第1章 直角三角形检测题
（本检测题满分：100分，时间：90分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.如图所示，
平分∠
，
，
，垂足分别为
，下列结论正确的
是（
）
A.
B.
C.∠
∠
D.
2
.如图所示，有两棵树，一棵高10
m，另一棵高4
m，两树相距8
m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(
)
A.8 m B.10 m
C.12 m D.14 m
3.如图所示，已知
，
，下列条件能使△
≌△
的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三个答案都是
4.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )
A.5
B.
C.5 D.5或
5.如图所示，一棵树在一次强台风中，从离地面
处折断，倒下的部分与地面成
角，这棵树在折断前的高度是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图所示，在△
中，
，点
在
上，
为
的中点，
相交于点
，且
．若
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
7.(2015·浙江湖州中考)如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7
C.5 D.4
第7题图
8.（2015·广西桂林中考）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A.30，40，50 B.7，12，13 C.5，9，12 D.3，4，6
二、填空题（每小题3分，共24分）
9.若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足
，则该直角三角形的斜边长为
.
10.在△
中，
，
，
⊥
于点
，则
_______.
11.有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8，则第三个数是 .
12.如图所示，
是△
的角平分线，
于点
，
于点F，连接
交
于点
，则
与
的位置关系是
.
13.（长沙中考）如图所示，BD是∠ABC的平分线，点P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE＝4 cm,则点P到边BC的距离为________cm.
1
4.如图所示，
是∠
的平分线，
于点
，
于
，则关于直线
对称的三角形共有_______对．
15.如图所示，在Rt△
中，
，
平分
，交
于点
，且
，
，则点
到
的距离是________.
16.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为
），却踩伤了花草.
三、解答题（共52分）
17.（6分）若△
的三边满足下列条件，判断△
是不是直角三角形，并说明哪个角是直角.
（1）
（2）
18.（6分）若三角形的三个内角的比是
，最短边长为
，最长边长为
.
求：（1）这个三角形各角的度数；
（2）另外一边长的平方.
19.(6分)如图所示，在△
中，
，∠
，
交
于点
.
求证：
．
20.（6分）如图所示，
是∠
内的一点，
，
，垂足分别为
，
．
求证：（1）
；（2）点
在∠
的平分线上．
21.(6分) （2015·湖北孝感中考）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB,AD=CD.对角线AC,BD相交于点O，OE⊥AB,OF⊥CB,垂足分别是E，F.求证：OE=OF.
第21题图
22.(6分)如图所示，
为△
的高，
为
上一点，
交
于点
，且有
，
．
求证：
．
23.(8分)已知：在△
中，
，
，点
是
的中点，点
是
边上一点．
（1）
垂直于
于点
，交
于点
（如图①），求证：
.
（2）
垂直于
，垂足为
，交
的延长线于点
（如图②），找出图中与
相等的线段，并证明．
24.（8分）如图，折叠长方形的一边
，使点
落在
边上的点
处，
cm，
cm，
求：（1）
的长；（2）
的长.
第1章 直角三角形检测题参考答案
1.A
解析：由
平分∠
，
于
，
于
，知
故选项A正确.
2.B 解析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两树梢之间的距离求出.
如图所示，设大树高AB=10 m，小树高CD=4 m.
连接AC，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形EBDC是长方形.
故EB=4 m，EC=8 m，AE=AB-EB=10-4=6(m).
在Rt△AEC中，AC=
=
＝10(m).
3.D
解析：添加A选项中条件可用“
”判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用“
”判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用“
”判定两个三角形全等，故选D．
4.D
解析：当已知的两边均为直角边时，由勾股定理，得第三边长为5；当4为斜边长时，由勾股定理，得第三边长为
.
点拨：本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析.注意不要漏解.
5.B
解析：如图，在Rt△
中，∠
，
，∠
，所以
，所以大树的高度为
．故选B．
6.C
解析：因为
，
，
，
，
所以
，
．
因为
所以
.
因为
．所以
．故选C．
7.C
解析：过点E作EF⊥BC，垂足为F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得ED＝EF＝2，所以
，故选C.
第7题答图
8.A
解析：在选项A中，∵
＝2
500，
＝2
500，∴
，∴
30,40,50能构成直角三角形；
在选项B中，∵
＝193，
＝169，∴
≠
，∴
7,12,13不能构成直角三角形；
在选项C中，∵
＝106，
＝144，∴
，∴
5,9,12不能构成直角三角形；
在选项D中，∵
＝25，
＝36，∴
≠
，∴
3,4,6不能构成直角三角形.故选A.
9.5
解析：∵
，
∴
，
，解得
，
.
∵ 直角三角形的两直角边长为a，b，
∴ 该直角三角形的斜边长为
.
点拨：本题考查了勾股定理、非负数的性质、绝对值和算术平方根的意义.
1
0.
解析：如图所示，因为等腰三角形底边上的高、中线以及顶角平分线“三线合一”，所以
.
因为
cm，
所以
.
因为
，
所以
．
11.15
解析：设第三个数是
.
①若
为最长边长，则
，不是正整数，不符合题意；
②若17为最长边长，则
，三边长都是整数，能构成勾股数，符合题意.故答案为15．
12.
垂直平分
解析：因为
是△
的角平分线，
B于点
，
于点F，所以
.
在Rt△
和Rt△
中，
所以Rt△
≌Rt△
，所以
.
又
是△
的角平分线，所以
垂直平分
.
13.4 解析:本题考查了角平分线的性质.∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，∴ 点P到边BC的距离等于PE的长度.
1
4.
解析：△
和△
，△
和△
△
和△
△
和△
共4对.
15.3
解析：如图，过
点作
于
.
因为
，
，
，
所以
.
因为
平分
，
，
所以点
到
的距离
．
16.4
解析：在Rt△
中，
，
则
，少走了
．
17.
解：（1）因为
，
根据三边满足的条件，可以判断△
是直角三角形，其中∠
为直角.
（2）因为
，
所以
，
根据三边满足的条件，可以判断△
是直角三角形，其中∠
为直角.
18.解：（1）因为三个内角的比是
，
所以设三个内角的度数分别为
.
由
，得
，
所以三个内角的度数分别为
.
（2）由（1）可知此三角形为直角三角形，
则一条直角边长为1，斜边长为2.
设另外一条直角边长为
，则
，即
.
所以另外一条边长的平方为3.
19.证明：在△
中，因为
，∠
，
所以
.
又因为
，所以
所以
.
所以
.所以
.
所以
．
2
0.证明：（1）连接
.因为
，
，
，
，
所以Rt△
≌Rt△
，所以
（2）因为Rt△
≌Rt△
（HL），
所以
，
所以点
在∠
的平分线上.
21.证明：在△ABD和△CBD中，
∴
△ABD≌△CBD(SSS),
∴ ∠ABD=CBD,∴ BD平分∠ABC.
又∵ OE⊥AB,OF⊥CB,∴ OE=OF.
22.证明：在Rt△
和在Rt△
中，
因为
，
所以Rt△
≌Rt△
.
所以
.
因为
，所以
.
又在Rt△
中，
，
即
，
所以∠AEB=90°，所以
23.（1）证明：因为
垂直于
于点
,所以∠
，所以
.
又因为∠
∠
，所以∠
∠
.
因为
,
∠
，所以
.
又因为点
是
的中点，所以
.
因为
，
，
，
所以△
≌△
，所以
.
(2)解：
.证明如下：
在△
中，因为
,∠
，
所以
，∠
∠
.
因为
，即∠
,所以
,所以
.
因为
为等腰直角三角形斜边上的中线,所以
，
.
在△
和△
中,
，
,
,
所以△
≌△
,所以
.
24.
解：（1）由题意可得
，
在Rt△
中，因为
，
所以
，
所以
．
（2）由题意可得
，
可设
的长为
，则
.
在Rt△
中，由勾股定理，
得
，
解得
，即
的长为
．