2020年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是
A．
B．
C．2 D．
2．（3分）将867000用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是
A．
B．
C．
D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点
向右平移4个单位长度，得到的对应点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
6．（3分）下列各式运算正确的是
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，
中，
，
．则
的度数为
A．
B．
C．
D．
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时） |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
人数 |
2 |
3 |
4 |
1 |
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
9．（3分）下列命题是假命题的是
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
10．（3分）已知关于
的分式方程
的解为非负数，则正整数
的所有个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点
将一线段
分为两线段
，
，使得其中较长的一段
是全长
与较短的一段
的比例中项，即满足
，后人把
这个数称为“黄金分割”数，把点
称为线段
的“黄金分割”点．如图，在
中，已知
，
，若
，
是边
的两个“黄金分割”点，则
的面积为
A．
B．
C．
D．
12．（3分）已知二次函数
（其中
是自变量）的图象经过不同两点
，
，且该二次函数的图象与
轴有公共点，则
的值为
A．
B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数
的自变量
的取值范围是 ．
14．（3分）若
与
是同类项，则
的值是 ．
15．（3分）已知
，
是一元二次方程
的两个实数根，则
的值是 ．
16．（3分）如图，在矩形
中，
，
分别为边
，
的中点，
与
、
分别交于点
，
．已知
，
，则
的长为 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：
．
18．（6分）如图，
平分
，
．求证：
．
19．（6分）化简：
．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了
辆该型号汽车耗油
所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求
的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油
所行使的路程低于
的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油
所行使路程在
，
这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系
中，已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于
，
两点，且点
的坐标为
．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求
的面积．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边
，
两点间的距离．在河的岸边与
平行的直线
上取两点
，
，测得
，
，
，量得
长为70米．求
，
两点间的距离（参考数据：
，
，
．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，
是
的直径，点
在
上，
的延长线与过点
的切线交于点
，
为线段
上的点，过点
的弦
于点
．
（1）求证：
；
（2）已知
．
，且
，求
的长．
25．（12分）如图，已知抛物线
经过
，
，
三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点
的直线交
轴于点
，交线段
于点
，若
．
①求直线
的解析式；
②已知点
在该抛物线的对称轴
上，且纵坐标为1，点
是该抛物线上位于第一象限的动点，且在
右侧，点
是直线
上的动点，若
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，求点
的坐标．
2020年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（3分）2的倒数是
A．
B．
C．2 D．
【解答】解：2的倒数是
．
故选：
．
2．（3分）将867000用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
故选：
．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线．
故选：
．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将点
向右平移4个单位长度，得到的对应点
的坐标为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
将点
先向右平移4个单位，
点
的对应点
的坐标是
，即
．
故选：
．
5．（3分）下列正多边形中，不是中心对称图形的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．正方形是中心对称图形，故本选项不合题意；
．正五边形不是中心对称图形，故本选项符合题意；
．正六边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
．正八边形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：
．
6．（3分）下列各式运算正确的是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
．
与
不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
．
与
不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
．
，故本选项不合题意；
．
，故本选项符合题意．
故选：
．
7．（3分）如图，
中，
，
．则
的度数为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：
，
，
，
．
故选：
．
8．（3分）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间（小时） |
0.5 |
1 |
1.5 |
2 |
人数 |
2 |
3 |
4 |
1 |
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25 和4
【解答】解：10名学生的每天阅读时间的平均数为
；
学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；
故选：
．
9．（3分）下列命题是假命题的是
A．平行四边形的对角线互相平分
B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分
D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
【解答】解：
、平行四边形的对角线互相平分，是真命题；
、矩形的对角线互相相等，不是垂直，原命题是假命题；
、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题；
、正方形的对角线互相垂直平分且相等，是真命题；
故选：
．
10．（3分）已知关于
的分式方程
的解为非负数，则正整数
的所有个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：去分母，得：
，
移项、合并，得：
，
分式方程的解为非负数，
且
，
解得：
且
，
正整数解有1，2，4，5共4个，
故选：
．
11．（3分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点
将一线段
分为两线段
，
，使得其中较长的一段
是全长
与较短的一段
的比例中项，即满足
，后人把
这个数称为“黄金分割”数，把点
称为线段
的“黄金分割”点．如图，在
中，已知
，
，若
，
是边
的两个“黄金分割”点，则
的面积为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：作
于
，如图，
，
，
在
中，
，
，
是边
的两个“黄金分割”点，
，
，
．
故选：
．
12．（3分）已知二次函数
（其中
是自变量）的图象经过不同两点
，
，且该二次函数的图象与
轴有公共点，则
的值为
A．
B．2 C．3 D．4
【解答】解：由二次函数
的图象与
轴有公共点，
，即
①，
由抛物线的对称轴
，抛物线经过不同两点
，
，
，即，
②，
②代入①得，
，即
，因此
，
，
，
故选：
．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）．
13．（3分）函数
的自变量
的取值范围是 
．
【解答】解：根据题意得，
，
解得
．
故答案为：
．
14．（3分）若
与
是同类项，则
的值是 3 ．
【解答】解：
与
是同类项，
，
解得
，
故答案为：3．
15．（3分）已知
，
是一元二次方程
的两个实数根，则
的值是 2 ．
【解答】解：根据题意得则
，
所以，
故答案为2．
16．（3分）如图，在矩形
中，
，
分别为边
，
的中点，
与
、
分别交于点
，
．已知
，
，则
的长为 
．
【解答】解：延长
、
交于
，如图1，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
为
中点，
，
在
中，由勾股定理得：
，
，
，
为
的中点，
，
，
在
和
中
，
，
即
，
，
，
，
，
，
，
延长
和
，交于
，如图2，
同理
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
，
故答案为：
．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分．
17．（6分）计算：
．
【解答】解：原式
．
18．（6分）如图，
平分
，
．求证：
．
【解答】证明：
平分
，
，
又
，
，
，
．
19．（6分）化简：
．
【解答】解：原式
．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分．
20．（7分）某汽车公司为了解某型号汽车在同一条件下的耗油情况，随机抽取了
辆该型号汽车耗油
所行使的路程作为样本，并绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）求
的值，并补全频数分布直方图；
（2）若该汽车公司有600辆该型号汽车．试估计耗油
所行使的路程低于
的该型号汽车的辆数；
（3）从被抽取的耗油
所行使路程在
，
这两个范围内的4辆汽车中，任意抽取2辆，求抽取的2辆汽车来自同一范围的概率．
【解答】解：（1）
，即
，
组的车辆为：
（辆
，
补全频数分布直方图如图：
（2）
（辆
，
即估计耗油
所行使的路程低于
的该型号汽车的辆数为150辆；
（3）设行使路程在
范围内的2辆车记为为
、
，行使路程在
范围内的2辆车记为
、
，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2辆汽车来自同一范围的结果有4个，
抽取的2辆汽车来自同一范围的概率为
．
21．（7分）某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．
（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
【解答】解：（1）设甲种奖品购买了
件，乙种奖品购买了
件，
根据题意得
，
解得
，
则
，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
（2）设甲种奖品购买了
件，乙种奖品购买了
件，设购买两种奖品的总费用为
元，
根据题意得
，解得
，
，
，
随
的增大而减小，
时，
有最小值为：
．
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系
中，已知一次函数
的图象与反比例函数
的图象相交于
，
两点，且点
的坐标为
．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求
的面积．
【解答】解：（1）如图，
点
在反比例函数
的图象上，
，
，
，
把
代入一次函数
中得：
，
，
该一次函数的解析式为：
；
（2）由
得：
，
，
，
当
时，
，即
，
的面积
．
23．（8分）如图，为了测量某条河的对岸边
，
两点间的距离．在河的岸边与
平行的直线
上取两点
，
，测得
，
，
，量得
长为70米．求
，
两点间的距离（参考数据：
，
，
．
【解答】解：过点
、
分别作
，
，垂足为
、
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
答：
，
两点间的距离为
米，
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分．
24．（12分）如图，
是
的直径，点
在
上，
的延长线与过点
的切线交于点
，
为线段
上的点，过点
的弦
于点
．
（1）求证：
；
（2）已知
．
，且
，求
的长．
【解答】（1）证明：连接
，
是
的直径，
，
，
是
的切线，
，
，
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接
，
，
是
的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
25．（12分）如图，已知抛物线
经过
，
，
三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点
的直线交
轴于点
，交线段
于点
，若
．
①求直线
的解析式；
②已知点
在该抛物线的对称轴
上，且纵坐标为1，点
是该抛物线上位于第一象限的动点，且在
右侧，点
是直线
上的动点，若
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，求点
的坐标．
【解答】解：（1）
抛物线
经过
，
，
设抛物线的解析式为
，
将点
坐标
代入抛物线的解析式为
中，得
，
，
抛物线的解析式为
；
（2）①如图1，
设直线
的解析式为
，
将点
，
，代入
中，得
，
，
直线
的解析式为
，
过点
作
轴于
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将
代入直线
中，得
，
，
，
设直线
的解析式为
，
，
，
直线
的解析式为
；
②Ⅰ、当点
在直线
右侧时，
抛物线与
轴的交点坐标为
和
，
抛物线的对称轴为直线
，
点
，
如图2，设点
，
，
过点
作
于
，过点
作
于
，
，
，
，
，
，
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①知，直线
的解析式为
，
，
或
（舍
，
当
时，
，
，
Ⅱ、当点
在直线
左侧时，记作
，
设点
，
，
过点
作
于
，过点
作
于
，
，
，
同Ⅰ的方法得，△
△
，
，
，
，
，
由①知，直线
的解析式为
，
，
或
（舍
，
当
时，
，
，
，
即满足条件的点
的坐标为
或
，
．
