课题:两个直角三角形全等的判定
【学习目标】
1.学会判定直角三角形全等的特殊方法,提升合情推理能力;
2.用“HL”解决实际问题;熟练掌握两个三角形全等的判定方法.
【学习重点】
掌握判定直角三角形全等的特殊方法.
【学习难点】
应用“HL”解决直角三角形全等的问题;三角形全等判定方法的运用.
【教学过程】
行为提示:
创设情境,引导学生探究新知.
行为提示:
教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案.
教会学生落实重点.
方法指导:
注意引导学生辨别“HL”,不要与SAS相混淆.情景导入 生成问题
旧知回顾:
我们学过的证明一般三角形全等的方法有哪几种?
答:共四种:SAS、ASA、SSS、AAS.
已知如图所示,BC=EF,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,AB=DE.求证:AC=DF.
证明:在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴AC=DF.
将上题中AB=DE改成AC=DF,这两个三角形全等吗?
自学互研
阅读教材P108的内容,回答下列问题:
范例1:用“HL”判定两个直角三角形全等的内容是什么?如何作图证明?
答:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简记为(斜边、直角边)或“HL”.
已知在Rt△ABC,∠C为直角,求作:Rt△A1B1C1,使∠C1为直角,A1C1=AC,
A1B1=AB.
作法:①作∠MC1N=∠C=90°;
②在C1M上截取C1A1=CA;
③以A1为圆心,AB长为半径画弧,交C1N于点B1;
④连接A1B1.
则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形.
范例2:如图,已知AC=BD,∠A=∠D=90°,欲证明△ABE≌△DCE,可以先利用“HL”说明△ABC≌△DCB,得到AB=CD,再利用“AAS”证明△ABE≌△DCE.
范例3:
如图,BA∥DC,∠A=90°,AB=CE,BC=ED,则△CED≌△ABC,AC=CD,
∠B=∠DEC.
范例4:如图,AD=BC,AE=CF,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F.求证:BE=DF.
证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°.
在Rt△AED和Rt△CFB中,
∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL),∴DE=BF,
∴DE+EF=BF+EF,即DF=BE.
行为提示:
找出自己不明白的问题,先对学,再群学.充分在小组内展示自己,对照答案,提出疑惑,小组内讨论解决.小组解决不了的问题,写在各小组展示的黑板上,在小组展示的时候解决.
积极发表自己的不同看法和解法,大胆质疑,认真倾听.做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.
典例:
如图,AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E、F,那么CE=DF吗?
解:CE=DF.∵AC⊥BC,AD⊥BD,∴∠ACB=∠BDA=90°,在Rt△ABC和Rt△BAD中,,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴∠CAE=∠DBF,AC=BD.∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠AEC=∠BFD=90°,在△AEC和△BFD中,,∴△AEC≌△BFD(AAS),
∴CE=DF.
仿例1:
如图,点D、A、E在直线MN上,AB=AC,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E,且BD=AE.求证:DE=BD+EC.
证明:∵BD⊥MN,CE⊥MN,∴∠ADB=∠AEC=90°
在Rt△ABD和Rt△CAE中,,∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL),∴AD=CE,BD=AE,∴DE=EA+AD=BD+EC.
仿例2:如图①,点A、E、F、C在一条直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD.
(1)求证:BD平分EF.
(2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图②所示时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.
证明:(1)∵BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠AFB=∠DEC=90°,∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即
AF=CE,在Rt△ABF和Rt△CDE中,,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴BF=DE.
在△BFG和△DEG中,∴△BFG≌△DEG(AAS),∴FG=EG,∴BD平分EF.
(2)仍然成立.
理由:∵AE=CF,∴AE-EF=CF-EF,即AF=CE,由HL知Rt△AFB≌Rt△CED,∴BF=DE,由于∠BFG=∠DEG=90°,∠BGF=∠DGE,∴△BFG≌△DEG(AAS),∴FG=EG,∴BD平分EF.
交流展示
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 直角三角形全等的判定
知识模块二 HL的判定与三角形全等的判定的综合运用
检测反馈
【当堂检测】
【课后检测】
课后反思
1.收获:________________________________________________________________________
2.存在困惑:________________________________________________________________________