第14章 全等三角形
一、选择题
1．下列选项中表示两个全等的图形的是( )
A．形状相同的两个图形 B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形 D．能够完全重合的两个图形
2．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，CE＝3.5，CD＝3，则AC等于( )
A．3 B．3.5 C．6.5 D．5
3．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是120°，那么在△ABC中与这个120°的角对应相等的角是( )
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B或∠C
4．如图，已知∠ADB＝∠ADC，欲证△ABD≌△ACD，还必须从下列选项中选一个补充条件，则错误的选项是( )
A．∠BAD＝∠CAD B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AB＝AC
5．如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A，B分别与D，E对应，AB＝30 cm，DF＝25 cm，则BC的长为( )
A．45 cm B．55 cm C．30 cm D．25 cm
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为( )
A．(－，1) B．(－1，) C．(，1) D．(－，－1)
7．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD的交点为C，则图中全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
如图，是一个4×4的正方形网格，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7等于( )
A．585° B．540° C．270° D．315°
如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论中正确的是( )
①△BCD为等腰三角形；②BF＝AC；③CE＝BF；④BH＝CE.
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是__________(只填一个即可)．
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP＝________时，△ABC和△APQ全等．
如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，∠B＝50°.现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为________．
14．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是____________．
三、解答题
15．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
求证：△ADE≌△CFE.
如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.
求证：∠ADB＝∠FCE.
17．如图，点D为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，DA，DB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠ADB的平分线航行，在航行途中C点处，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等．试问：轮船航行是否偏离指定航线？请说明理由．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE＝CD，AE＝BD.
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若∠CAE＝25°，求∠BDE的度数．
如图，已知正方形ABCD，从顶点A引两条射线分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝45°.
求证：BE＋DF＝EF.
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E，G.试在图中找三对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．
21．如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.
求证：BE＝CF.
22．如图(1)，点A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过点E，F分别作ED⊥AC，FB⊥AC，AB＝CD.
(1)若BD与EF交于点G，试证明BD平分EF.
(2)若将△DEC沿AC方向移动到图(2)的位置，其余条件不变，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1.D 2.C 3.A 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C 9.A
10．C 点拨：①由∠ABC＝45°，CD⊥AB，得△BCD为等腰三角形．②利用ASA判定Rt△DFB≌
△DAC，从而得出FB＝AC.③利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出AE＝CE＝AC，又因为BF＝AC，所以CE＝AC＝BF.
二、填空题
11.OB＝OD(或AO＝CO或AB＝CD)
12．5 cm或10 cm 13.80°
14．2<AD<10 点拨：本题运用了转化思想，通过倍长中线法，把三条线段转化到同一个三角形中，然后利用三边关系求解．
延长AD到E，使DE＝AD，连接BE.
因为AD是BC边上的中线，
所以BD＝CD.
在△ADC和△EDB中，
所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以AC＝EB＝8.
在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，
所以12－8＜2AD＜12＋8.
所以2＜AD＜10.故答案为2＜AD＜10.
三、解答题
15.证明：∵AB∥FC，∴∠A＝∠FCE.在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
证明：∵BC＝DE，∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝CE.又∵∠B＝∠E，AB＝FE，∴△ABD≌
△FEC(SAS)，
∴∠ADB＝∠FCE.
17．解：轮船航行没有偏离指定航线．理由如下：
由题意知DA＝DB，AC＝BC.
在△ADC和△BDC中，
所以△ADC≌△BDC(SSS)．
所以∠ADC＝∠BDC，即DC为∠ADB的平分线．
所以轮船航行没有偏离指定航线．
18．(1)证明：∵∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，
∴∠BCD＝90°.
在Rt△ACE和Rt△BCD中，
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)．
(2)解：∵Rt△ACE≌△Rt△BCD,∴∠CAE＝∠CBD＝25°.∵CE＝CD,∠BCD＝90°,∴∠EDC＝∠DEC＝45°.∴∠BDC＝90°－∠CBD＝65°，∴∠BDE＝∠BDC－∠EDC＝65°－45°＝20°.
19．证明：延长CD到点G，使DG＝BE，连接AG.
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
所以∠ADG＝∠B.
在△ABE和△ADG中，
所以△ABE≌△ADG(SAS)．所以AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.因为∠EAF＝45°，
所以∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°.
所以∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
所以△AEF≌△AGF(SAS)．所以EF＝GF.
所以EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF，
即BE＋DF＝EF.
解：△BCF≌△CBD，△BHF≌△CHD，△BDA≌△CFA(注意答案不唯一).
选择△BCF≌△CBD进行证明，证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD，CF是△ABC的角平分线，
∴∠BCF＝∠BCD，∠CBD＝
∠ABC，∴∠BCF＝∠CBD，又∵BC＝CB，∴△BCF≌△CBD(ASA)．
21．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠DAF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵BD＝CD，∠E＝∠DFC＝90°，∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE＝CF.
22．(1)证明：因为ED⊥AC，FB⊥AC，
所以∠DEG＝∠BFE＝90°.
因为AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
所以Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
所以BF＝DE.
在△BFG和△DEG中，
所以△BFG≌△DEG(AAS)．所以FG＝EG，
即BD平分EF.
(2)解：BD平分EF的结论仍然成立．
理由：因为AE＝CF，FE＝EF，所以AF＝CE.
因为ED⊥AC，FB⊥AC，所以∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
所以Rt△ABF≌Rt△CDE.所以BF＝DE.
在△BFG和△DEG中，
所以△BFG≌△DEG.所以GF＝GE，即BD平分EF，结论仍然成立．
点拨：本题综合考查了三角形全等的判定方法，注意AAA，SSA不能判定两个三角形全等．
先利用HL判定Rt△ABF≌Rt△CDE，得出BF＝DE；再利用AAS判定△BFG≌△DEG，从而得出
FG＝EG，即BD平分EF.
(2)中结论仍然成立，证明过程同(1)类似.