第1章 直角三角形检测题
(本检测题满分:100分,时间:90分钟)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图所示,
平分∠
,
,
,垂足分别为
,下列结论正确的
是(
)
A.
B.
C.∠
∠
D.
2
.如图所示,有两棵树,一棵高10
m,另一棵高4
m,两树相距8
m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行(
)
A.8 m B.10 m
C.12 m D.14 m
3.如图所示,已知
,
,下列条件能使△
≌△
的是( )
A.
B.
C.
D.
三个答案都是
4.一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( )
A.5
B.
C.5 D.5或
5.如图所示,一棵树在一次强台风中,从离地面
处折断,倒下的部分与地面成
角,这棵树在折断前的高度是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图所示,在△
中,
,点
在
上,
为
的中点,
相交于点
,且
.若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
7.(2015·浙江湖州中考)如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7
C.5 D.4
第7题图
8.(2015·广西桂林中考)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A.30,40,50 B.7,12,13 C.5,9,12 D.3,4,6
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.若直角三角形的两直角边长为a,b,且满足
,则该直角三角形的斜边长为
.
10.在△
中,
,
,
⊥
于点
,则
_______.
11.有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数是 .
12.如图所示,
是△
的角平分线,
于点
,
于点F,连接
交
于点
,则
与
的位置关系是
.
13.(长沙中考)如图所示,BD是∠ABC的平分线,点P是BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4 cm,则点P到边BC的距离为________cm.
1
4.如图所示,
是∠
的平分线,
于点
,
于
,则关于直线
对称的三角形共有_______对.
15.如图所示,在Rt△
中,
,
平分
,交
于点
,且
,
,则点
到
的距离是________.
16.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为
),却踩伤了花草.
三、解答题(共52分)
17.(6分)若△
的三边满足下列条件,判断△
是不是直角三角形,并说明哪个角是直角.
(1)
(2)
18.(6分)若三角形的三个内角的比是
,最短边长为
,最长边长为
.
求:(1)这个三角形各角的度数;
(2)另外一边长的平方.
19.(6分)如图所示,在△
中,
,∠
,
交
于点
.
求证:
.
20.(6分)如图所示,
是∠
内的一点,
,
,垂足分别为
,
.
求证:(1)
;(2)点
在∠
的平分线上.
21.(6分) (2015·湖北孝感中考)我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD.对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E,F.求证:OE=OF.
第21题图
22.(6分)如图所示,
为△
的高,
为
上一点,
交
于点
,且有
,
.
求证:
.
23.(8分)已知:在△
中,
,
,点
是
的中点,点
是
边上一点.
(1)
垂直于
于点
,交
于点
(如图①),求证:
.
(2)
垂直于
,垂足为
,交
的延长线于点
(如图②),找出图中与
相等的线段,并证明.
24.(8分)如图,折叠长方形的一边
,使点
落在
边上的点
处,
cm,
cm,
求:(1)
的长;(2)
的长.
第1章 直角三角形检测题参考答案
1.A
解析:由
平分∠
,
于
,
于
,知
故选项A正确.
2.B 解析:根据“两点之间线段最短”可知:小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,所飞行的路程最短,运用勾股定理可将两树梢之间的距离求出.
如图所示,设大树高AB=10 m,小树高CD=4 m.
连接AC,过点C作CE⊥AB于点E,则四边形EBDC是长方形.
故EB=4 m,EC=8 m,AE=AB-EB=10-4=6(m).
在Rt△AEC中,AC=
=
=10(m).
3.D
解析:添加A选项中条件可用“
”判定两个三角形全等;添加B选项中条件可用“
”判定两个三角形全等;添加C选项中条件可用“
”判定两个三角形全等,故选D.
4.D
解析:当已知的两边均为直角边时,由勾股定理,得第三边长为5;当4为斜边长时,由勾股定理,得第三边长为
.
点拨:本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边,故应该分情况进行分析.注意不要漏解.
5.B
解析:如图,在Rt△
中,∠
,
,∠
,所以
,所以大树的高度为
.故选B.
6.C
解析:因为
,
,
,
,
所以
,
.
因为
所以
.
因为
.所以
.故选C.
7.C
解析:过点E作EF⊥BC,垂足为F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得ED=EF=2,所以
,故选C.
第7题答图
8.A
解析:在选项A中,∵
=2
500,
=2
500,∴
,∴
30,40,50能构成直角三角形;
在选项B中,∵
=193,
=169,∴
≠
,∴
7,12,13不能构成直角三角形;
在选项C中,∵
=106,
=144,∴
,∴
5,9,12不能构成直角三角形;
在选项D中,∵
=25,
=36,∴
≠
,∴
3,4,6不能构成直角三角形.故选A.
9.5
解析:∵
,
∴
,
,解得
,
.
∵ 直角三角形的两直角边长为a,b,
∴ 该直角三角形的斜边长为
.
点拨:本题考查了勾股定理、非负数的性质、绝对值和算术平方根的意义.
1
0.
解析:如图所示,因为等腰三角形底边上的高、中线以及顶角平分线“三线合一”,所以
.
因为
cm,
所以
.
因为
,
所以
.
11.15
解析:设第三个数是
.
①若
为最长边长,则
,不是正整数,不符合题意;
②若17为最长边长,则
,三边长都是整数,能构成勾股数,符合题意.故答案为15.
12.
垂直平分
解析:因为
是△
的角平分线,
B于点
,
于点F,所以
.
在Rt△
和Rt△
中,
所以Rt△
≌Rt△
,所以
.
又
是△
的角平分线,所以
垂直平分
.
13.4 解析:本题考查了角平分线的性质.∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等,∴ 点P到边BC的距离等于PE的长度.
1
4.
解析:△
和△
,△
和△
△
和△
△
和△
共4对.
15.3
解析:如图,过
点作
于
.
因为
,
,
,
所以
.
因为
平分
,
,
所以点
到
的距离
.
16.4
解析:在Rt△
中,
,
则
,少走了
.
17.
解:(1)因为
,
根据三边满足的条件,可以判断△
是直角三角形,其中∠
为直角.
(2)因为
,
所以
,
根据三边满足的条件,可以判断△
是直角三角形,其中∠
为直角.
18.解:(1)因为三个内角的比是
,
所以设三个内角的度数分别为
.
由
,得
,
所以三个内角的度数分别为
.
(2)由(1)可知此三角形为直角三角形,
则一条直角边长为1,斜边长为2.
设另外一条直角边长为
,则
,即
.
所以另外一条边长的平方为3.
19.证明:在△
中,因为
,∠
,
所以
.
又因为
,所以
所以
.
所以
.所以
.
所以
.
2
0.证明:(1)连接
.因为
,
,
,
,
所以Rt△
≌Rt△
,所以
(2)因为Rt△
≌Rt△
(HL),
所以
,
所以点
在∠
的平分线上.
21.证明:在△ABD和△CBD中,
∴
△ABD≌△CBD(SSS),
∴ ∠ABD=CBD,∴ BD平分∠ABC.
又∵ OE⊥AB,OF⊥CB,∴ OE=OF.
22.证明:在Rt△
和在Rt△
中,
因为
,
所以Rt△
≌Rt△
.
所以
.
因为
,所以
.
又在Rt△
中,
,
即
,
所以∠AEB=90°,所以
23.(1)证明:因为
垂直于
于点
,所以∠
,所以
.
又因为∠
∠
,所以∠
∠
.
因为
,
∠
,所以
.
又因为点
是
的中点,所以
.
因为
,
,
,
所以△
≌△
,所以
.
(2)解:
.证明如下:
在△
中,因为
,∠
,
所以
,∠
∠
.
因为
,即∠
,所以
,所以
.
因为
为等腰直角三角形斜边上的中线,所以
,
.
在△
和△
中,
,
,
,
所以△
≌△
,所以
.
24.
解:(1)由题意可得
,
在Rt△
中,因为
,
所以
,
所以
.
(2)由题意可得
,
可设
的长为
,则
.
在Rt△
中,由勾股定理,
得
,
解得
,即
的长为
.