【330403】北师大版八上第2章 测试卷（2）

第二章 章末测试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是（　　）

A．0 B．﹣2 C． D．

2．（3分）（2018•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）（2018•铜仁市）9的平方根是（　　）

A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81

4．（3分）（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣ 的点P应落在（　　）

A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上

5．（3分）（2018•常州）已知a为整数，且 ，则a等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（3分）下列说法：

①5是25的算术平方根；

② 是 的一个平方根；

③（﹣4）²的平方根是﹣4；

④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1．

其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． = × B． = ﹣

C． = D． =

8．（3分）（2018•包头）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5

9．（3分）下列各式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

10．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]=0，[3.14]=3．按此规定[ ]的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）﹣ 的相反数是　　．

12．（3分）16的算术平方根是　　．

13．（3分）写出一个比﹣3大的无理数是　　．

14．（3分）化简 ﹣ =　　．

15．（3分）比较大小：2 　　π（填“＞”、“＜”或“=”）．

16．（3分）已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是　　．

17．（3分）若x，y为实数，且|x+2|+ =0，则（x+y）²⁰¹⁴的值为　　．

18．（3分）已知m= ，则m²﹣2m﹣2013=　　．

三、解答题（共66分）

19．（8分）（1）（2012﹣π）⁰﹣（ ）^﹣1+| ﹣2|+ ；

（2）1+（﹣ ）^﹣1﹣ ÷（ ）⁰．

20．（10分）先化简，再求值：

（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab³÷（﹣ab），其中a= ，b= ；

（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）²，其中x=﹣ ．

21．（10分）（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？

A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；E、0，问题的答案是（只需填字母）：　A、D、E　；

（2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）．

22．（12分）计算：

（1） + + ﹣ ；

（2）2 ÷ × ；

（3）（ ﹣4 +3 ）÷2 ．

23．（8分）甲同学用如图方法作出C点，表示数 ，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC

（1）请说明甲同学这样做的理由；

（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点A．

24．（8分）如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．

（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？

（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3， ，2 ．

25．（10分）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

（一） = = ；

（二） = = = ﹣1；

（三） = = = = ﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．

（1）请用不同的方法化简 ：

①参照（二）式化简 =　 ﹣ 　．

②参照（三）式化简 =　 ﹣ 　．

（2）化简： + + +…+ ．

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是（　　）

A．0 B．﹣2 C． D．

【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．

【解答】解：0，﹣2， 是有理数，

是无理数，

故选：C．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， ，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

2．（3分）（2018•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．

【解答】解：A、 不是最简二次根式，错误；

B、 是最简二次根式，正确；

C、 不是最简二次根式，错误；

D、 不是最简二次根式，错误；

故选：B．

【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

3．（3分）（2018•铜仁市）9的平方根是（　　）

A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81

【分析】依据平方根的定义求解即可．

【解答】解：9的平方根是±3，

故选：C．

【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．

4．（3分）（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数﹣2，﹣1，0，1，2，则表示数2﹣ 的点P应落在（　　）

A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上

【分析】根据2＜ ＜3，得到﹣1＜2﹣ ＜0，根据数轴与实数的关系解答．

【解答】解：2＜ ＜3，

∴﹣1＜2﹣ ＜0，

∴表示数2﹣ 的点P应落在线段BO上，

故选：B．

【点评】本题考查的是无理数的估算、实数与数轴，正确估算无理数的大小是解题的关键．

5．（3分）（2018•常州）已知a为整数，且 ，则a等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】直接利用 ， 接近的整数是2，进而得出答案．

【解答】解：∵a为整数，且 ，

∴a＝2．

故选：B．

【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．

6．（3分）下列说法：

①5是25的算术平方根；

② 是 的一个平方根；

③（﹣4）²的平方根是﹣4；

④立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1．

其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】立方根；平方根；算术平方根．

【分析】根据平方根、算术平方根以及立方根逐一分析4条结论的正误，由此即可得出结论．

【解答】解：①∵5²=25，

∴5是25的算术平方根，①正确；

②∵ = ，

∴ 是 的一个平方根，②正确；

③∵（±4）²=（﹣4）²，

∴（﹣4）²的平方根是±4，③错误；

④∵0²=0³=0，1²=1³=1，

∴立方根和算术平方根都等于自身的数是0和1，正确．

故选C．

【点评】本题考查了方根、算术平方根以及立方根，解题的关键是根据算术平方根与平方根的定义找出它们的区别．

　

7．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． = × B． = ﹣

C． = D． =

【考点】二次根式的混合运算．

【分析】根据二次根式的性质对各个选项进行计算，判断即可．

【解答】解： = × ，A错误；

= ，B错误；

是最简二次根式，C错误；

= ，D正确，

故选：D．

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．

　

8．（3分）（2018•包头）计算﹣ ﹣|﹣3|的结果是（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．5

【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．

【解答】解：原式＝﹣2﹣3＝﹣5，

故选：B．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．（3分）下列各式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】二次根式的性质与化简．

【分析】根据二次根式的运算性质化简．

【解答】解：A、原式= ，错误；

B、被开方数不同，不能合并，错误；

C、运用了平方差公式，正确；

D、原式= = ，错误．

故选C．

【点评】本题考查了二次根式的化简，注意要化简成最简二次根式．

　

10．（3分）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[ ]=0，[3.14]=3．按此规定[ ]的值为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】估算无理数的大小．

【专题】新定义．

【分析】先求出 +1的范围，再根据范围求出即可．

【解答】解：∵3＜ ＜4，

∴4＜ +1＜5，

∴[ +1]=4，

故选B．

【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出 +1的范围．

　

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）﹣ 的相反数是　 　．

【考点】实数的性质．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

【解答】解：﹣ 的相反数是 ，

故答案为： ．

【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

　

12．（3分）16的算术平方根是　4　．

【考点】算术平方根．

【专题】计算题．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．

【解答】解：∵4²=16，

∴ =4．

故答案为：4．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．

　

13．（3分）写出一个比﹣3大的无理数是　如 等（答案不唯一）　．

【考点】实数大小比较．

【专题】开放型．

【分析】根据这个数即要比﹣3大又是无理数，解答出即可．

【解答】解：由题意可得，﹣ ＞﹣3，并且﹣ 是无理数．

故答案为：如 等（答案不唯一）

【点评】本题考查了实数大小的比较及无理数的定义，任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

　

14．（3分）化简 ﹣ =　﹣ 　．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【解答】解：原式=2 ﹣3 =﹣ ．

【点评】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

　

15．（3分）比较大小：2 　＜　π（填“＞”、“＜”或“=”）．

【考点】实数大小比较．

【分析】首先利用计算器分别求2 和π的近似值，然后利用近似值即可比较求解．

【解答】解：因为2 ≈2.828，π≈3.414，

所以 ＜π．

【点评】本题主要考查了实数的大小的比较，主要采用了求近似值来比较两个无理数的大小．

　

16．（3分）已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是　 　．

【考点】平方根．

【专题】计算题．

【分析】由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列出方程求解即可．

【解答】解：根据题意可知：3x﹣2+5x+6=0，解得x=﹣ ，

所以3x﹣2=﹣ ，5x+6= ，

∴（ ）²=

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．

　

17．（3分）若x，y为实数，且|x+2|+ =0，则（x+y）²⁰¹⁴的值为　1　．

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．

【分析】先根据非负数的性质列出关于x、y方程组，然后解方程组求出x、y的值，再代入原式求解即可．

【解答】解：由题意，得： ，

解得 ；

∴（x+y）²⁰¹⁴=（﹣2+3）²⁰¹⁴=1；

故答案为1．

【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．

　

18．（3分）已知m= ，则m²﹣2m﹣2013=　0　．

【考点】二次根式的化简求值．

【分析】先分母有理化，再将m²﹣2m﹣2013变形为（m﹣1）²﹣2014，再代入计算即可求解．

【解答】解：m= = +1，

则m²﹣2m﹣20130

=（m﹣1）²﹣2014

=（ +1﹣1）²﹣2014

=2014﹣2014

=0．

故答案为：0．

【点评】此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

　

三、解答题（共66分）

19．（8分）（1）（2012﹣π）⁰﹣（ ）^﹣1+| ﹣2|+ ；

（2）1+（﹣ ）^﹣1﹣ ÷（ ）⁰．

【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．

【专题】计算题．

【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义计算；

（2）根据零指数幂、负整数指数幂和二次根式的意义计算．

【解答】解：（1）原式=1﹣3+2﹣ +

=0；

（2）原式=1﹣2﹣（2﹣ ）÷1

=1﹣2﹣2+

= ﹣3．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

　

20．（10分）先化简，再求值：

（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab³÷（﹣ab），其中a= ，b= ；

（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）²，其中x=﹣ ．

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；

（2）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（1）（a﹣2b）（a+2b）+ab³÷（﹣ab）

=a²﹣4b²﹣b²

=a²﹣5b²，

当a= ，b= 时，原式=（ ）²﹣5×（ ）²=﹣13；

（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）²，

=4x²﹣9﹣4x²+4x+x²﹣4x+4

=x²﹣5，

当x= 时，原式=﹣2．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

　

21．（10分）（1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？

A、 ；B、 ；C、 ；D、 ；E、0，问题的答案是（只需填字母）：　A、D、E　；

（2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）．

【考点】实数的运算．

【分析】（1）根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解；

（2）根据（1）的结果可以得到规律．

【解答】解：（1）A、D、E；

注：每填对一个得（1分），每填错一个扣（1分），但本小题总分最少0分．

（2）设这个数为x，则x• =a（a为有理数），所以x= （a为有理数）．

（注：无“a为有理数”扣（1分）；写x= a视同x= ）

【点评】此题主要考查了实数的运算，也考查了有理数、无理数的定义，文字阅读比较多，解题时要注意审题，正确理解题意．

　

22．（12分）计算：

（1） + + ﹣ ；

（2）2 ÷ × ；

（3）（ ﹣4 +3 ）÷2 ．

【考点】二次根式的混合运算．

【专题】计算题．

【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；

（2）根据二次根式的乘除法则运算；

（3）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．

【解答】解：（1）原式=4 +5 + ﹣3

=6 + ；

（2原式=2× × ×

= ；

（3）原式=（ ﹣2 +6 ）÷2

=（ +4 ）÷2

= +2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．

　

23．（8分）甲同学用如图方法作出C点，表示数 ，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC

（1）请说明甲同学这样做的理由；

（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示﹣ 的点A．

【考点】实数与数轴；勾股定理．

【分析】（1）依据勾股定理求得OB的长，从而得到OC的长，故此可得到点C表示的数；

（2）由29=25+4，依据勾股定理即可做出表示﹣ 的点．

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，OB= = = ，

∵OB=OC，

∴OC= ．

∴点C表示的数为 ．

（2）如图所示：

取OB=5，作BC⊥OB，取BC=2．

由勾股定理可知：OC= = = ．

∵OA=OC= ．

∴点A表示的数为﹣ ．

【点评】本题主要考查的是实数与数轴、勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．

　

24．（8分）如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．

（1）如图①，以格点为顶点的△ABC中，请判断AB，BC，AC三边的长度是有理数还是无理数？

（2）在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3， ，2 ．

【考点】勾股定理；二次根式的应用．

【分析】（1）利用勾股定理得出AB，BC，AC的长，进而得出答案；

（2）直接利用各边长结合勾股定理得出答案．

【解答】解：（1）如图①所示：AB=4，AC= =3 ，BC= = ，

所以AB的长度是有理数，AC和BC的长度是无理数；

（2）如图②所示：

【点评】此题主要考查了勾股定理以及二次根式的应用，正确应用勾股定理是解题关键．

　

25．（10分）阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

（一） = = ；

（二） = = = ﹣1；

（三） = = = = ﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．

（1）请用不同的方法化简 ：

①参照（二）式化简 =　 ﹣ 　．

②参照（三）式化简 =　 ﹣ 　．

（2）化简： + + +…+ ．

【考点】分母有理化．

【专题】计算题；实数．

【分析】（1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果；

（2）原式各项分母有理化，计算即可得到结果．

【解答】解：（1）① = = ﹣ ；

② = = = ﹣ ；

（2）原式= + + +…+ = = ．

故答案为：（1）① ﹣ ；② ﹣

【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键．