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【330549】第15章

时间:2025-02-09 11:38:13 作者: 字数:8276字

15 轴对称图形与等腰三角形

一、选择题

1.下列图案中,是轴对称图形的是(  )

  1. 如图,P是∠AOB内一点,分别作点P关于直线OAOB的对称点P1P2,连接OPOP1OP2,则下列结论正确的是(  )

AOP1OP2

BOP1OP2

COP1OP2OP1OP2

DOP1OP2

3.将一张正方形纸片按如图①,图②所示的方向对折,然后沿图③中的虚线剪裁得到图④,将图④的纸片展开铺平,得到的图案是(  )

    


4.如图,在等腰三角形ABO中,∠ABO90°,腰长为3,则A点关于y轴的对称点的坐标为(  )

A(33) B(3,-3) C(33) D(3,-3)

  

5.(如图,在△ABC中,ABADDC,∠B70°,则∠C的度数为(  )

A35° B40° C45° D50°

6.已知等腰三角形的两边长分别为56,则这个等腰三角形的周长为(  )

A11 B16 C17 D1617

7.如图,在△ABC中,∠ACB90°BE平分∠ABCEDABD.如果∠A30°AE6 cm,那么CE等于(  )

A. cm B2 cm C3 cm D4 cm

8.如图,在等边三角形ABC中,中线ADBE交于F,则图中共有等腰三角形(  )

A3 B4 C5 D6

  1. 如图,在△ABC中,∠C90°,∠B30°,以A为圆心,小于AC的任意长为半径画弧分别交ABAC于点MN,再分别以MN为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是(  )

AD是∠BAC的平分线;②∠ADC60°;③点DAB的垂直平分线上;④SDACSABC13.

A1 B2 C3 D4

10.如图,已知∠MON30°,点A1A2A3在射线ON上,点B1B2B3在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3、△A3B3A4均为等边三角形,若OA11,则△A6B6A7的边长为(  )

A8 B16 C32 D64


二、填空题

11.如图,一个英语单词的四个字母都关于直线l对称,请在图上补全字母,并写出这个单词所指的物品是________

12.点P(12a5)关于x轴的对称点与点Q(3b)关于y轴的对称点重合,则点(ab)关于x轴的对称点的坐标为________

13.如图,已知等边三角形ABC中,点DE分别在边ABBC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在B处,DBEB分别交AC于点FG.若∠ADF80°,则∠DEG的度数为________

14.如图,两块相同的三角板完全重合在一起,∠A30°AC10,把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△ABC的位置,点CAC上,ACAB相交于点D,则CD________


三、解答题

15(1)如图,写出图中四边形的4个顶点坐标.

(2)图中4个点的纵坐标不变,将横坐标都乘-1,请在图中标出这样的4个点.

(3)顺次连接(2)中你画出的4个点所得四边形与原来的四边形有什么样的位置关系?









16.如图,AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分ADBC的延长线于点F,交AD于点E,连接AF.

求证:∠B=∠CAF.








17.如图,AC是某座大桥的一部分,DC部分因受台风侵袭已垮塌,为了修补这座大桥,需要对DC的长进行测量,测量人员在没有垮塌的桥上选取两点AD,在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BCAC),然后测得∠A30°,∠ADB120°AD60 m.求DC的长.








18.如图所示,EGAF,请你在下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个真命题.①ABAC;②DEDF;③BECF.

(1)写出一个真命题:如果EGAF________________,那么________.请证明这个命题;

(2)再写出一个真命题.(不要求证明)






19.如图,在5×5的正方形网格中,有线段AB和直线MN.

(1)MN上找一点C,使△ABC的周长最小.

(2)在网格中作出点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形,且点P要在格点上,则这样的点P有多少个?









20.如图,RtABC中,∠ACB90°ACBCD为△ABC外一点,且ADBDDEACCA的延长线于E点.求证:DEAEBC.







21.如图,在△ABC中,∠ACB90°,以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD,过点DAC的垂线,垂足为F,延长DFAB于点E,连接CE.

(1)求证:AECEBE.

(2)AB15 cmP是直线DE上的一点.则当P在何处时,PBPC最小?并求出此时PBPC的值.












22.已知△ABC为等边三角形,如图①,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BMCN,直线BNAM相交于Q点.

(1)图①中∠BQM等于多少度?

(2)MN两点分别在线段BCCA的延长线上,其他条件不变,如图②所示,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
























参考答案与试题解析

一、选择题

1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.D 9D 10.C

二、填空题

11.书,图略 12.(15) 13.70°

14. 点拨: ∵∠A30°AC10,∠ABC90°,∴∠C60°BCBCAC5.∴△BCC是等边三角形,∴CC5,∴AC5.∵∠ACB=∠CBC60°,∴CDBC.∴∠ADC

ABC90°,∴CDAC.

三、解答题

15.解:(1)O(00)A(21)B(33)C(12)

(2)图略.

(3)所得四边形与原来的四边形关于y轴对称.

16.证明:∵EF垂直平分AD,∴FAFD

∴∠FAD=∠FDA,∵AD是∠BAC的平分线,

∴∠BAD=∠CAD,又∵∠B=∠FDA-∠BAD,∠CAF=∠FAD-∠CAD,∴∠B=∠CAF.

  1. 解:在△ADB中,由已知条件知∠ABD180°120°30°30°,∴∠A=∠ABD,∴△ADB是等腰三角形,∴BDAD60 m.在RtDCB中,∠CDB180°120°60°,又∵BCAC

∴∠DBC90°60°30°,∴DCBD×6030(m)

18.解:(1)ABACDEDFBECF

证明:∵EGAF,∴∠GED=∠F,∠BGE=∠BCA

ABAC,∴∠B=∠BCA

∴∠B=∠BGE,∴BEEG.

DEDF,∠GED=∠F,∠EDG=∠FDC

∴△DEG≌△DFC,∴EGCF

BECF.

(2)如果EGAFABACBECF,那么DEDF.

点拨:(2)题答案不唯一.

19.解:(1)如图①,作B关于直线MN的对称点D,连接ADMN于点C,则此时△ABC的周长最小.

(2)如图②,当BABP时,符合条件的点有QZELFW,共6个;

ABAP时,符合条件的点有TGH,共3个.

这样的点P9个.

20.证明:连接CD.ACBCADBDCDCD.

∴△CDA≌△CDB.∴∠ACD=∠BCD.

∵∠ACB90°,∴∠ACD=∠BCD45°.

又∵DEAC

∴△CED为等腰直角三角形.∴CEDE.

又∵ACBCCEAEAC

DEAEBC.

21(1)证明:∵△ACD为等边三角形,DEAC

DE垂直平分AC,∴AECE.

∴∠AEF=∠FEC.

∵∠ACB=∠AFE90°,∴DEBC.

∴∠AEF=∠EBC,∠FEC=∠ECB.∴∠ECB=∠EBC.CEBE.AECEBE.

(2)解:连接PAPC.DE垂直平分ACPDE 上,∴PCPA.两点之间线段最短,∴当PE重合时PAPB最小,为15 cm,即PBPC最小为15 cm.

22.解:(1)∵△ABC为等边三角形,∴ABBC,∠ABM=∠BCN60°.在△ABM和△BCN中,


∴△ABM≌△BCN

∴∠BAM=∠CBN,即∠BAM=∠MBQ.

又∵∠AMC=∠MBA+∠BAM60°+∠BAM,∠AMC=∠MBQ+∠BQM,∴∠BQM60°.

(2)成立.证明如下:∵△ABC为等边三角形,

ACBA,∠ACB=∠BAC60°,∴∠ACM=∠BAN180°60°120°.又∵BMCN,∴CMAN

∴△ACM≌△BAN,∴∠M=∠N,∴∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB60°.