2020年四川省凉山州中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）
A．1 B．
C．2020 D．
2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是
A．
B．
C．
D．
3．（4分）点
关于
轴对称的点
的坐标是
A．
B．
C．
D．
4．（4分）已知一组数据1，0，3，
，
，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是
A．
B．3 C．
和3 D．1和3
5．（4分）一元二次方程
的根为
A．
B．
C．
或
D．
或
6．（4分）下列等式成立的是
A．
B．
C．
D．
7．（4分）若一次函数
的图象不经过第二象限，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8．（4分）点
是线段
的中点，点
是线段
的三等分点．若线段
，则线段
的长为
A．
B．
C．
或
D．
或
9．（4分）下列命题是真命题的是
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
10．（4分）如图所示，
的顶点在正方形网格的格点上，则
的值为
A．
B．
C．2 D．
11．（4分）如图，等边三角形
和正方形
都内接于
，则
A．
B．
C．
D．
12．（4分）二次函数
的图象如图所示，有如下结论：
①
；
②
；
③
；
④
为实数）．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）函数
中，自变量
的取值范围是
．
14．（4分）因式分解：
．
15．（4分）如图，
的对角线
、
相交于点
，
交
于点
，若
，
的周长等于5，则
的周长等于 ．
16．（4分）如图，点
、
分别是半圆
上的三等分点，若阴影部分的面积是
，则半圆的半径
的长为 ．
17．（4分）如图，矩形
的面积为
，对角线
与双曲线
相交于点
，且
，则
的值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）解方程：
．
19．（5分）化简求值：
，其中
．
20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形
，边
，高
，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
上，其余两个顶点分别在
、
上，这个正方形零件的边长是多少？
21．（7分）某校团委在“五
四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取
、
、
、
四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 件；在扇形统计图中表示
班的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，
班
班各有一件、
班
班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
22．（8分）如图，
是半圆
的直径，
是半圆上的一点，
平分
交半圆于点
，过点
作
与
的延长线交于点
．
（1）求证：
是半圆的切线；
（2）若
，
，求半圆的直径．
四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）若不等式组
恰有四个整数解，则
的取值范围是 ．
24．（5分）如图，矩形
中，
，
，
是
上一点，且
，
是
上一动点，若将
沿
对折后，点
落在点
处，则点
到点
的最短距离为 ．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（8分）如图，点
、
分别是等边
边
、
上的动点（端点除外），点
、点
以相同的速度，同时从点
、点
出发．
（1）如图1，连接
、
．求证：
；
（2）如图1，当点
、
分别在
、
边上运动时，
、
相交于点
，
的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点
、
在
、
的延长线上运动时，直线
、
相交于
，
的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
26．（10分）如图，已知直线
．
（1）当反比例函数
的图象与直线
在第一象限内至少有一个交点时，求
的取值范围．
（2）若反比例函数
的图象与直线
在第一象限内相交于点
，
、
，
，当
时，求
的值，并根据图象写出此时关于
的不等式
的解集．
27．（10分）如图，
的半径为
，其内接锐角三角形
中，
、
、
所对的边分别是
、
、
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，
，利用（1）的结论求
的长和
的值．
28．（12分）如图，二次函数
的图象过
、
、
，
三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段
的垂直平分线与
轴交于点
，与二次函数的图象在
轴上方的部分相交于点
，求直线
的解析式；
（3）在直线
下方的二次函数的图象上有一动点
，过点
作
轴，交直线
于
，当线段
的长最大时，求点
的坐标．
2020年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（4分）
A．1 B．
C．2020 D．
【解答】解：
．
故选：
．
2．（4分）如图，下列几何体的左视图不是矩形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；
、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．
故选：
．
3．（4分）点
关于
轴对称的点
的坐标是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：点
关于
轴对称的点
的坐标是
．
故选：
．
4．（4分）已知一组数据1，0，3，
，
，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是
A．
B．3 C．
和3 D．1和3
【解答】解：
数据1，0，3，
，
，2，3的平均数是1，
，
解得
，
则这组数据为1，0，3，
，
，2，3，
这组数据的众数为
和3，
故选：
．
5．（4分）一元二次方程
的根为
A．
B．
C．
或
D．
或
【解答】解：
，
，
则
，
或
，
解得
，
，
故选：
．
6．（4分）下列等式成立的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
，此选项计算错误；
．
，此选项错误；
．
，此选项正确；
．
无意义，此选项错误；
故选：
．
7．（4分）若一次函数
的图象不经过第二象限，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意得
，
解得
．
故选：
．
8．（4分）点
是线段
的中点，点
是线段
的三等分点．若线段
，则线段
的长为
A．
B．
C．
或
D．
或
【解答】解：
是线段
的中点，
，
，
点
是线段
的三等分点，
①当
时，如图，
；
②当
时，如图，
．
所以线段
的长为
或
，
故选：
．
9．（4分）下列命题是真命题的是
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【解答】解：
、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；
、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；
、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；
故选：
．
10．（4分）如图所示，
的顶点在正方形网格的格点上，则
的值为
A．
B．
C．2 D．
【解答】解：如图，连接
，由网格的特点可得，
，
，
，
，
故选：
．
11．（4分）如图，等边三角形
和正方形
都内接于
，则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：连接
、
、
，过
作
于
，如图所示：
则
，
正方形
和等边三角形
都内接于
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：
．
12．（4分）二次函数
的图象如图所示，有如下结论：
①
；
②
；
③
；
④
为实数）．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①
对称轴在
轴右侧，
、
异号，
，
，
，
故①正确；
②
对称轴
，
；
故②正确；
③
，
，
当
时，
，
，
，
故③正确；
④根据图象知，当
时，
有最小值；
当
为实数时，有
，
所以
为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个；
故选：
．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．（4分）函数
中，自变量
的取值范围是 
．
【解答】解：由题意得，
，
解得
．
故答案为：
．
14．（4分）因式分解：
．
【解答】解：
．
15．（4分）如图，
的对角线
、
相交于点
，
交
于点
，若
，
的周长等于5，则
的周长等于 16 ．
【解答】解：
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
是
的中位线，
，
，
的周长等于5，
，
，
，
的周长
；
故答案为：16．
16．（4分）如图，点
、
分别是半圆
上的三等分点，若阴影部分的面积是
，则半圆的半径
的长为 3 ．
【解答】解：连接
、
、
．
和
等底等高，
．
点
，
为半圆的三等分点，
，
阴影部分的面积
，
阴影部分的面积是
，
，
，
故答案为3．
17．（4分）如图，矩形
的面积为
，对角线
与双曲线
相交于点
，且
，则
的值为 12 ．
【解答】解：设
的坐标是
，则
的坐标是
．
矩形
的面积为
，
，
．
把
的坐标代入函数解析式得：
，
．
故答案为12．
三、解答题（本大题共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）解方程：
．
【解答】解：去分母，得：
，
去括号，得：
，
移项，得：
，
合并同类项，得：
，
系数化为1，得：
．
19．（5分）化简求值：
，其中
．
【解答】解：原式
，
当
时，
原式
．
20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形
，边
，高
，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在
上，其余两个顶点分别在
、
上，这个正方形零件的边长是多少？
【解答】解：
四边形
为正方形，
，
；
设正方形零件的边长为
，则
，
，
，
，
，
，
，
解得：
．
答：正方形零件的边长为
．
21．（7分）某校团委在“五
四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取
、
、
、
四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品 24 件；在扇形统计图中表示
班的扇形的圆心角的度数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，
班
班各有一件、
班
班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品
（件
，
则
班级作品数为
（件
，
在扇形统计图中表示
班的扇形的圆心角的度数为
，
故答案为：24、
；
（2）补全图形如下：
（3）列表如下：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，
抽取的作品来自两个不同班级的概率为
．
22．（8分）如图，
是半圆
的直径，
是半圆上的一点，
平分
交半圆于点
，过点
作
与
的延长线交于点
．
（1）求证：
是半圆的切线；
（2）若
，
，求半圆的直径．
【解答】（1）证明：连接
，
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：连接
交
于
，
是半圆
的直径，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
即半圆的直径为12．
四、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）若不等式组
恰有四个整数解，则
的取值范围是 
．
【解答】解：解不等式
，得：
，
解不等式
，得：
，
不等式组有4个整数解，
，
解得：
，
故答案为：
．
24．（5分）如图，矩形
中，
，
，
是
上一点，且
，
是
上一动点，若将
沿
对折后，点
落在点
处，则点
到点
的最短距离为 10 ．
【解答】解：如图，连接
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
由折叠得：
，
，
当
、
、
共线时，
最小，
；
故答案为：10．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
25．（8分）如图，点
、
分别是等边
边
、
上的动点（端点除外），点
、点
以相同的速度，同时从点
、点
出发．
（1）如图1，连接
、
．求证：
；
（2）如图1，当点
、
分别在
、
边上运动时，
、
相交于点
，
的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点
、
在
、
的延长线上运动时，直线
、
相交于
，
的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
【解答】解：（1）证明：如图1，
是等边三角形
，
，
又
点
、
运动速度相同，
，
在
与
中，
，
；
（2）点
、
在
、
边上运动的过程中，
不变．
理由：
，
，
是
的外角，
，
；
（3）如图2，点
、
在运动到终点后继续在射线
、
上运动时，
不变
理由：同理可得，
，
，
是
的外角，
，
，
即若点
、
在运动到终点后继续在射线
、
上运动，
的度数为
．
26．（10分）如图，已知直线
．
（1）当反比例函数
的图象与直线
在第一象限内至少有一个交点时，求
的取值范围．
（2）若反比例函数
的图象与直线
在第一象限内相交于点
，
、
，
，当
时，求
的值，并根据图象写出此时关于
的不等式
的解集．
【解答】解：（1）将直线
的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：
，
由题意得：△
，解得：
，
故
的取值范围
；
（2）设点
，而
，则点
，
点
、
都在反比例函数上，故
，解得：
，
故点
、
的坐标分别为
、
；
将点
的坐标代入反比例函数表达式并解得：
，
观察函数图象知，当
时，
或
．
27．（10分）如图，
的半径为
，其内接锐角三角形
中，
、
、
所对的边分别是
、
、
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，
，利用（1）的结论求
的长和
的值．
【解答】（1）证明：作直径
，连接
，如图所示：
则
，
，
，
，
同理：
，
，
；
（2）解：由（1）得：
，
即
，
，
，
过
作
于
，
，
，
，
，
．
28．（12分）如图，二次函数
的图象过
、
、
，
三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段
的垂直平分线与
轴交于点
，与二次函数的图象在
轴上方的部分相交于点
，求直线
的解析式；
（3）在直线
下方的二次函数的图象上有一动点
，过点
作
轴，交直线
于
，当线段
的长最大时，求点
的坐标．
【解答】解：（1）将点
、
、
的坐标代入抛物线表达式得
，解得
，
故抛物线的表达式为：
；
（2）由点
的坐标知，直线
的倾斜角为
，则
中垂线
与
负半轴的夹角为
，
故设
的表达式为：
，而
中点的坐标为
，
，
将该点坐标代入
表达式并解得：
，
故直线
的表达式为：
；
（3）设点
，则点
，
则
，
，故
有最大值，此时点
的坐标为
，
．