第十八章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，▱ABCD中，AC＝3 cm，BD＝5 cm，则边AD的长可以是( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
2．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD＝DB，AE＝EC.若DE＝4，则BC的长为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE＝3 cm，AB＝4 cm，则▱ABCD的周长是( )
A．20 cm B．21 cm C．22 cm D．23 cm
4．下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，若图中阴影部分的面积为6，则矩形ABCD的面积为( )
A．12 B．18 C．24 D．30
7．平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC＝BD，②∠ABC＝90°，③AB＝AC，④AB＝BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形？( )
A．①② B．①③ C．①④ D．④⑤
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为( )
A．1 B. C．4－2 D．3 －4
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为( )
A．1 B. C．2 D.＋1
10．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．若第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，在▱OABC中，点O为坐标原点，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(4，2)，则点C的坐标为__________．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________．
13．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED等于________．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC:∠EDA＝1:2，且AC＝10，则EC的长度是________．
15．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝30 cm，△OAB的周长为23 cm，则EF的长为__________．
16．如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点(不与端点重合)，若AB＝AE，且AE平分∠DAB，则有下列结论：①∠B＝60°；②AC＝BC；③∠AED＝∠ACD；④△ABC≌△EAD.其中正确的是__________(在横线上填所有正确结论的序号)．
17．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上的点C′处，得到经过点D的折痕DE.则∠DEC的大小为________．
18．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2 020 s时，点P的坐标为__________．
19．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．
20．正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点，若△PBE是等腰三角形，则腰长为____________________．
三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)
21．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交CD，AB于点E，F.求证AE＝CF.
22．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．
(1)求证△ADE≌△ABF；
(2)求△AEF的面积．
23．如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交AB于点G，交CB的延长线于点F，连接AF，BE.
(1)求证△AGE≌△BGF；
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AD，AC，BC于点E，O，F，连接CE和AF.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4, BC＝8，求菱形AECF的周长．
25．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形．
(2)①当四边形CEDF是矩形时，求AE的长；
②当四边形CEDF是菱形时，求AE的长．
26．如图，在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.
(1)依题意补全图①；
(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间
的数量关系，并证明．
答案
一、1.A 2.D 3.C 4.C
5．D 点拨：运用三角形的中位线定理和矩形的性质解答．
6．C 点拨：根据题意易知△COF的面积与△AOE的面积相等，阴影部分的面积为矩形面积的四分之一．
7．C
8．C 点拨：由题易得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数．根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，进而在等腰直角三角形中利用勾股定理求出EF的长．
9．B
10．B 点拨：第一个矩形的面积为1，易知第二个矩形的面积为，第三个矩形的面积是……故第n个矩形的面积为.
二、11.(1，2) 12.30 13.65° 14.2.5
15．4 cm
16．①③④ 点拨：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC.∴∠DAE＝∠AEB.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.
又AB＝AE，∴AB＝AE＝BE.
∴△ABE为等边三角形．
∴∠B＝∠BAE＝60°.
∴∠B＝∠DAE.
∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝60°＋∠EAC＞∠B，
∴BC＞AC.
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC≌△EAD(SAS)．
∴∠BAC＝∠AED.
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD.
∴∠AED＝∠ACD.
故正确的是①③④.
17．75° 点拨：如图，连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形．由P为AB的中点，利用等腰三角形三线合一的性质得到∠ADP＝30°.由题意易得∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠DEC＝75°.
18．(0，)
19．16 点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4.∴CF＝BF－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝42＝16，∴x2＋(y－4)2＝16.
20．2或或
三、21.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠BAD＝∠BCD.
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠BCD.
∴∠DAE＝∠BCF.
在△DAE和△BCF中，
∴△DAE≌△BCF(ASA)．
∴AE＝CF.
22．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC＝CB，∠D＝∠B＝90°.
∵E，F分别为DC，BC的中点，
∴DE＝DC，BF＝BC.
∴DE＝BF.
在△ADE和△ABF中，
∴△ADE≌△ABF(SAS)．
(2)解：由题易知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝CE＝CF＝×4＝2，
∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.
23．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠AEG＝∠BFG.
∵EF垂直平分AB，
∴EF⊥AB，AG＝BG.
在△AGE和△BGF中，
∴△AGE≌△BGF(AAS)．
(2)解：四边形AFBE是菱形．理由如下：
∵△AGE≌△BGF，
∴AE＝BF.
∵AD∥BC，
∴四边形AFBE是平行四边形．
又∵EF⊥AB，
∴四边形AFBE是菱形．
24．(1)证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA)．
∴OE＝OF.
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
(2)解：设AF＝x.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF＝CF＝x，∴BF＝8－x.
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB2＋BF2＝AF2，
即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.
∴AF＝5.
∴菱形AECF的周长为20.
25．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED.
∴∠FCG＝∠EDG.
∵G是CD的中点，
∴CG＝DG.
在△FCG和△EDG中，
∴△FCG≌△EDG(ASA)．
∴FG＝EG.
∵CG＝DG，
∴四边形CEDF是平行四边形．
(2)解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDA＝∠B＝60°，
DC＝AB＝3 cm，BC＝AD＝5 cm.
∵四边形CEDF是矩形，
∴∠CED＝90°.
在Rt△CED中，易得ED＝CD＝1.5 cm，
∴AE＝AD－ED＝3.5(cm)．
故当四边形CEDF是矩形时，
AE＝3.5 cm.
②若四边形CEDF是菱形，
则CE＝ED.
由①可知∠CDA＝60°，
∴△CED是等边三角形．
∴DE＝CD＝3 cm.
∴AE＝AD－DE＝5－3＝2(cm)．
故当四边形CEDF是菱形时，AE＝2 cm.
点拨：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，有时还需添加适当的辅助线构造全等三角形．同时全等三角形也为平行四边形、矩形、菱形的判定构筑了重要的平台和保障．
26．解：(1)如图①所示．
(2)如图②，连接AE.
∵点E是点B关于直线AP的对称点，
∴∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝AB＝AD，∠BAD＝90°.
∴∠AED＝∠ADE，∠EAD＝∠DAB＋∠BAP＋∠PAE＝130°.
∴∠ADF＝＝25°.
(3)EF2＋FD2＝2AB2.
证明：如图③，连接AE，BF，BD，由轴对称和正方形的性质可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，易得∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，又∵∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠FBD＋∠ADB＝90°.
∴∠ADF＋∠ADB＋∠FBD＝90°.
∴∠BFD＝90°.
在Rt△BFD中，由勾股定理得BF2＋FD2＝BD2；
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝2AB2，
∴EF2＋FD2＝2AB2.