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【330815】类比归纳专题:一元二次方程的解法

时间:2025-02-11 18:48:19 作者: 字数:5063字

类比归纳专题:一元二次方程的解法

——学会选择最优的解法

类型一 形如(xm)2n(n0)的方程可用直接开平方法

  1. 方程(x3)28的根为(

Ax32

Bx132x232

Cx32

Dx132x232

  1. 方程-=0的解是  ( )  

3.定义一种运算“*”:当ab时,a*ba2b2;当ab时,a*ba2b2.则方程x*212的解是___________.

4.解下列一元二次方程:

(1)(x)(x)2






(2)4(2x1)2124.








类型二 当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法

5(2017·合肥瑶海区期中)将方程x28x90左边配成完全平方式后,方程变为(  )

A(x4)27 B(x4)225

C(x4)2=-9 D(x4)2=-7

6.用配方法解下列方程:

(1)x26x70








(2)x22x30.







类型三 若方程移项后一边为0,另一边能分解成两个一次因式的积,用因式分解法

7.方程2x23x的解是(  )

Ax0 Bx

Cx=- Dx10x2

8(阜阳临泉县期中)方程(x5)(x6)x5的解是(  )

Ax5 Bx5x6

Cx7 Dx5x7

9.用因式分解法解下列方程:

(1)3x26x0







(2)4x21210







(3)3x(2x1)4x2






(4)(x4)2(52x)2






(5)2(x3)2x29.







类型四 除了适合用直接开平方法和因式分解法外的方程均可用公式法求解

10.用公式法解下列方程:

(1)x2x20






(2)x2x+=0






(3)3x25x=-4.









*类型五 一元二次方程的特殊解法

一、十字相乘法

方法点拨:例如:解方程:x23x40.

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1种拆法:4xx3x(正确)

2种拆法:2x2x0(错误)

所以x23x4(x4)(x1)0,所以x40x10,所以x1=-4x21.

11.解一元二次方程x22x30时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程___________.

12.用十字相乘法解下列一元二次方程:

(1)x25x60





(2)x29x360.





二、换元法

方法点拨:在已知或者未知条件中,某个代数式几次出现,可用一个字母来代替它从而简化问题,这就是换元法,当然有时候要通过变形才能换元.一些形式复杂的方程可通过换元的方法转化成一元二次方程求解.

13.若实数ab满足(4a4b)·(4a4b2)80,则ab__________

14.解方程:(x25x1)(x25x7)7.



























参考答案与解析

1B 2.x13x22 3.x12x2=-4

4.解:(1)原方程可化为x232,∴x25,∴x1=,x2=-.

(2)移项得4(2x1)225,∴(2x1)2=,∴2x1±,∴x1=,x2=-.

5A

6.解:(1)移项得x26x=-7,配方得x26x9=-79,即(x3)22,开平方得x3±,∴x13+,x23.

(2)移项得x22x3,配方得x22x131,即(x1)24,开平方得x1±2,∴x13x2=-1.

7D 8.D

9.解:(1)原方程可变形为3x(x2)0,∴x0x20,∴x10x2=-2.

(2)原方程可变形为(2x11)(2x11)0,∴2x1102x110,∴x1=-,x2.

(3)原方程可变形为(2x1)(3x2)0,∴2x103x20,∴x1=-,x2.

(4)原方程可变形为(x452x)(x452x)0,∴(1x)(3x9)0,∴1x03x90,∴x11x23.

(5)原方程可变形为(x3)(2x6x3)0,∴x30x90,∴x13x29.

10.解:(1)a1b1c=-2,∴b24ac14×1×(2)9>0,∴x==,∴x11x2=-2.

(2)原方程可化为8x24x10,则a8b=-4c1,∴b24ac(4)24×8×10,∴x==,∴x1x2.

(3)原方程可化为3x25x40,则a3b5c4,∴b24ac524×3×4=-230,∴原方程无实数解.

11x10(x30)

12.解:(1)原方程可变形为(x1)(x6)0,解得x1=-1x26.

(2)原方程可变形为(x12)(x3)0,解得x1=-12x23.

13.-或1

14.解:设x25x1t,则原方程可化为t(t6)7,∴t26t70,解得t1或-7.t1时,x25x11,∴x25x0,∴x(x5)0,∴x0x50,∴x10x2=-5;当t=-7时,x25x1=-7,∴x25x80.b24ac524×1×80,此时方程无解.∴原方程的解为x10x2=-5.