【330358】2020年四川省乐山市中考数学试卷

2020年四川省乐山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1．（3分） 的倒数是 　　

A． B． C． D．2

2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 　　

A．1100 B．1000 C．900 D．110

3．（3分）如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， ．则 　　

A． B． C． D．

4．（3分）数轴上点 表示的数是 ，将点 在数轴上平移7个单位长度得到点 ．则点 表示的数是 　　

A．4 B． 或10 C． D．4或

5．（3分）如图，在菱形 中， ， ， 是对角线 的中点，过点 作 于点 ，连结 ．则四边形 的周长为 　　

A． B． C． D．8

6．（3分）直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集是 　　

A． B． C． D．

7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为 ，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是 　　

A． B．

C． D．

8．（3分）已知 ， ．若 ，则 的值为 　　

A．8 B．4 C． D．

9．（3分）在 中，已知 ， ， ．如图所示，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到△ ．则图中阴影部分面积为 　　

A． B． C． D．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 、 两点， 是以点 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结 ， 为 的中点．若线段 长度的最大值为2，则 的值为 　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11．（3分）用“ ”或“ ”符号填空： 　　 ．

12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是　　．

13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 ， 、 之间的距离为 ．则自动扶梯的垂直高度 　　 ．（结果保留根号）

14．（3分）已知 ，且 ．则 的值是　　．

15．（3分）把两个含 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 为 的中点，连结 交 于点 ．则 　　．

16．（3分）我们用符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ．那么：

（1）当 时， 的取值范围是　　；

（2）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象下方．则实数 的范围是　　．

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．

17．（9分）计算： ．

18．（9分）解二元一次方程组：

19．（9分）如图， 是矩形 的边 上的一点， 于点 ， ， ， ．求 的长度．

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．

20．（10分）已知 ，且 ，求 的值．

21．（10分）如图，已知点 在双曲线 上，过点 的直线与双曲线的另一支交于点 ．

（1）求直线 的解析式；

（2）过点 作 轴于点 ，连结 ，过点 作 于点 ．求线段 的长．

22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：

（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　　万人，扇形统计图中 岁感染人数对应圆心角的度数为　　 ；

（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；

（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；

（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为 、 、 、 、 ，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．

23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：

车型	每车限载人数（人	租金（元 辆）
商务车	6	300
轿车	4

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？

（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？

24．（10分）如图1， 是半圆 的直径， 是一条弦， 是 上一点， 于点 ，交 于点 ，连结 交 于点 ，且 ．

（1）求证：点 平分 ；

（2）如图2所示，延长 至点 ，使 ，连结 ．若点 是线段 的中点．求证： 是 的切线．

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．

25．（12分）点 是平行四边形 的对角线 所在直线上的一个动点（点 不与点 、 重合），分别过点 、 向直线 作垂线，垂足分别为点 、 ．点 为 的中点．

（1）如图1，当点 与点 重合时，线段 和 的关系是　　；

（2）当点 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点 在线段 的延长线上运动，当 时，试探究线段 、 、 之间的关系．

26．（13分）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，且 ，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，连结 、 ，求 的面积的最大值；

②连结 ，求 的最小值．

2020年四川省乐山市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．

1．（3分） 的倒数是 　　

A． B． C． D．2

【解答】解：根据倒数的定义，可知 的倒数是2．

故选： ．

2．（3分）某校在全校学生中举办了一次“交通安全知识”测试，张老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷，将测试成绩按“差”、“中”、“良”、“优”划分为四个等级，并绘制成如图所示的条形统计图．若该校学生共有2000人，则其中成绩为“良”和“优”的总人数估计为 　　

A．1100 B．1000 C．900 D．110

【解答】解： （人 ，

故选： ．

3．（3分）如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， ．则 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ， ，

， ，

射线 平分 ，

，

，

故选： ．

4．（3分）数轴上点 表示的数是 ，将点 在数轴上平移7个单位长度得到点 ．则点 表示的数是 　　

A．4 B． 或10 C． D．4或

【解答】解：点 表示的数是 ，左移7个单位，得 ，

点 表示的数是 ，右移7个单位，得 ．

所以点 表示的数是4或 ．

故选： ．

5．（3分）如图，在菱形 中， ， ， 是对角线 的中点，过点 作 于点 ，连结 ．则四边形 的周长为 　　

A． B． C． D．8

【解答】解： 四边形 为菱形，

， ，

，

，

是对角线 的中点，

，

在 中， ，

，

，

，

在 中， ，

，

四边形 的周长 ．

故选： ．

6．（3分）直线 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 的解集是 　　

A． B． C． D．

【解答】解： 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，

，解得

直线为 ，

当 时， ，解得 ，

由图象可知：不等式 的解集是 ，

故选： ．

7．（3分）观察下列各方格图中阴影部分所示的图形（每一小方格的边长为 ，如果将它们沿方格边线或对角线剪开重新拼接，不能拼成正方形的是 　　

A． B．

C． D．

【解答】解：由题意，选项 阴影部分面积为6， ， ， 的阴影部分的面积为5，

如果能拼成正方形，选项 的正方形的边长为 ，选项 ， ， 的正方形的边长为 ，

观察图象可知，选项 ， ， 阴影部分沿方格边线或对角线剪开均可得图1的5个图形，可以拼成图2的边长为 的正方形，

故选： ．

8．（3分）已知 ， ．若 ，则 的值为 　　

A．8 B．4 C． D．

【解答】解： ， ．

，

，

又 ，

，

，

．

故选： ．

9．（3分）在 中，已知 ， ， ．如图所示，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到△ ．则图中阴影部分面积为 　　

A． B． C． D．

【解答】解： ， ， ，

， ，

，

故选： ．

10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于 、 两点， 是以点 为圆心，半径长1的圆上一动点，连结 ， 为 的中点．若线段 长度的最大值为2，则 的值为 　　

A． B． C． D．

【解答】解：点 是 的中点，则 是 的中位线，

当 、 、 三点共线时， 最大，则 最大，

而 的最大值为2，故 的最大值为4，

则 ，

设点 ，则 ，

解得： ，

，

故选： ．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．

11．（3分）用“ ”或“ ”符号填空： 　 　 ．

【解答】解： ， ， ，

，

故答案为： ．

12．（3分）某小组七位学生的中考体育测试成绩（满分40分）依次为37，40，39，37，40，38，40．则这组数据的中位数是　39　．

【解答】解：把这组数据从小到大排序后为37，37，38，39，40，40，40，

其中第四个数据为39，

所以这组数据的中位数为39．

故答案为39．

13．（3分）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯 的倾斜角为 ，在自动扶梯下方地面 处测得扶梯顶端 的仰角为 ， 、 之间的距离为 ．则自动扶梯的垂直高度 　 　 ．（结果保留根号）

【解答】解： ， ， ，

，

，

，

在 中， ，

，

，

答：自动扶梯的垂直高度 ，

故答案为： ．

14．（3分）已知 ，且 ．则 的值是　4或 　．

【解答】解： ，即 ，

可得 或 ，

或 ，

即 的值是4或 ；

故答案为：4或 ．

15．（3分）把两个含 角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 为 的中点，连结 交 于点 ．则 　 　．

【解答】解：连接 ， ， ， 是 的中点，

， ，

， ，

， ，

，

，

，

，

故答案为 ．

16．（3分）我们用符号 表示不大于 的最大整数．例如： ， ．那么：

（1）当 时， 的取值范围是　 　；

（2）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象下方．则实数 的范围是　　．

【解答】解：（1）由题意 ，

，

故答案为 ．

（2）由题意：当 时，函数 的图象始终在函数 的图象下方，

则有 时， ，解得 ，

或 时， ，解得 ，

故答案为 或 ．

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分．

17．（9分）计算： ．

【解答】解：原式

．

18．（9分）解二元一次方程组：

【解答】解： ，

法1：② ① ，得 ，

解得： ，

把 代入①，得 ，

原方程组的解为 ；

法2：由②得： ，

把①代入上式，

解得： ，

把 代入①，得 ，

原方程组的解为 ．

19．（9分）如图， 是矩形 的边 上的一点， 于点 ， ， ， ．求 的长度．

【解答】解： 四边形 是矩形，

， ．

，

．

，

， ．

又 ，

，

，

，即 ，

，即 的长度为 ．

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．

20．（10分）已知 ，且 ，求 的值．

【解答】解：原式

，

，

原式

解法2：同解法1，得原式 ，

，

，

原式 ．

21．（10分）如图，已知点 在双曲线 上，过点 的直线与双曲线的另一支交于点 ．

（1）求直线 的解析式；

（2）过点 作 轴于点 ，连结 ，过点 作 于点 ．求线段 的长．

【解答】解：（1）将点 代入 ，得 ，

即 ，

将 代入 ，得 ，

即 ，

设直线 的解析式为 ，

将 、 代入 ，得 ，解得 ，

直线 的解析式为 ；

（2） 、 ，

，

，

．

22．（10分）自新冠肺炎疫情爆发以来，我国人民上下一心，团结一致，基本控制住了疫情．然而，全球新冠肺炎疫情依然严重，境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈．如图是某国截止5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．

根据上面图表信息，回答下列问题：

（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为　20　万人，扇形统计图中 岁感染人数对应圆心角的度数为　　 ；

（2）请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图；

（3）在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率；

（4）若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为 、 、 、 、 ，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率．

【解答】解：（1）截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为 （万人），

扇形统计图中 岁感染人数对应圆心角的度数为 ，

故答案为：20、72；

（2） 岁人数为 （万人），

补全的折线统计图如图2所示；

（3）该患者年龄为60岁及以上的概率为： ；

（4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为： ．

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分．

23．（10分）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：

车型	每车限载人数（人	租金（元 辆）
商务车	6	300
轿车	4

（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？

（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？

【解答】解：（1）设租用一辆轿车的租金为 元，

由题意得： ，

解得 ，

答：租用一辆轿车的租金为240元；

（2）①若只租用商务车，

，

只租用商务车应租6辆，所付租金为 （元 ；

②若只租用轿车，

，

只租用轿车应租9辆，所付租金为 （元 ；

③若混和租用两种车，设租用商务车 辆，租用轿车 辆，租金为 元．

由题意，得 ，

由 ，得 ，

，

，

，

，且 为整数，

随 的增大而减小，

当 时， 有最小值1740，此时 ．

综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元．

24．（10分）如图1， 是半圆 的直径， 是一条弦， 是 上一点， 于点 ，交 于点 ，连结 交 于点 ，且 ．

（1）求证：点 平分 ；

（2）如图2所示，延长 至点 ，使 ，连结 ．若点 是线段 的中点．求证： 是 的切线．

【解答】证明：（1）如图1，连接 、 ，

是半圆 的直径，

，

，

，

又 ，即点 是 的斜边 的中点，

，

，

又 ，

，

，

即点 平分 ；

（2）如图2所示，连接 、 ，

点 是线段 的中点，

，

，

是等边三角形，

，

是直角三角形，且 ，

是 的切线．

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分．

25．（12分）点 是平行四边形 的对角线 所在直线上的一个动点（点 不与点 、 重合），分别过点 、 向直线 作垂线，垂足分别为点 、 ．点 为 的中点．

（1）如图1，当点 与点 重合时，线段 和 的关系是　 　；

（2）当点 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点 在线段 的延长线上运动，当 时，试探究线段 、 、 之间的关系．

【解答】解：（1） 四边形 是平行四边形，

，

又 ， ，

，

，

故答案为： ；

（2）补全图形如图所示，

结论仍然成立，

理由如下：

延长 交 于点 ，

， ，

，

，

点 为 的中点，

，

又 ，

，

，

，

；

（4）点 在线段 的延长线上运动时，线段 、 、 之间的关系为 ，

证明如下：如图，延长 交 的延长线于点 ，

由（2）可知 ，

， ，

又 ， ，

，

．

26．（13分）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点， 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交 轴于点 ，连结 ，且 ，如图所示．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设 是抛物线的对称轴上的一个动点．

①过点 作 轴的平行线交线段 于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，连结 、 ，求 的面积的最大值；

②连结 ，求 的最小值．

【解答】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为： ，

抛物线的对称轴为直线 ，

，

又 ，

，

即 ，

代入抛物线的解析式，得 ，

解得 ，

二次函数的解析式为 ；

（2）①设 ，其中 ，

设直线 的解析式为 ，

，

解得

即直线 的解析式为 ，

令 ，得： ，

点 ， ，

把 代入 ，得 ，

即 ，

，

的面积 ，

当 时， 的面积最大，且最大值为 ；

②如图，连接 ，根据图形的对称性可知 ， ，

，

过点 作 于 ，则在 中， ，

，

过点 作 于点 ，则 ，

线段 的长就是 的最小值，

，

又 ，

，

即 ，

的最小值为 ．