【330481】初中数学苏科八下第9章测试卷（1）

第9章测试卷（1）

一、选择题

1．能由图中的图形旋转得到的图形是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，将等腰Rt△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（　　）

A． B． C． D．3

3．等边三角形绕中心按顺时针旋转最小角度是（　　）时，图形与原图形重合．

A．30° B．90° C．120° D．60°

4．下列说法中，正确的是（　　）

A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称B．成中心对称的两个图形必重合C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同D．旋转后能重合的两个图形成中心对称

5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，则BD的长为（　　）

A．4 B．5 C．10 D．12

7．某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm，5cm，7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．有两个内角分别为90°，60°，30°的完全一样的三角形拼成四边形，其形状不同的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个

9．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm，8cm，则这个三角形的面积是（　　）

A．80cm² B．60cm² C．40cm² D．20cm²

10．已知，菱形的周长为20，一条对角长为6，则菱形的面积（　　）

A．48 B．24 C．18 D．12

11．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

12．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．

13．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S_△GAD=S_四边形GHCE，⑤CF=BD．正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

14．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AC=BD B．△AOB是等边三角形

C．AO=CO=BO=DO D．∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°

15．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（　　）

A． B． C． D．

　

二、填空题

16．一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列结论不一定正确的是　 　．（只填序号）

①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都不变．

　

17．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　 　（填序号）．

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的一个条件是　 　．

19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为　 　．

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，DC的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．设BC﹣AD=2m，则GH的长为　 　．

三、解答题

21． (1) 如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：

①旋转角的度数；

②线段OD的长；

③∠BDC的度数．

(2) 如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．

　

22．用一张空白的长方形纸作为棋盘，两个人轮流在棋盘上下棋．规则：每人每次在棋盘点下一个子，棋子不能互相重叠，也不能出棋盘边界线，这样，经过多次落子直到谁在棋盘上放下最后一枚棋子谁就算赢．想一想：有没有办法使自己立于不败之地？并说明理由．

23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．

(1) 求证：△BOE≌△DOF；

(2) 连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBDF的形状，并对结论给予证明．

24．教育部制定《数学课程标准》要求的课程目标之一是通过数学学习，学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识．”

看过2003年中央电视台春节联欢会的人们都知道，魔术节目很精彩，看后给人以思考、回味，这些看似神秘的魔术节目，很多都依据着一定的科学道理，特别是有些还与我们学习的数学知识有联系，请看下面的小魔术：

如图2所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图3所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．

你知道这是怎么回事吗？试利用所学的数学知识，写一篇数学作文解释其中的道理，题目自拟，字数在200～400字之间．

25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．

　

26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

(1) 求证：AD=AF；

(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

答案

1．能由图中的图形旋转得到的图形是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R1：生活中的旋转现象．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据旋转的性质及其三要素可知．

【解答】解： 绕着图形的中心，顺时针旋转180度，得到的图形是

故选B．

【点评】本题主要考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．

2．如图，将等腰Rt△ABC绕点A顺时针旋转15°得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分面积为（　　）

A． B． C． D．3

【考点】R2：旋转的性质；KW：等腰直角三角形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】设B′C′与AB交点为D，根据等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°，再根据旋转的性质求出∠CAC′=15°，AC′=AC，然后求出∠C′AD=30°，再根据直角三角形30°角所得到直角边等于斜边的一半可得AD=2C′D，然后利用勾股定理列式求出C′D，再利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

【解答】解：如图，设B′C′与AB交点为D，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=45°，

∵△AB′C′是△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到，

∴∠CAC′=15°，AC′=AC=1，

∴∠C′AD=∠BAC﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，

∵AD=2C′D，

∴AD²=AC′²+C′D²，

即（2C′D）²=1²+C′D²，

解得C′D= ，

故阴影部分的面积= ×1× = ．

故选B．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出阴影部分的两直角边的长度是解题的关键．

3．等边三角形绕中心按顺时针旋转最小角度是（　　）时，图形与原图形重合．

A．30° B．90° C．120° D．60°

【考点】R3：旋转对称图形；KK：等边三角形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

【解答】解：根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于120°．

故选C．

【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．

4．下列说法中，正确的是（　　）

A．形状和大小完全相同的两个图形成中心对称B．成中心对称的两个图形必重合C．成中心对称的两个图形形状和大小完全相同D．旋转后能重合的两个图形成中心对称

【考点】R4：中心对称．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据中心对称图形的概念，即可求解．

【解答】解：A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一定成中心对称，故错误；

B、成中心对称的两个图形能重合，但是绕中心旋转180°后能重合，未旋转时它们不是必须重合，故错误；

C、正确；

D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误．

故选C．

【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；

D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，则BD的长为（　　）

A．4 B．5 C．10 D．12

【考点】L5：平行四边形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．

【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴BO=DO，AO=OC=4，

∵AB⊥AC，AB=3，

∴∠BAO=90°，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO= =5，

∴BD=2BO=10，

故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．

7．某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm，5cm，7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】L6：平行四边形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】以长为4cm，5cm，7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，以哪一条为对角线，哪两条为边需要分情况讨论．

【解答】解：分别以4cm，5cm为边，7cm为对角线；或以4cm，7cm为边，5cm为对角线；或5cm，7cm为边，4cm为对角线共有三种情况．

故选C．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，实质上只要三条线段的长符合构成三角形，就可以画不同形状的平行四边形．

8．有两个内角分别为90°，60°，30°的完全一样的三角形拼成四边形，其形状不同的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个

【考点】L7：平行四边形的判定与性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】可动手拼图，出现四种不同的四边形，根据平行四边形的性质，可推出3个平行四边形，不是平行四边形的有一个．

【解答】解：根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等，可知角分别为，(2) 90°，90°，90°90°；(2) 120°，60°，120°，60°；(3) 150°，30°，150°，30°；不是平行四边形的四边形为(4) 60°，90°，120°，90°．共4种，

故选C．

【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．注意不要漏掉不是平行四边形的那一种．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

9．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm，8cm，则这个三角形的面积是（　　）

A．80cm² B．60cm² C．40cm² D．20cm²

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：∵直角三角形斜边上中线是8cm，

∴斜边=2×8=16cm，

∴这个三角形的面积= ×16×5=40cm²．

故选C．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．

10．已知，菱形的周长为20，一条对角长为6，则菱形的面积（　　）

A．48 B．24 C．18 D．12

【考点】L8：菱形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】画出图形，可得边长AB=5，由于AC⊥BD，由勾股定理可得OA及AC的值，再由菱形的面积等于两对角线的积的一半求得．

【解答】解：如图，BD=6，

∵菱形的周长为20，

∴AB=5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OB= DB=3，

由勾股定理得OA=4，则AC=8，

所以菱形的面积= AC•BD= ×6×8=24．

故选B．

【点评】本题考查了菱形的性质，需要用到菱形的对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于两条对角线的积的一半．

11．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）

A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

【考点】L9：菱形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】要使四边形ABCD是菱形，根据题中已知条件四边形ABCD的对角线互相平分可以运用方法“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”或“邻边相等的平行四边形是菱形”，添加AC⊥BD或AB=BC．

【解答】解：∵四边形ABCD的对角线互相平分，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴要使四边形ABCD是菱形，需添加AC⊥BD或AB=BC，

故选：C．

【点评】此题主要考查了菱形的判定方法，关键是熟练把握菱形的判定方法①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．

12．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　）

A．1 B．2 C． D．

【考点】LA：菱形的判定与性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．

【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，

根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=1cm，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠BAD=∠BCD=60°，

∴∠ABE=∠CBF=30°，

∴AB=2AE，BC=2CF，

∵AB²=AE²+BE²，

∴AB= ，

同理：BC= ，

∴AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AD= ，

∴S_菱形ABCD=AD•BE= ．

故选：D．

【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

13．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S_△GAD=S_四边形GHCE，⑤CF=BD．正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据BC=2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．

【解答】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，

∴BC=2EH，又BC=2AB，

∴EH=AB，①正确；

②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，

又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，

∴∠ABG=∠HEC，②正确；

③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，

同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，

∴△ABG≌△HEC，③错误；

④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，

∵AD∥BC，

∴△ADG∽△HGB，

∴ =2，

即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，

根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，

即S_△GAD≠S_四边形GHCE，

∴④错误

⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，

又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，

∴∠F=∠HAC，

∴CF=BD，⑤正确．

正确的有3个．

故选C．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．本题综合性较强，难度比较大．

14．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．下列条件中，可判定四边形ABCD为矩形的是（　　）

A．AC=BD B．△AOB是等边三角形

C．AO=CO=BO=DO D．∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°

【考点】LC：矩形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据矩形的性质可知矩形的对角线平分且相等可得AO=CO=BO=DO，故求解．

【解答】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故不能；

B、△AOB是等边三角形不能判定四边形ABCD为矩形；

C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故能判定；

D、四边形的内角和是360°，故不能．

故选C．

【点评】矩形的判定定理有：

(2) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2) 有三个角是直角的四边形是矩形；

(3) 对角线互相平分且相等的四边形是矩形．

15．如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB⊥AD，BD=BC，∠C=60°，如果△DBC的周长为m，则AD的长为（　　）

A． B． C． D．

【考点】LD：矩形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】作DE⊥BC于E，证出四边形ABED是矩形，得出AD=BE，再证明△BCD是等边三角形，得出BC=BD=CD，BE= BC，即可得出结果．

【解答】解：作DE⊥BC于E，如图所示：

∵AB⊥BC，AB⊥AD，

∴四边形ABED是矩形，

∴AD=BE，

∵BD=BC，∠C=60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BC=BD=CD，BE= BC，

∵△DBC的周长为m，

∴BC= ，

∴AD=BE= ；

故选：B．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

　

16．一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列结论不一定正确的是　 　．（只填序号）

①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都不变．

【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质；Q2：平移的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行，即可得出答案．

【解答】解：∵平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化；

旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化；

∴结论一定正确的是①；

故答案为：①．

【点评】此题考查了图形变换的性质及其区别，关键是根据平移和旋转的性质及其区别解答．

　

17．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是　 　（填序号）．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：甲、是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

乙、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

丙、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

丁、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．

故答案为：乙、丁．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的一个条件是　 　．

【考点】L6：平行四边形的判定．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．

【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知：

需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．

故答案为AD=BC（或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D）．

【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2017个正方形的面积为　 　．

【考点】LE：正方形的性质；D5：坐标与图形性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，继而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算第一个正方形的面积，从中找出规律，进而可求出第n个正方形的面积．

【解答】解：设正方形的面积分别为S₁，S₂…，S_n，

根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，

∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．

∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，

∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD= ，tan∠ADO= = ，

∵tan∠BAA₁= =tan∠ADO，

∴BA₁= AB= ，

∴CA₁= + ，

同理，得：C₁A₂=（ + ）×（1+ ），

由正方形的面积公式，得：S₁=（ ）²=5，

S₂=（ ）²×（1+ ）²，

S₃=（ ）²×（1+ ）⁴=5×（ ）⁴，

由此，可得S₂₀₁₇=（ ）²×（1+ ）^2×2016=5×（ ）⁴⁰³²．

故答案为：5×（ ）⁴⁰³²．

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB，DC的中点，EF分别交BD、AC于点G、H．设BC﹣AD=2m，则GH的长为　 　．

【考点】LL：梯形中位线定理；KX：三角形中位线定理．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据梯形的中位线性质求出EF∥BC∥AD，推出AH=CH，BG=DG，根据三角形的中位线得到EG= AD，EH= BC，由GH=EH﹣EG= （BC﹣AD）代入即可．

【解答】解：∵梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点，

∴EF∥BC∥AD，

∴AH=CH，BG=DG，

∴EG= AD，EH= BC，

∴GH=EH﹣EG= （BC﹣AD）= ×2=1（m），

故答案为：1m．

【点评】本题考查了梯形的中位线和三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出EG和EH的长，注意：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

21． (1) 如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：

①旋转角的度数；

②线段OD的长；

③∠BDC的度数．

(2) 如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．

【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) ①根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，再根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=60°，于是可确定旋转角的度数为60°；

②由旋转的性质得BO=BD，加上∠OBD=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD=OB=4；

③由△BOD为等边三角形得到∠BDO=60°，再利用旋转的性质得CD=AO=3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，所以∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°；

(2) 根据旋转的性质得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD= OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD²+OD²=OC²时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°．

【解答】解：(1) ①∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，∠ABC=60°，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=60°，

∴旋转角的度数为60°；

②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴BO=BD，

而∠OBD=60°，

∴△OBD为等边三角形；

∴OD=OB=4；

③∵△BOD为等边三角形，

∴∠BDO=60°，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵3²+4²=5²，

∴CD²+OD²=OC²，

∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

(2) OA²+2OB²=OC²时，∠ODC=90°．理由如下：

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD，CD=AO，

∴△OBD为等腰直角三角形，

∴OD= OB，

∵当CD²+OD²=OC²时，△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，

∴OA²+2OB²=OC²，

∴当OA、OB、OC满足OA²+2OB²=OC²时，∠ODC=90°．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．

　

22．用一张空白的长方形纸作为棋盘，两个人轮流在棋盘上下棋．规则：每人每次在棋盘点下一个子，棋子不能互相重叠，也不能出棋盘边界线，这样，经过多次落子直到谁在棋盘上放下最后一枚棋子谁就算赢．想一想：有没有办法使自己立于不败之地？并说明理由．

【考点】R4：中心对称．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】根据中心对称的知识，争取先放，并把第1枚棋子放在桌面的对称中心上，根据对称性可作出解释．

【解答】解：有．

你要争取先放，并把第1枚硬币放在桌面的对称中心上，以后你应该根据对方所放硬币的位置，在它关于中心对称的位置上放下一枚同样大小硬币．这样，由于对称性，只要对方能放得下一枚硬币，你就保证能在其对称位置上放下一枚同样大小的硬币，因此，失败绝对轮不到你．

【点评】本题考查了中心对称的性质的运用，比较新颖，注意掌握基本性质，然后才能做到灵活运用．

23．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．

(1) 求证：△BOE≌△DOF；

(2) 连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBDF的形状，并对结论给予证明．

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；

(2) 根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．

【解答】证明：(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO=DO，AO=CO，

∵AE=CF，

∴AO﹣AE=CO﹣FO，

∴EO=FO，

在△BOE和△DOF中 ，

∴△BOE≌△DOF（SAS）；

(2) 四边形EBDF为菱形，等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握

理由：∵BO=DO，FO=EO，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵BD⊥EF，

∴四边形EBDF为菱形．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形．

24．教育部制定《数学课程标准》要求的课程目标之一是通过数学学习，学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识．”

看过2003年中央电视台春节联欢会的人们都知道，魔术节目很精彩，看后给人以思考、回味，这些看似神秘的魔术节目，很多都依据着一定的科学道理，特别是有些还与我们学习的数学知识有联系，请看下面的小魔术：

如图2所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°．魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图3所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过．

你知道这是怎么回事吗？试利用所学的数学知识，写一篇数学作文解释其中的道理，题目自拟，字数在200～400字之间．

【考点】R5：中心对称图形；R2：旋转的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】认真观察和思考发现，由于图1中的四张牌与图2中的牌完全相同．似乎没有牌被动过，所以旋转后的图形与原图形完全一样，那么被动过的这张牌上的图案一定是中心对称图形．

【解答】解：第一张扑克牌即方块6被观众旋转过．

认牌魔术

魔术原本是一种西洋艺术，既美观又神秘，主要锻炼手和脑的灵活度．以前，我很喜欢刘谦表演的魔术，因为我觉得他表演的魔术特别有趣、神奇．虽然知道是假的，但有时候还会自己试试，可是根本就没变出什么来．

学习了中心对称图形和旋转的性质后，我发现这四张扑克牌中后三张上的图案，都不是中心对称图形．若它们被旋转过，则与原来的图案是不同的，魔术师通过观察发现后三张扑克牌没有变化，那么变化的自然是第一张扑克牌了．由于方块6的图案是中心对称图形，旋转过的图案与原图案完全一样，故选方块6．原来这蕴含了我们学习中的知识点的．

这真是一个有趣的魔术，它也是我亲自动手完成一个小魔术．它让我明白了在生活和学习中要善于观察和发现．

【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义和扑克牌的花色特点可知，当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的那个．

25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，得出AO=BO=CO=OD，证出△AOD是等边三角形，得出OD=AD=4，求出BD=8，再由勾股定理求出AB即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，AO=BO=CO=OD，

∵∠AOD=60°，

∴△AOD是等边三角形，

∴DO=AD=4，

∴BD=2OD=8．

在Rt△ABD中，AB= = =4 ．

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．

　

26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

(1) 求证：AD=AF；

(2) 当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形．并说明理由．

【考点】LC：矩形的判定；KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AEF≌△DEB，即可得AF=BD，又由在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得AD=BD=CD= BC，即可证得：AD=AF；

(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．由AF=BD=DC，AF∥BC，可证得：四边形ADCF是平行四边形，又由AB=AC，根据三线合一的性质，可得AD⊥BC，AD=DC，继而可得四边形ADCF是正方形．

【解答】(1) 证明：∵AF∥BC，

∴∠EAF=∠EDB，

∵E是AD的中点，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB（ASA），

∴AF=BD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，

∴AD=BD=DC= BC，

∴AD=AF．

(2) 当AB=AC时，四边形ADCF是矩形．

∵AF=BD=DC，AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AB=AC，AD是中线，

∴AD⊥BC，

∵AD=AF，

∴四边形ADCF是正方形．

【点评】此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．