2020年四川省乐山市中考数学试卷
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.
1.(3分)
的倒数是
A.
B.
C.
D.2
2.(3分)某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试,张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷,将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级,并绘制成如图所示的条形统计图.若该校学生共有2000人,则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为
A.1100 B.1000 C.900 D.110
3.(3分)如图,
是直线
上一点,
,射线
平分
,
.则
A.
B.
C.
D.
4.(3分)数轴上点
表示的数是
,将点
在数轴上平移7个单位长度得到点
.则点
表示的数是
A.4 B.
或10 C.
D.4或
5.(3分)如图,在菱形
中,
,
,
是对角线
的中点,过点
作
于点
,连结
.则四边形
的周长为
A.
B.
C.
D.8
6.(3分)直线
在平面直角坐标系中的位置如图所示,则不等式
的解集是
A.
B.
C.
D.
7.(3分)观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一小方格的边长为
,如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接,不能拼成正方形的是
A.
B.
C.
D.
8.(3分)已知
,
.若
,则
的值为
A.8 B.4 C.
D.
9.(3分)在
中,已知
,
,
.如图所示,将
绕点
按逆时针方向旋转
后得到△
.则图中阴影部分面积为
A.
B.
C.
D.
10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线
与双曲线
交于
、
两点,
是以点
为圆心,半径长1的圆上一动点,连结
,
为
的中点.若线段
长度的最大值为2,则
的值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.
11.(3分)用“
”或“
”符号填空:
.
12.(3分)某小组七位学生的中考体育测试成绩(满分40分)依次为37,40,39,37,40,38,40.则这组数据的中位数是 .
13.(3分)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯
的倾斜角为
,在自动扶梯下方地面
处测得扶梯顶端
的仰角为
,
、
之间的距离为
.则自动扶梯的垂直高度
.(结果保留根号)
14.(3分)已知
,且
.则
的值是 .
15.(3分)把两个含
角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点
为
的中点,连结
交
于点
.则
.
16.(3分)我们用符号
表示不大于
的最大整数.例如:
,
.那么:
(1)当
时,
的取值范围是 ;
(2)当
时,函数
的图象始终在函数
的图象下方.则实数
的范围是 .
三、本大题共3个小题,每小题9分,共27分.
17.(9分)计算:
.
18.(9分)解二元一次方程组:
19.(9分)如图,
是矩形
的边
上的一点,
于点
,
,
,
.求
的长度.
四、本大题共3个小题,每小题10分,共30分.
20.(10分)已知
,且
,求
的值.
21.(10分)如图,已知点
在双曲线
上,过点
的直线与双曲线的另一支交于点
.
(1)求直线
的解析式;
(2)过点
作
轴于点
,连结
,过点
作
于点
.求线段
的长.
22.(10分)自新冠肺炎疫情爆发以来,我国人民上下一心,团结一致,基本控制住了疫情.然而,全球新冠肺炎疫情依然严重,境外许多国家的疫情尚在继续蔓延,疫情防控不可松懈.如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.
根据上面图表信息,回答下列问题:
(1)截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 万人,扇形统计图中
岁感染人数对应圆心角的度数为
;
(2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图;
(3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人,求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率;
(4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为
、
、
、
、
,求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率.
五、本大题共2个小题,每小题10分,共20分.
23.(10分)某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表:
车型 |
每车限载人数(人 |
租金(元 |
商务车 |
6 |
300 |
轿车 |
4 |
|
(1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元,求一辆轿车的单程租金为多少元?
(2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少?
24.(10分)如图1,
是半圆
的直径,
是一条弦,
是
上一点,
于点
,交
于点
,连结
交
于点
,且
.
(1)求证:点
平分
;
(2)如图2所示,延长
至点
,使
,连结
.若点
是线段
的中点.求证:
是
的切线.
六、本大题共2个小题,第25题12分,第26题13分,共25分.
25.(12分)点
是平行四边形
的对角线
所在直线上的一个动点(点
不与点
、
重合),分别过点
、
向直线
作垂线,垂足分别为点
、
.点
为
的中点.
(1)如图1,当点
与点
重合时,线段
和
的关系是 ;
(2)当点
运动到如图2所示的位置时,请在图中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立?
(3)如图3,点
在线段
的延长线上运动,当
时,试探究线段
、
、
之间的关系.
26.(13分)已知抛物线
与
轴交于
,
两点,
为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交
轴于点
,连结
,且
,如图所示.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设
是抛物线的对称轴上的一个动点.
①过点
作
轴的平行线交线段
于点
,过点
作
交抛物线于点
,连结
、
,求
的面积的最大值;
②连结
,求
的最小值.
2020年四川省乐山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10个小题,每小题3分,共30分.
1.(3分)
的倒数是
A.
B.
C.
D.2
【解答】解:根据倒数的定义,可知
的倒数是2.
故选:
.
2.(3分)某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试,张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷,将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级,并绘制成如图所示的条形统计图.若该校学生共有2000人,则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为
A.1100 B.1000 C.900 D.110
【解答】解:
(人
,
故选:
.
3.(3分)如图,
是直线
上一点,
,射线
平分
,
.则
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
,
,
,
,
射线
平分
,
,
,
故选:
.
4.(3分)数轴上点
表示的数是
,将点
在数轴上平移7个单位长度得到点
.则点
表示的数是
A.4 B.
或10 C.
D.4或
【解答】解:点
表示的数是
,左移7个单位,得
,
点
表示的数是
,右移7个单位,得
.
所以点
表示的数是4或
.
故选:
.
5.(3分)如图,在菱形
中,
,
,
是对角线
的中点,过点
作
于点
,连结
.则四边形
的周长为
A.
B.
C.
D.8
【解答】解:
四边形
为菱形,
,
,
,
,
是对角线
的中点,
,
在
中,
,
,
,
,
在
中,
,
,
四边形
的周长
.
故选:
.
6.(3分)直线
在平面直角坐标系中的位置如图所示,则不等式
的解集是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
直线
与
轴交于点
,与
轴交于点
,
,解得
直线为
,
当
时,
,解得
,
由图象可知:不等式
的解集是
,
故选:
.
7.(3分)观察下列各方格图中阴影部分所示的图形(每一小方格的边长为
,如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接,不能拼成正方形的是
A.
B.
C.
D.
【解答】解:由题意,选项
阴影部分面积为6,
,
,
的阴影部分的面积为5,
如果能拼成正方形,选项
的正方形的边长为
,选项
,
,
的正方形的边长为
,
观察图象可知,选项
,
,
阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形,可以拼成图2的边长为
的正方形,
故选:
.
8.(3分)已知
,
.若
,则
的值为
A.8 B.4 C.
D.
【解答】解:
,
.
,
,
又
,
,
,
.
故选:
.
9.(3分)在
中,已知
,
,
.如图所示,将
绕点
按逆时针方向旋转
后得到△
.则图中阴影部分面积为
A.
B.
C.
D.
【解答】解:
,
,
,
,
,
,
故选:
.
10.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线
与双曲线
交于
、
两点,
是以点
为圆心,半径长1的圆上一动点,连结
,
为
的中点.若线段
长度的最大值为2,则
的值为
A.
B.
C.
D.
【解答】解:点
是
的中点,则
是
的中位线,
当
、
、
三点共线时,
最大,则
最大,
而
的最大值为2,故
的最大值为4,
则
,
设点
,则
,
解得:
,
,
故选:
.
二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,共18分.
11.(3分)用“
”或“
”符号填空:
.
【解答】解:
,
,
,
,
故答案为:
.
12.(3分)某小组七位学生的中考体育测试成绩(满分40分)依次为37,40,39,37,40,38,40.则这组数据的中位数是 39 .
【解答】解:把这组数据从小到大排序后为37,37,38,39,40,40,40,
其中第四个数据为39,
所以这组数据的中位数为39.
故答案为39.
13.(3分)如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯
的倾斜角为
,在自动扶梯下方地面
处测得扶梯顶端
的仰角为
,
、
之间的距离为
.则自动扶梯的垂直高度
.(结果保留根号)
【解答】解:
,
,
,
,
,
,
在
中,
,
,
,
答:自动扶梯的垂直高度
,
故答案为:
.
14.(3分)已知
,且
.则
的值是 4或
.
【解答】解:
,即
,
可得
或
,
或
,
即
的值是4或
;
故答案为:4或
.
15.(3分)把两个含
角的直角三角板按如图所示拼接在一起,点
为
的中点,连结
交
于点
.则
.
【解答】解:连接
,
,
,
是
的中点,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
故答案为
.
16.(3分)我们用符号
表示不大于
的最大整数.例如:
,
.那么:
(1)当
时,
的取值范围是
;
(2)当
时,函数
的图象始终在函数
的图象下方.则实数
的范围是 .
【解答】解:(1)由题意
,
,
故答案为
.
(2)由题意:当
时,函数
的图象始终在函数
的图象下方,
则有
时,
,解得
,
或
时,
,解得
,
故答案为
或
.
三、本大题共3个小题,每小题9分,共27分.
17.(9分)计算:
.
【解答】解:原式
.
18.(9分)解二元一次方程组:
【解答】解:
,
法1:②
①
,得
,
解得:
,
把
代入①,得
,
原方程组的解为
;
法2:由②得:
,
把①代入上式,
解得:
,
把
代入①,得
,
原方程组的解为
.
19.(9分)如图,
是矩形
的边
上的一点,
于点
,
,
,
.求
的长度.
【解答】解:
四边形
是矩形,
,
.
,
.
,
,
.
又
,
,
,
,即
,
,即
的长度为
.
四、本大题共3个小题,每小题10分,共30分.
20.(10分)已知
,且
,求
的值.
【解答】解:原式
,
,
原式
解法2:同解法1,得原式
,
,
,
原式
.
21.(10分)如图,已知点
在双曲线
上,过点
的直线与双曲线的另一支交于点
.
(1)求直线
的解析式;
(2)过点
作
轴于点
,连结
,过点
作
于点
.求线段
的长.
【解答】解:(1)将点
代入
,得
,
即
,
将
代入
,得
,
即
,
设直线
的解析式为
,
将
、
代入
,得
,解得
,
直线
的解析式为
;
(2)
、
,
,
,
.
22.(10分)自新冠肺炎疫情爆发以来,我国人民上下一心,团结一致,基本控制住了疫情.然而,全球新冠肺炎疫情依然严重,境外许多国家的疫情尚在继续蔓延,疫情防控不可松懈.如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图.
根据上面图表信息,回答下列问题:
(1)截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 20 万人,扇形统计图中
岁感染人数对应圆心角的度数为
;
(2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图;
(3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人,求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率;
(4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为
、
、
、
、
,求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率.
【解答】解:(1)截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为
(万人),
扇形统计图中
岁感染人数对应圆心角的度数为
,
故答案为:20、72;
(2)
岁人数为
(万人),
补全的折线统计图如图2所示;
(3)该患者年龄为60岁及以上的概率为:
;
(4)该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为:
.
五、本大题共2个小题,每小题10分,共20分.
23.(10分)某汽车运输公司为了满足市场需要,推出商务车和轿车对外租赁业务.下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表:
车型 |
每车限载人数(人 |
租金(元 |
商务车 |
6 |
300 |
轿车 |
4 |
|
(1)如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元,求一辆轿车的单程租金为多少元?
(2)某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训,拟单程租用商务车或轿车前往.在不超载的情况下,怎样设计租车方案才能使所付租金最少?
【解答】解:(1)设租用一辆轿车的租金为
元,
由题意得:
,
解得
,
答:租用一辆轿车的租金为240元;
(2)①若只租用商务车,
,
只租用商务车应租6辆,所付租金为
(元
;
②若只租用轿车,
,
只租用轿车应租9辆,所付租金为
(元
;
③若混和租用两种车,设租用商务车
辆,租用轿车
辆,租金为
元.
由题意,得
,
由
,得
,
,
,
,
,且
为整数,
随
的增大而减小,
当
时,
有最小值1740,此时
.
综上,租用商务车5辆和轿车1辆时,所付租金最少为1740元.
24.(10分)如图1,
是半圆
的直径,
是一条弦,
是
上一点,
于点
,交
于点
,连结
交
于点
,且
.
(1)求证:点
平分
;
(2)如图2所示,延长
至点
,使
,连结
.若点
是线段
的中点.求证:
是
的切线.
【解答】证明:(1)如图1,连接
、
,
是半圆
的直径,
,
,
,
又
,即点
是
的斜边
的中点,
,
,
又
,
,
,
即点
平分
;
(2)如图2所示,连接
、
,
点
是线段
的中点,
,
,
是等边三角形,
,
是直角三角形,且
,
是
的切线.
六、本大题共2个小题,第25题12分,第26题13分,共25分.
25.(12分)点
是平行四边形
的对角线
所在直线上的一个动点(点
不与点
、
重合),分别过点
、
向直线
作垂线,垂足分别为点
、
.点
为
的中点.
(1)如图1,当点
与点
重合时,线段
和
的关系是
;
(2)当点
运动到如图2所示的位置时,请在图中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立?
(3)如图3,点
在线段
的延长线上运动,当
时,试探究线段
、
、
之间的关系.
【解答】解:(1)
四边形
是平行四边形,
,
又
,
,
,
,
故答案为:
;
(2)补全图形如图所示,
结论仍然成立,
理由如下:
延长
交
于点
,
,
,
,
,
点
为
的中点,
,
又
,
,
,
,
;
(4)点
在线段
的延长线上运动时,线段
、
、
之间的关系为
,
证明如下:如图,延长
交
的延长线于点
,
由(2)可知
,
,
,
又
,
,
,
.
26.(13分)已知抛物线
与
轴交于
,
两点,
为抛物线的顶点,抛物线的对称轴交
轴于点
,连结
,且
,如图所示.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设
是抛物线的对称轴上的一个动点.
①过点
作
轴的平行线交线段
于点
,过点
作
交抛物线于点
,连结
、
,求
的面积的最大值;
②连结
,求
的最小值.
【解答】解:(1)根据题意,可设抛物线的解析式为:
,
抛物线的对称轴为直线
,
,
又
,
,
即
,
代入抛物线的解析式,得
,
解得
,
二次函数的解析式为
;
(2)①设
,其中
,
设直线
的解析式为
,
,
解得
即直线
的解析式为
,
令
,得:
,
点
,
,
把
代入
,得
,
即
,
,
的面积
,
当
时,
的面积最大,且最大值为
;
②如图,连接
,根据图形的对称性可知
,
,
,
过点
作
于
,则在
中,
,
,
过点
作
于点
,则
,
线段
的长就是
的最小值,
,
又
,
,
即
,
的最小值为
.