课题:角平分线的性质与判定
【学习目标】
1.探索角平分线的性质定理和它的逆定理;
2.通过探索角平分线定理和逆定理的过程,体会这两个定理的作用,增强几何空间意识.
【学习重点】
掌握角平分线的性质定理和逆定理.
【学习难点】
运用角平分线定理简化证明线段相等.
【教学过程】
行为提示:
点燃激情,引发学生思考本节课学什么.
说明:
通过严谨证明得到角平分线的性质.
行为提示:
教会学生看书,自学时对于书中的问题一定要认真探究,书写答案.
教会学生落实重点.
方法指导:
典例与仿例1、仿例3中均需作出角平分线上的点到另一边的垂线段,利用角的平分线的性质求解.
情景导入
问题导入:
如图,OP是∠AOB的平分线,P是OP上的任一点,过点P分别作PC⊥OA,PD⊥OB,C、D为垂足,根据你学过的知识,从图中你能得到哪些结论?写出这个问题的已知、求证,并给出证明.
答:已知:如图所示,OP平分∠BOA,PD⊥OB,垂足为D,PC⊥OA,垂足为C.求证:PD=PC.
证明:∵OP平分∠AOB(已知).∴∠AOP=∠BOP(角平分线定义)
又∵PC⊥OA,PD⊥OB(已知),∴∠PCO=∠PDO=90°(垂直的定义)
在△PCO和△PDO中,∵
∴△PCO≌△PDO(AAS),∴PC=PD.
自学互研
阅读教材P143~P144的内容,回答下列问题:
从问题导入的证明中,你发现角平分线上的点有什么规律?
答:角平分线上的点到角两边的距离相等,这就是角平分线的性质.
典例:如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,PC=4,则PD=( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
仿例:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=∠BAD=30°,DE⊥AB,若CD=2,则DE=2.
阅读教材P144~P145的内容,回答下列问题:
角平分线的性质定理的逆定理是什么?
答:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
典例:到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( D )
A.三条中线的交点 B.三条高的交点
C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
知识连接:注意仿例2中线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等这一性质的应用.
行为提示:
找出自己不明白的问题,先对学,再群学.充分在小组内展示自己,对照答案,提出疑惑,小组内讨论解决.小组解决不了的问题,写在各小组展示的黑板上,在小组展示的时候解决.
积极发表自己的不同看法和解法,大胆质疑,认真倾听.做每一步运算时都要自觉地注意有理有据.
仿例:如图所示,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:AD平分∠BAC.
证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°.
又∵∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE(AAS),
∴DF=DE,∴点D在∠BAC平分线上,AD平分∠BAC.
交流展示
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
知识模块一 角平分线的性质
知识模块二 角平分线的判定
检测反馈
【当堂检测】
【课后检测】
课后反思
1.收获:________________________________________________________________________
2.存在困惑:________________________________________________________________________