
二、换元法
方法点拨:在已知或者未知条件中,某个代数式几次出现,可用一个字母来代替它从而简化问题,这就是换元法,当然有时候要通过变形才能换元.一些形式复杂的方程可通过换元的方法转化成一元二次方程求解.
13.若实数a,b满足(4a+4b)·(4a+4b-2)-8=0,则a+b=__________.
14.解方程:(x2+5x+1)(x2+5x+7)=7.
参考答案与解析
1.B 2.x1=3,x2=2 3.x1=2,x2=-4
4.解:(1)原方程可化为x2-3=2,∴x2=5,∴x1=,x2=-.
(2)移项得4(2x+1)2=25,∴(2x+1)2=,∴2x+1=±,∴x1=,x2=-.
5.A
6.解:(1)移项得x2-6x=-7,配方得x2-6x+9=-7+9,即(x-3)2=2,开平方得x-3=±,∴x1=3+,x2=3-.
(2)移项得x2-2x=3,配方得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4,开平方得x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.
7.D 8.D
9.解:(1)原方程可变形为3x(x+2)=0,∴x=0或x+2=0,∴x1=0,x2=-2.
(2)原方程可变形为(2x+11)(2x-11)=0,∴2x+11=0或2x-11=0,∴x1=-,x2=.
(3)原方程可变形为(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0,∴x1=-,x2=.
(4)原方程可变形为(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0,∴(1-x)(3x-9)=0,∴1-x=0或3x-9=0,∴x1=1,x2=3.
(5)原方程可变形为(x-3)(2x-6-x-3)=0,∴x-3=0或x-9=0,∴x1=3,x2=9.
10.解:(1)∵a=1,b=1,c=-2,∴b2-4ac=1-4×1×(-2)=9>0,∴x==,∴x1=1,x2=-2.
(2)原方程可化为8x2-4x+1=0,则a=8,b=-4,c=1,∴b2-4ac=(-4)2-4×8×1=0,∴x==,∴x1=x2=.
(3)原方程可化为3x2+5x+4=0,则a=3,b=5,c=4,∴b2-4ac=52-4×3×4=-23<0,∴原方程无实数解.
11.x-1=0(或x+3=0)
12.解:(1)原方程可变形为(x+1)(x-6)=0,解得x1=-1,x2=6.
(2)原方程可变形为(x+12)(x-3)=0,解得x1=-12,x2=3.
13.-或1
14.解:设x2+5x+1=t,则原方程可化为t(t+6)=7,∴t2+6t-7=0,解得t=1或-7.当t=1时,x2+5x+1=1,∴x2+5x=0,∴x(x+5)=0,∴x=0或x+5=0,∴x1=0,x2=-5;当t=-7时,x2+5x+1=-7,∴x2+5x+8=0.∵b2-4ac=52-4×1×8<0,此时方程无解.∴原方程的解为x1=0,x2=-5.