第二十二章 四边形
(100分，90分钟)
题 号 |
一 |
二 |
三 |
总 分 |
得 分 |
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一、选择题(每题2分，共32分)
1．在▱ABCD中，下列结论一定正确的是( )
A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180° C．AB＝AD D．∠A≠∠C
2．顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是( )
A．平行四边形 B．长方形 C．任意四边形 D．正方形
3．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．∠A＝∠B
4．▱ABCD的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数的比可能是( )
A．2323 B．3443 C．4432 D．2356
5．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是( )
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
6. 如图，在▱ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝ 8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于( )
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
7. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )
A．16 B．16 C．8 D．8
8．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE折叠，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为( )
A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm
(第6题)
(第8题)
(第9题)
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是BC的中点，AD＝6 cm，则OE的长为( )
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
10．如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE＝4，AB＝5，BC＝9，则四边形ABFE的周长是( )
A．13 B．16 C．22 D．18
11．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC⊥BD，分别过点A、B、C、D作对角线的平行线EF、FG、GH、EH，则四边形EFGH是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
(第10题)
(第11题)
(第12题)
12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是( )
A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
13．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP＋FP的长最短为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(第13题)
(第14题)
(第16题)
14．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为( )
A. B. C．2 D．4
15．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b(b＞a)的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸片进行无空隙、无重叠拼接)，则拼成的正方形的边长最大可以为( )
A．a＋b B．2a＋b C．3a＋b D．a＋2b
16．如图，正方形ABCD中
，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE＋DF＝EF，⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(每题3分，共12分)
17．边数为2 017的多边形的外角和为__________．
18．已知菱形的两条对角线长为12 cm和6 cm，那么这个菱形的面积为________cm2.
(第19题)
19．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点且BE＝1，P为对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是________．
20．矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为________．
三、解答题(21题8分，25题15分，其余每题11分，共56分)
21．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
(第21题)
22．如图，▱ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．
(第22题)
23. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将 △ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．
(第23题)
24．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别为BE，BC，CE的中点．
(1)试说明四边形EGFH是平行四边形；
(2)在(1)的条件下，若EF⊥BC，且EF＝BC，试说明平行四边形EGFH是正方形．
(第24题)
25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，现按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，
a为半径(a＞AC)作弧，两弧分别交于M，N两点；
②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E；
③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的对应点为点F.
(1)请在图中直接标出点F并连接CF；
(2)求证：四边形BCFD是平行四边形；
(3)当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形？
(第25题)
参考答案：
一、1.B 2.A 3.C
4．A 点拨：平行四边形的对角相等．
5．C 点拨：首先求得一个外角的度数，然后用360°除以一个外角的度数即可得到答案．
6．C 7.C
8．C 点拨：根据折叠的特点可得∠AB1E＝∠B＝90°，AB1＝AB，易知∠BAB1＝90°，然后得出四边形ABEB1是正方形．再根据正方形的性质可得BE＝AB，最后根据CE＝BC－BE，代入数据进行计算即可得解．
9．C 10.C
11．A 点拨：∵EF∥BD，GH∥BD，
∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH＝FG，EF＝HG.易证四边形EACH和四边形EFBD是平行四边形，∴EH＝AC，EF＝BD.∵AC＝BD，∴EH＝AC＝F
G＝EF＝BD＝HG，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，AC∥EH，EF∥BD，∴EH⊥EF，∴∠E＝90°，∴四边形EFGH是正方形．
12．C 点拨：首先利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，所以∠AFO＝∠CEO，又∠AOF＝∠COE，所以△AFO≌△CEO，所以FO＝EO.最后利用平行四边形和菱形的判定定理得出结论．
13．B 点拨：∵四边形ABCD为菱形，
(第13题)
∴AD＝16÷4＝
4.
如图，在DC上截取DG＝FD＝AD－AF＝4－3＝1，连接EG，则EG与BD的交点就是点P.
∵AE＝DG，且AE∥DG，
∴四边形
ADGE是平行四边形，
∴EG＝AD＝4.
故选B.
14．C
15．D 点拨：3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为a，b的矩形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2.
∵a2＋4ab＋4b2＝(a＋2b)2，∴拼成的正方形的边长最大可以为a＋2b.
16．C 点拨：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.
∴∠BAE＋∠DAF＝
30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE＝DF(故①正确)．
易知∠BAE＝∠DAF.
∴∠DAF＋∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°(故②正确)．
∵BC＝CD，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，
又∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF(故③正确)．
设EC＝x，由勾股定理，得EF＝AE＝x，∴EG＝CG＝x，∴AG＝x，
∴AC＝，
∴AB＝BC＝，
∴BE＝－x＝，
∴BE＋DF＝x－x≠x(故④错误)．
∵S△CEF＝，
S△ABE＝＝，
∴2S△ABE＝＝S△CEF
(故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．
二、17.360°
18．36 点拨：菱形的面积为×12×6＝36(cm2)．
19．6
20．3或6 点拨：①∠EFC＝90°时，如图①，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE＝x，表示出CE，根据翻折变换的性质可得AF＝AB，EF＝BE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；②∠CEF＝90°时，如图②，判断出四边形ABEF是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE＝AB.
(第20题)
三、21.(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC.
∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°，
∴∠CEA＝∠ADB.
又AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
(2)解：AB∥DE且AB＝DE.
证明如下：由(1)中△ABD≌△CAE可得AE＝BD，
又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB∥DE且AB＝DE.
22．(1)证明：如图，连接BD，设BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
由BE∥DF，得∠BEO＝∠DFO.而∠EOB＝∠FOD，
∴△BEO≌△DFO.
∴BE＝DF.又∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)解：∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，∴AC＝6，AO＝3.
∴在Rt△BAO中，
BO＝＝＝5.
又∵四边形BEDF是矩形，
∴OE＝OB＝5.
∴点E在OA的延长线上，且AE＝2.
(第22题)
23．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.
由折叠的性质可知，AD＝AF，
∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°，AB＝AF.
又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．
(2)解：∵△ABG≌△AFG，
∴BG＝FG.
设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，
∴CE＝EF＝DE＝3，
∴EG＝x＋3.
在Rt△CEG中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x＋
3)2，解得x＝2，
∴BG＝2.
24．解：(1)在△BEC中，
∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC(即GF∥EH
)且GF＝EC.
∵H为EC的中点，∴EH＝EC，
∴GF＝EH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)连接GH.∵G，H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC且GH＝BC，又∵EF⊥BC且EF＝BC，∴EF⊥GH且EF＝GH.∴平行
四边形EGFH是正方形．
25．(1)解：如图所示．
(2)证明：连接AF，DC.
∵△CFE是由△ADE顺时针旋转180°后得到的，A与C是对应点，D与F是对应点，
∴AE＝CE，DE＝FE.
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴AD∥CF.
由作图可知MN垂直平分AC，
又∵∠ACB＝90°，
∴MN∥BC.
∴四边形BCFD是平行四边形．
(第25题)
(3)解：当∠B＝60°时，四边形BCFD是菱形．理由如下：
∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝30°.∴BC＝AB.
又易知BD＝AB，
∴BD＝BC.
∵四边形BCFD是平行四边形，
∴四边形BCFD是菱形．