第15章 轴对称图形与等腰三角形
一、选择题
1．下列图案中，是轴对称图形的是( )
如图，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA，OB的对称点P1、P2，连接OP，OP1，OP2，则下列结论正确的是( )
A．OP1⊥OP2
B．OP1＝OP2
C．OP1⊥OP2且OP1＝OP2
D．OP1≠OP2
3．将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，得到的图案是( )
4．如图，在等腰三角形ABO中，∠ABO＝90°，腰长为3，则A点关于y轴的对称点的坐标为( )
A．(－3，3) B．(－3，－3) C．(3，3) D．(3，－3)
5.(如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为( )
A．35° B．40° C．45° D．50°
6．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．11 B．16 C．17 D．16或17
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于( )
A. cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
8．如图，在等边三角形ABC中，中线AD，BE交于F，则图中共有等腰三角形( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，小于AC的任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为( )
A．8 B．16 C．32 D．64
二、填空题
11．如图，一个英语单词的四个字母都关于直线l对称，请在图上补全字母，并写出这个单词所指的物品是________．
12．点P(－1－2a，5)关于x轴的对称点与点Q(3，b)关于y轴的对称点重合，则点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为________．
13．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G.若∠ADF＝80°，则∠DEG的度数为________．
14．如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝________．
三、解答题
15．(1)如图，写出图中四边形的4个顶点坐标．
(2)图中4个点的纵坐标不变，将横坐标都乘－1，请在图中标出这样的4个点．
(3)顺次连接(2)中你画出的4个点所得四边形与原来的四边形有什么样的位置关系？
16．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，交AD于点E，连接AF.
求证：∠B＝∠CAF.
17．如图，AC是某座大桥的一部分，DC部分因受台风侵袭已垮塌，为了修补这座大桥，需要对DC的长进行测量，测量人员在没有垮塌的桥上选取两点A和D，在C处对岸立着的桥墩上选取一点B(BC⊥AC)，然后测得∠A＝30°，∠ADB＝120°，AD＝60 m．求DC的长．
18．如图所示，EG∥AF，请你在下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①AB＝AC；②DE＝DF；③BE＝CF.
(1)写出一个真命题：如果EG∥AF，________，________，那么________．请证明这个命题；
(2)再写出一个真命题．(不要求证明)
19．如图，在5×5的正方形网格中，有线段AB和直线MN.
(1)在MN上找一点C，使△ABC的周长最小．
(2)在网格中作出点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，且点P要在格点上，则这样的点P有多少个？
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为△ABC外一点，且AD＝BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE＝AE＋BC.
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE.
(1)求证：AE＝CE＝BE.
(2)若AB＝15 cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB＋PC最小？并求出此时PB＋PC的值．
22．已知△ABC为等边三角形，如图①，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM相交于Q点．
(1)图①中∠BQM等于多少度？
(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图②所示，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.D 9．D 10.C
二、填空题
11.书，图略 12.(1，5) 13.70°
14. 点拨： ∵∠A＝30°，AC＝10，∠ABC＝90°，∴∠C＝60°，BC′＝BC＝AC＝5.∴△BCC′是等边三角形，∴CC′＝5，∴AC′＝5.∵∠A′C′B＝∠C′BC＝60°，∴C′D∥BC.∴∠ADC′＝
∠ABC＝90°，∴C′D＝AC′＝.
三、解答题
15.解：(1)O(0，0)、A(－2，1)、B(－3，3)、C(－1，2)．
(2)图略．
(3)所得四边形与原来的四边形关于y轴对称．
16．证明：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠FDA－∠BAD，∠CAF＝∠FAD－∠CAD，∴∠B＝∠CAF.
解：在△ADB中，由已知条件知∠ABD＝180°－120°－30°＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴△ADB是等腰三角形，∴BD＝AD＝60 m．在Rt△DCB中，∠CDB＝180°－120°＝60°，又∵BC⊥AC，
∴∠DBC＝90°－60°＝30°，∴DC＝BD＝×60＝30(m)．
18．解：(1)AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF
证明：∵EG∥AF，∴∠GED＝∠F，∠BGE＝∠BCA，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠BCA，
∴∠B＝∠BGE，∴BE＝EG.
∵DE＝DF，∠GED＝∠F，∠EDG＝∠FDC，
∴△DEG≌△DFC，∴EG＝CF，
∴BE＝CF.
(2)如果EG∥AF，AB＝AC，BE＝CF，那么DE＝DF.
点拨：(2)题答案不唯一．
19．解：(1)如图①，作B关于直线MN的对称点D，连接AD交MN于点C，则此时△ABC的周长最小．
(2)如图②，当BA＝BP时，符合条件的点有Q，Z，E，L，F，W，共6个；
当AB＝AP时，符合条件的点有T，G，H，共3个．
∴这样的点P有9个．
20．证明：连接CD.∵AC＝BC，AD＝BD，CD＝CD.
∴△CDA≌△CDB.∴∠ACD＝∠BCD.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
又∵DE⊥AC，
∴△CED为等腰直角三角形．∴CE＝DE.
又∵AC＝BC，CE＝AE＋AC，
∴DE＝AE＋BC.
21．(1)证明：∵△ACD为等边三角形，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，∴AE＝CE.
∴∠AEF＝∠FEC.
∵∠ACB＝∠AFE＝90°，∴DE∥BC.
∴∠AEF＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB.∴∠ECB＝∠EBC.∴CE＝BE.∴AE＝CE＝BE.
(2)解：连接PA，PC.∵DE垂直平分AC，P在DE 上，∴PC＝PA.∵两点之间线段最短，∴当P与E重合时PA＋PB最小，为15 cm，即PB＋PC最小为15 cm.
22．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝60°.在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM＝∠CBN，即∠BAM＝∠MBQ.
又∵∠AMC＝∠MBA＋∠BAM＝60°＋∠BAM，∠AMC＝∠MBQ＋∠BQM，∴∠BQM＝60°.
(2)成立．证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BA，∠ACB＝∠BAC＝60°，∴∠ACM＝∠BAN＝180°－60°＝120°.又∵BM＝CN，∴CM＝AN，
∴△ACM≌△BAN，∴∠M＝∠N，∴∠BQM＝∠N＋∠QAN＝∠M＋∠CAM＝∠ACB＝60°.