【330482】初中数学苏科八下第9章测试卷（2）

第9章测试卷（2）

一、选择题

1．将图中图案绕中心顺时针旋转270°后能得到的图案是（　　）

A． B． C． D．

　

2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数等（　　）

A．35° B．55° C．65° D．70°

　

3．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°

　

4．若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（　　）

①对称点的连线必过对称中心；

②这两个图形一定全等；

③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等；

④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④

　

5．下列图案既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

　

6．在平行四边形ABCD，AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．8 B．12 C．14 D．16

　

7．以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作（　　）

A．0个或3个 B．2个 C．3个 D．4个

　

8．如图所示，在▱ABCD中，EF∥GH∥AB，MN∥BC，则图中的平行四边形的个数为（　　）

A．12个 B．16个 C．14个 D．18个

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若AB=10，则CD的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

　

10．若菱形的周长为8，高为1，则菱形的较小角的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

　

11．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

　

12．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BCC．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°

　

13．下列条件中，菱形具有而矩形不具有的是（　　）

A．对边相等 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角线互相垂直

　

14．对于四边形的以下说法：

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；

②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；

④顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．

其中你认为正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　

15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）

A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少

二、填空题

16．如图，在△ABC中，∠C=75°，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，点E恰好落在边BC上，且AD∥BC，则∠D的度数为　 　．

17．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　 　．

18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可）

19．如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为　 　．

　

20．如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE= CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　 ．

　

三、解答题

21． (1) 如图①，O是等边△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO'，连结线段OO'，AO'，试判断△AOO'的形状．

(2) 点D是以AB为斜边的等腰直角三角形ABC内一点，且BD=1，CD=2，AD=3．

（Ⅰ）求∠BDC的度数；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

　

22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．

(1) 求证：CD=BE；

(2) 若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．

　

23．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．

(1) 在图1中证明CE=CF；

(2) 若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．

　

24．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连结CE、AF，且∠DCE=∠BAF，求证：四边形AECF为平行四边形．

　

25．如图，以矩形ABCD的AD和CD为边分别向外作等边△ADE和等边△CDF，连接BE，BF，EF，求证：

(1) △ABE≌△CFB；

(2) △BEF是等边三角形．

　

26．如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD于F．

(1) 求证：△ADG≌△FDG；

(2) 若BG=2AG，BD=2 ，求AD的长．

　

27．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．

求证：AC=BD．

　

答案

1．将图中图案绕中心顺时针旋转270°后能得到的图案是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R1：生活中的旋转现象．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】将图案绕中心顺时针先旋转180°，再旋转90°，得出图形即可；

【解答】解：根据旋转的定义，

图案先旋转180°，再旋转90°，得出的图案是选项B．

故选B．

【点评】本题考查了生活中的旋转现象，要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，读懂题意是解答的基础．

　

2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数等（　　）

A．35° B．55° C．65° D．70°

【考点】R2：旋转的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=35°，

∴∠ABC=55°，

∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，

∴∠B′=∠ABC=55°，∠B′CA′=∠ACB=90°，

CB=CB′，

∴∠CBB′=∠B′=55°，

∴∠α=70°，

故选D．

【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．

　

3．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）

A．36° B．54° C．72° D．108°

【考点】R3：旋转对称图形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．

【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是 =72度．

故选C．

【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．

【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

　

4．若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（　　）

①对称点的连线必过对称中心；

②这两个图形一定全等；

③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等；

④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④

【考点】R4：中心对称．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据(1) 中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

(2) 中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案．

【解答】解：根据分析可得：①对称点的连线必过对称中心，正确；

②中心对称的两个图形一定全等，正确；

③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确；

④根据定义可得此说法正确；

①②③④均符合题意．

故选D．

【点评】本题考查中心对称的定义及性质，属于基础题，要在熟练掌握的基础上理解定义的内容及性质．

　

5．下列图案既不是轴对称图形又不是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析即可．

【解答】解：A、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

　

6．在平行四边形ABCD，AB=3，BC=5，则平行四边形ABCD的周长为（　　）

A．8 B．12 C．14 D．16

【考点】L5：平行四边形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得DC=3，AD=5，然后再求出周长即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=CD，AD=BC，

∵AB=3，BC=5，

∴DC=3，AD=5，

∴平行四边形ABCD的周长为：5+5+3+3=16，

故选D．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．

　

7．以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作（　　）

A．0个或3个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】L6：平行四边形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．

【解答】解：①当A、B、C三点共线时，以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，不能作形状不同的平行四边形；

②已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，

分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，

可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF．

综上所述，可以作0个或3个平行四边形．

故选A．

【点评】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．

　

8．如图所示，在▱ABCD中，EF∥GH∥AB，MN∥BC，则图中的平行四边形的个数为（　　）

A．12个 B．16个 C．14个 D．18个

【考点】L7：平行四边形的判定与性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据平行四边形的判定逐个找出，共有18个平行四边形．

【解答】解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边形AEOM、AEFB、AMND、CNOF、CNMB、CDEF、DNOE、BMOF、AGPM、GPND、MPHB、HPCN、OEGP、OPHF、EGHF、GHCD、AGHB和ABCD都是平行四边形，共18个．

故选D

【点评】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，若AB=10，则CD的长是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD= AB．

【解答】解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，

∴CD= AB= ×10=5．

故选B．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．

　

10．若菱形的周长为8，高为1，则菱形的较小角的度数为（　　）

A．30° B．45° C．50° D．60°

【考点】L8：菱形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据菱形的周长可以计算菱形的边长，根据菱形的边长和高的关系即可求得较小内角的度数．

【解答】解：

菱形的周长为8cm，则AB=2cm，

∵AE=1cm，且△ABE为直角三角形，

∴∠ABE=30°，

故较小内角为30°，

故选A．．

【点评】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了30°角的正弦函数值，本题中求∠ABE=30°是解题的关键．

　

11．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

【考点】L9：菱形的判定；N3：作图—复杂作图．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据作图的痕迹以及菱形的判定方法解答．

【解答】解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，

根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．

故选B．

【点评】本题考查了菱形的判定，根据作图痕迹得到四边形ABCD的四条边都相等是解题的关键．

　

12．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BCC．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°

【考点】LA：菱形的判定与性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．

【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；

过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则

AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；

∵平行四边形ABCD中，S_△ABC=S_△ACD，即BC×AE=CD×AF，

∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；

∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．

∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；

AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；

如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．

故选：D．

【点评】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．

　

13．下列条件中，菱形具有而矩形不具有的是（　　）

A．对边相等 B．对角线互相平分C．对角线相等 D．对角线互相垂直

【考点】LB：矩形的性质；L8：菱形的性质．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即可推出答案．

【解答】解：∵菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，矩形的对角线互相平分、相等，

∴菱形具有而矩形不具有的是对角线互相垂直，

故选：D．

【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的性质进行判断是解此题的关键．

　

14．对于四边形的以下说法：

①对角线互相平分的四边形是平行四边形；

②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；

④顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．

其中你认为正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】LC：矩形的判定；L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定，说法正确的是①②③，顺次连接对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形应该是菱形．

【解答】解：题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定，是正确的，④只能判定是菱形而不具备矩形的条件．

故选C．

【点评】主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定．

　

15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　）

A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减少

【考点】LD：矩形的判定与性质；J4：垂线段最短．

【专题】选择题

【难度】易

【分析】连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥AB时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．

【解答】解：如图，连接AP．

∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC

∴四边形AFPE是矩形，

∴EF=AP，

由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，

∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．

故选C．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键．

16．如图，在△ABC中，∠C=75°，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，点E恰好落在边BC上，且AD∥BC，则∠D的度数为　 　．

【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由旋转的性质得到AE=AC，∠DAB=∠CAE，∠D=∠B，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠C=75°，根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】解：由旋转的性质得AE=AC，∠DAB=∠CAE，∠D=∠B，

∵∠C=75°，

∴∠AEC=∠C=75°，

∴∠CAE=180°﹣75°﹣75°=30°，

∴∠DAB=30°，

∵AD∥BC，

∴∠D=30°，

故答案为：30°．

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前、后的图形全等．

17．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是　 　．

【考点】R5：中心对称图形．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：（A）、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

（B）、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；

（C）、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

（D）、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．

故（B）正确．

故答案为：（B）．

【点评】此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，属于基础题．

18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．如果AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可）

【考点】L6：平行四边形的判定．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据平行四边形的判定方法填写即可．

【解答】解：

∵AB∥CD，

∴当AB=CD时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知四边形ABCD为平行四边形，

故答案为：AB=CD（或AD∥BC等，答案不唯一）．

【点评】本题主要考查平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④两组对边分别相等的四边形是平行四边形，⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

19．如图所示，ABCD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积为　 　．

【考点】LE：正方形的性质．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】首先S_正方形ABCD﹣（S_△ADN+S_△DMC﹣S_四边形PQRD）﹣S_△APM﹣S_△CNR=S_四边形BMQN，其中减去四边形PQRD的面积是因为△ADN和△DMC两个三角形重叠了，重叠部分就是四边形PQRD，所以减去一份．从图中可以看出，S_△ADN△=S_△DMC= S_正方形ABCD，简化关系式：S_正方形ABCD﹣（S_△ADN+S_△DMC﹣S_四边形PQRD）﹣S_△APM﹣S_△CNR=S_正方形ABCD﹣S_正方形ABCD+S_四边形PQRD﹣S_△APM﹣S_△CNR，即可得解．

【解答】解：S_四边形BMQN=S_正方形ABCD﹣（S_△ADN+S_△DMC﹣S_四边形PQRD）﹣S_△APM﹣S_△CNR

=S_正方形ABCD﹣S_正方形ABCD+S_四边形PQRD﹣S_△APM﹣S_△CNR

=51﹣15﹣12

=24．

故答案为：24．

【点评】本题考查了正方形的性质和用割补法求图形面积的方法；解答此题的关键是利用正方形及其内部的图形的面积的和差关系，得出等量关系，从而问题得解．

　

20．如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE= CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为　 ．

【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．

【专题】填空题

【难度】中

【分析】先根据点D是AB的中点，BF∥DE可知DE是△ABF的中位线，故可得出DE的长，根据CE= CD可得出CD的长，再根据直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，

∴DE是△ABF的中位线．

∵BF=10，

∴DE= BF=5．

∵CE= CD，

∴ CD=5，解得CD=4．

∵△ABC是直角三角形，

∴AB=2CD=8．

故答案为：8．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．

　

21． (1) 如图①，O是等边△ABC内一点，OA=6，OB=8，OC=10，将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO'，连结线段OO'，AO'，试判断△AOO'的形状．

(2) 点D是以AB为斜边的等腰直角三角形ABC内一点，且BD=1，CD=2，AD=3．

（Ⅰ）求∠BDC的度数；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；KW：等腰直角三角形．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 利用旋转的性质得BO=BO′，∠OBO′=60°，则△OBO′为等边三角形，所以OO′=OB=8，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠ABC=60°，BA=BC，接着利用旋转的定义可把△BOC绕点B逆时针旋转60°得到△BO′A，于是得到AO′=CO=10，然后根据勾股定理的逆定理可判断△AOO'为直角三角形，∠AOO′=90°；

(2) （Ⅰ）将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△CAD′，如图②，根据旋转的性质得∠DCD′=90°，∠CD′A=∠CDB，CD′=CD=2，AD′=BD=1，则可判断△CDD′为等腰直角三角形，所以∠CD′D=45°，DD′= CD=2 ，然后根据勾股定理的逆定理可判断△ADD'为直角三角形，∠AD′D=90°；则∠AD′C=135°，所以∠BDC=135°；

（Ⅱ）利用△CDD′为等腰直角三角形得到∠CDD′=45°，再判断点B、D、D′共线得到△BD′A为直角三角形，然后利用△ABC的面积=S_△CDD′+S_△BD′A进行计算．

【解答】解：(1) ∵线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO'，

∴BO=BO′，∠OBO′=60°，

∴△OBO′为等边三角形，

∴OO′=OB=8，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，BA=BC，

∴△BOC绕点B逆时针旋转60°得到△BO′A，

∴AO′=CO=10，

在△AOO′中，∵AO′=10，AO=6，OO′=8，

而6²+8²=10²，

∴OA²+OO′²=AO′²，

∴△AOO'为直角三角形，∠AOO′=90°；

(2) （Ⅰ）将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△CAD′，如图②，

∴∠DCD′=90°，∠CD′A=∠CDB，CD′=CD=2，AD′=BD=1，

∴△CDD′为等腰直角三角形，

∴∠CD′D=45°，DD′= CD=2 ，

在△ADD′中，AD=3，AD′=1，DD′=2 ，

而1²+（2 ）²=3²，

∴D′A²+AD²=DD′²，

∴△ADD'为直角三角形，∠AD′D=90°；

∴∠AD′C=135°，

∴∠BDC=135°；

（Ⅱ）∵△CDD′为等腰直角三角形，

∴∠CDD′=45°，

而∠BDC=135°；

∴∠CDD′+∠BDC=180°，

∴点B、D、D′共线，

∴△BD′A为直角三角形，

∴△ABC的面积=S_△CDD′+S_△BD′A

= ×2×2+ ×1×（1+2 ）

= + ．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和等腰直角直角三角形的判定与性质．

　

22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．

(1) 求证：CD=BE；

(2) 若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．

【考点】L5：平行四边形的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 由平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE=∠E．得出AB=BE，即可得出结论；

(2) 同(1) 证出DA=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．

【解答】(1) 证明：∵AE为∠ADB的平分线，

∴∠DAE=∠BAE．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD=AB．

∴∠DAE=∠E．

∴∠BAE=∠E．

∴AB=BE．

∴CD=BE．

(2) 解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠BAF=∠DFA．

∴∠DAF=∠DFA．

∴DA=DF．

∵F为DC的中点，AB=4，

∴DF=CF=DA=2．

∵DG⊥AE，DG=1，

∴AG=GF．

∴AG= ．

∴AF=2AG=2 ．

在△ADF和△ECF中， ，

∴△ADF≌△ECF（AAS）．

∴AF=EF，

∴AE=2AF=4 ．

【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题(2) 的关键．

　

23．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于E，交直线DC于F．

(1) 在图1中证明CE=CF；

(2) 若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），讨论线段DG与BD的数量关系．

【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；

(2) 根据∠ABC=90°，G是EF的中点可得△BEG≌△DCG，进而求出△DGB为等腰直角三角形，即可得出答案．

【解答】(1) 证明：如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

(2) 解：如图2，

连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，

∴四边形ABCD为矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰直角三角形，

∵G为EF中点，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG与△DCG中，

，

∴△BEG≌△DCG（SAS），

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGE+∠DGE=90°，

∴△DGB为等腰直角三角形，

∴BD= DG．

【点评】此题考查平行四边形的性质预判定，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识点．

　

24．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，连结CE、AF，且∠DCE=∠BAF，求证：四边形AECF为平行四边形．

【考点】LB：矩形的性质；L6：平行四边形的判定．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】证得FA∥CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，

∴∠DCE=∠CEB，

∵∠DCE=∠BAF，

∴∠CEB=∠BAF，

∴FA∥CE，

∵FC∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．

　

25．如图，以矩形ABCD的AD和CD为边分别向外作等边△ADE和等边△CDF，连接BE，BF，EF，求证：

(1) △ABE≌△CFB；

(2) △BEF是等边三角形．

【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KM：等边三角形的判定与性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 利用SAS即可证明两三角形的全等；

(2) 证明△ABE≌△DFE，可得△BEF是等边三角形．

【解答】证明：(1) ∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，

在△ABE和△CFB中，

，

∴△ABE≌△CFB（SAS）．

(2) ∠FDE=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，

在△ABE和△DFE中，

，

∴△ABE≌△DFE（SAS），

∴BE=FE，

又∵△ABE≌△CFB，

∴BE=FB=FE，

∴△BFE是等边三角形．

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键之处在于判断∠BAE=∠EDF=∠FCB，难度一般．

　

26．如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD于F．

(1) 求证：△ADG≌△FDG；

(2) 若BG=2AG，BD=2 ，求AD的长．

【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1) 根据AAS即可证明△ADG≌△FDG；

(2) 只要证明∠FBG=30°，即可推出AD= BD，由此即可解决问题；

【解答】(1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，GF⊥BD，

∴∠A=∠DFG=90°，又∠ADG=∠FDG，DG=DG，

在△ADG和△FGD中，

，

∴△ADG≌△FDG．

(2) 解：由(1) 得△ADG≌△FDG，

∴FG=AG，

∵BG=2AG，

∴BG=2FG，

∴在Rt△BFG中，sin∠FBG= ，

∴∠FBG=30°，

∴AD= ．

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是证明∠FBG=30°．

　

27．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM=ON．

求证：AC=BD．

【考点】KX：三角形中位线定理．

【专题】解答题

【难度】难

【分析】取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，推出EH∥AC，EH= AC，HF∥BD，FH= BD，根据平行线性质求出∠3=∠2，∠1=∠4，根据OM=ON推出∠4=∠3=∠1=∠2，同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，推出∠4=∠EFH，得出EH=HF即可．

【解答】证明：

取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，

则EH∥AC，EH= AC，HF∥BD，FH= BD，

∴∠3=∠2，∠1=∠4，

∵OM=ON，

∴∠1=∠2，

∴∠4=∠3=∠1=∠2，

同理∠EFH=∠GFE=∠1=∠2，

∴∠4=∠EFH，

∴EH=HF，

∵EH= AC，FH= BD，

∴AC=BD．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形的中位线，平行线的性质等知识点，关键是正确作辅助线后得出EH=HF，题目比较典型，有一定的难度.