2020年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1.(4分)
A.1 B.
C.2020 D.
2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是
A.
B.
C.
D.
3.(4分)点
关于
轴对称的点
的坐标是
A.
B.
C.
D.
4.(4分)已知一组数据1,0,3,
,
,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是
A.
B.3 C.
和3 D.1和3
5.(4分)一元二次方程
的根为
A.
B.
C.
或
D.
或
6.(4分)下列等式成立的是
A.
B.
C.
D.
7.(4分)若一次函数
的图象不经过第二象限,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8.(4分)点
是线段
的中点,点
是线段
的三等分点.若线段
,则线段
的长为
A.
B.
C.
或
D.
或
9.(4分)下列命题是真命题的是
A.顶点在圆上的角叫圆周角
B.三点确定一个圆
C.圆的切线垂直于半径
D.三角形的内心到三角形三边的距离相等
10.(4分)如图所示,
的顶点在正方形网格的格点上,则
的值为
A.
B.
C.2 D.
11.(4分)如图,等边三角形
和正方形
都内接于
,则
A.
B.
C.
D.
12.(4分)二次函数
的图象如图所示,有如下结论:
①
;
②
;
③
;
④
为实数).
其中正确结论的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)函数
中,自变量
的取值范围是
.
14.(4分)因式分解:
.
15.(4分)如图,
的对角线
、
相交于点
,
交
于点
,若
,
的周长等于5,则
的周长等于 .
16.(4分)如图,点
、
分别是半圆
上的三等分点,若阴影部分的面积是
,则半圆的半径
的长为 .
17.(4分)如图,矩形
的面积为
,对角线
与双曲线
相交于点
,且
,则
的值为 .
三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)解方程:
.
19.(5分)化简求值:
,其中
.
20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形
,边
,高
,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在
上,其余两个顶点分别在
、
上,这个正方形零件的边长是多少?
21.(7分)某校团委在“五
四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取
、
、
、
四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图.
(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 件;在扇形统计图中表示
班的扇形的圆心角的度数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)第一批评比中,
班
班各有一件、
班
班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.
22.(8分)如图,
是半圆
的直径,
是半圆上的一点,
平分
交半圆于点
,过点
作
与
的延长线交于点
.
(1)求证:
是半圆的切线;
(2)若
,
,求半圆的直径.
四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)若不等式组
恰有四个整数解,则
的取值范围是 .
24.(5分)如图,矩形
中,
,
,
是
上一点,且
,
是
上一动点,若将
沿
对折后,点
落在点
处,则点
到点
的最短距离为 .
五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.(8分)如图,点
、
分别是等边
边
、
上的动点(端点除外),点
、点
以相同的速度,同时从点
、点
出发.
(1)如图1,连接
、
.求证:
;
(2)如图1,当点
、
分别在
、
边上运动时,
、
相交于点
,
的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;
(3)如图2,当点
、
在
、
的延长线上运动时,直线
、
相交于
,
的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
26.(10分)如图,已知直线
.
(1)当反比例函数
的图象与直线
在第一象限内至少有一个交点时,求
的取值范围.
(2)若反比例函数
的图象与直线
在第一象限内相交于点
,
、
,
,当
时,求
的值,并根据图象写出此时关于
的不等式
的解集.
27.(10分)如图,
的半径为
,其内接锐角三角形
中,
、
、
所对的边分别是
、
、
.
(1)求证:
;
(2)若
,
,
,利用(1)的结论求
的长和
的值.
28.(12分)如图,二次函数
的图象过
、
、
,
三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段
的垂直平分线与
轴交于点
,与二次函数的图象在
轴上方的部分相交于点
,求直线
的解析式;
(3)在直线
下方的二次函数的图象上有一动点
,过点
作
轴,交直线
于
,当线段
的长最大时,求点
的坐标.
2020年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的,把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置.
1.(4分)
A.1 B.
C.2020 D.
【解答】解:
.
故选:
.
2.(4分)如图,下列几何体的左视图不是矩形的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
、圆柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意;
、三棱锥的左视图是三角形,故本选项符合题意;
、三棱柱的左视图是矩形,故本选项不符合题意;
、正方体的左视图是正方形,故本选项不符合题意.
故选:
.
3.(4分)点
关于
轴对称的点
的坐标是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:点
关于
轴对称的点
的坐标是
.
故选:
.
4.(4分)已知一组数据1,0,3,
,
,2,3的平均数是1,则这组数据的众数是
A.
B.3 C.
和3 D.1和3
【解答】解:
数据1,0,3,
,
,2,3的平均数是1,
,
解得
,
则这组数据为1,0,3,
,
,2,3,
这组数据的众数为
和3,
故选:
.
5.(4分)一元二次方程
的根为
A.
B.
C.
或
D.
或
【解答】解:
,
,
则
,
或
,
解得
,
,
故选:
.
6.(4分)下列等式成立的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
.
,此选项计算错误;
.
,此选项错误;
.
,此选项正确;
.
无意义,此选项错误;
故选:
.
7.(4分)若一次函数
的图象不经过第二象限,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:根据题意得
,
解得
.
故选:
.
8.(4分)点
是线段
的中点,点
是线段
的三等分点.若线段
,则线段
的长为
A.
B.
C.
或
D.
或
【解答】解:
是线段
的中点,
,
,
点
是线段
的三等分点,
①当
时,如图,
;
②当
时,如图,
.
所以线段
的长为
或
,
故选:
.
9.(4分)下列命题是真命题的是
A.顶点在圆上的角叫圆周角
B.三点确定一个圆
C.圆的切线垂直于半径
D.三角形的内心到三角形三边的距离相等
【解答】解:
、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角,原命题是假命题;
、不在同一直线上的三点确定一个圆,原命题是假命题;
、圆的切线垂直于过切点的半径,原命题是假命题;
、三角形的内心到三角形三边的距离相等,是真命题;
故选:
.
10.(4分)如图所示,
的顶点在正方形网格的格点上,则
的值为
A.
B.
C.2 D.
【解答】解:如图,连接
,由网格的特点可得,
,
,
,
,
故选:
.
11.(4分)如图,等边三角形
和正方形
都内接于
,则
A.
B.
C.
D.
【解答】解:连接
、
、
,过
作
于
,如图所示:
则
,
正方形
和等边三角形
都内接于
,
,
,
,
是等腰直角三角形,
,
,
,
,
,
故选:
.
12.(4分)二次函数
的图象如图所示,有如下结论:
①
;
②
;
③
;
④
为实数).
其中正确结论的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:①
对称轴在
轴右侧,
、
异号,
,
,
,
故①正确;
②
对称轴
,
;
故②正确;
③
,
,
当
时,
,
,
,
故③正确;
④根据图象知,当
时,
有最小值;
当
为实数时,有
,
所以
为实数).
故④正确.
本题正确的结论有:①②③④,4个;
故选:
.
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
13.(4分)函数
中,自变量
的取值范围是
.
【解答】解:由题意得,
,
解得
.
故答案为:
.
14.(4分)因式分解:
.
【解答】解:
.
15.(4分)如图,
的对角线
、
相交于点
,
交
于点
,若
,
的周长等于5,则
的周长等于 16 .
【解答】解:
四边形
是平行四边形,
,
,
,
,
是
的中位线,
,
,
的周长等于5,
,
,
,
的周长
;
故答案为:16.
16.(4分)如图,点
、
分别是半圆
上的三等分点,若阴影部分的面积是
,则半圆的半径
的长为 3 .
【解答】解:连接
、
、
.
和
等底等高,
.
点
,
为半圆的三等分点,
,
阴影部分的面积
,
阴影部分的面积是
,
,
,
故答案为3.
17.(4分)如图,矩形
的面积为
,对角线
与双曲线
相交于点
,且
,则
的值为 12 .
【解答】解:设
的坐标是
,则
的坐标是
.
矩形
的面积为
,
,
.
把
的坐标代入函数解析式得:
,
.
故答案为12.
三、解答题(本大题共5小题,共32分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(5分)解方程:
.
【解答】解:去分母,得:
,
去括号,得:
,
移项,得:
,
合并同类项,得:
,
系数化为1,得:
.
19.(5分)化简求值:
,其中
.
【解答】解:原式
,
当
时,
原式
.
20.(7分)如图,一块材料的形状是锐角三角形
,边
,高
,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在
上,其余两个顶点分别在
、
上,这个正方形零件的边长是多少?
【解答】解:
四边形
为正方形,
,
;
设正方形零件的边长为
,则
,
,
,
,
,
,
,
解得:
.
答:正方形零件的边长为
.
21.(7分)某校团委在“五
四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛,分三批对全校20个班的作品进行评比.在第一批评比中,随机抽取
、
、
、
四个班的征集作品,对其数量进行统计后,绘制如图两幅不完整的统计图.
(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件;在扇形统计图中表示
班的扇形的圆心角的度数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)第一批评比中,
班
班各有一件、
班
班各有两件作品获得一等奖.现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出,用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率.
【解答】解:(1)第一批所抽取的4个班共征集到作品
(件
,
则
班级作品数为
(件
,
在扇形统计图中表示
班的扇形的圆心角的度数为
,
故答案为:24、
;
(2)补全图形如下:
(3)列表如下:
|
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|
|
|
|
|
由表可知,共有30种等可能结果,其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果,
抽取的作品来自两个不同班级的概率为
.
22.(8分)如图,
是半圆
的直径,
是半圆上的一点,
平分
交半圆于点
,过点
作
与
的延长线交于点
.
(1)求证:
是半圆的切线;
(2)若
,
,求半圆的直径.
【解答】(1)证明:连接
,
,
,
平分
,
,
,
,
,
,
是半圆的切线;
(2)解:连接
交
于
,
是半圆
的直径,
,
四边形
是矩形,
,
,
,
,
,
,
即半圆的直径为12.
四、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分)
23.(5分)若不等式组
恰有四个整数解,则
的取值范围是
.
【解答】解:解不等式
,得:
,
解不等式
,得:
,
不等式组有4个整数解,
,
解得:
,
故答案为:
.
24.(5分)如图,矩形
中,
,
,
是
上一点,且
,
是
上一动点,若将
沿
对折后,点
落在点
处,则点
到点
的最短距离为 10 .
【解答】解:如图,连接
,
,
四边形
是矩形,
,
,
,
,
,
,
由折叠得:
,
,
当
、
、
共线时,
最小,
;
故答案为:10.
五、解答题(本大题共4小题,共40分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
25.(8分)如图,点
、
分别是等边
边
、
上的动点(端点除外),点
、点
以相同的速度,同时从点
、点
出发.
(1)如图1,连接
、
.求证:
;
(2)如图1,当点
、
分别在
、
边上运动时,
、
相交于点
,
的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;
(3)如图2,当点
、
在
、
的延长线上运动时,直线
、
相交于
,
的大小是否变化?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
【解答】解:(1)证明:如图1,
是等边三角形
,
,
又
点
、
运动速度相同,
,
在
与
中,
,
;
(2)点
、
在
、
边上运动的过程中,
不变.
理由:
,
,
是
的外角,
,
;
(3)如图2,点
、
在运动到终点后继续在射线
、
上运动时,
不变
理由:同理可得,
,
,
是
的外角,
,
,
即若点
、
在运动到终点后继续在射线
、
上运动,
的度数为
.
26.(10分)如图,已知直线
.
(1)当反比例函数
的图象与直线
在第一象限内至少有一个交点时,求
的取值范围.
(2)若反比例函数
的图象与直线
在第一象限内相交于点
,
、
,
,当
时,求
的值,并根据图象写出此时关于
的不等式
的解集.
【解答】解:(1)将直线
的表达式与反比例函数表达式联立并整理得:
,
由题意得:△
,解得:
,
故
的取值范围
;
(2)设点
,而
,则点
,
点
、
都在反比例函数上,故
,解得:
,
故点
、
的坐标分别为
、
;
将点
的坐标代入反比例函数表达式并解得:
,
观察函数图象知,当
时,
或
.
27.(10分)如图,
的半径为
,其内接锐角三角形
中,
、
、
所对的边分别是
、
、
.
(1)求证:
;
(2)若
,
,
,利用(1)的结论求
的长和
的值.
【解答】(1)证明:作直径
,连接
,如图所示:
则
,
,
,
,
同理:
,
,
;
(2)解:由(1)得:
,
即
,
,
,
过
作
于
,
,
,
,
,
.
28.(12分)如图,二次函数
的图象过
、
、
,
三点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)若线段
的垂直平分线与
轴交于点
,与二次函数的图象在
轴上方的部分相交于点
,求直线
的解析式;
(3)在直线
下方的二次函数的图象上有一动点
,过点
作
轴,交直线
于
,当线段
的长最大时,求点
的坐标.
【解答】解:(1)将点
、
、
的坐标代入抛物线表达式得
,解得
,
故抛物线的表达式为:
;
(2)由点
的坐标知,直线
的倾斜角为
,则
中垂线
与
负半轴的夹角为
,
故设
的表达式为:
,而
中点的坐标为
,
,
将该点坐标代入
表达式并解得:
,
故直线
的表达式为:
;
(3)设点
,则点
,
则
,
,故
有最大值,此时点
的坐标为
,
.